維納濾波器

維納濾波器(wiener filtering) 的本質(zhì)是使估計(jì)誤差(定義為期望響應(yīng)與濾波器實(shí)際輸出之差)均方值最小化。 [1] 離散時(shí)間維納濾波理論是從維納關(guān)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)的線性最優(yōu)濾波器這個(gè)開拓性工作演變過來的。維納濾波器的重要性在于，它為廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的線性濾波提供了一個(gè)參考框架.

隨著自動(dòng)化系統(tǒng)和自動(dòng)控制理論的出現(xiàn)，對(duì)信息的研究開始突破原來僅限于傳輸方面的概念。美國數(shù)學(xué)家維納在這個(gè)時(shí)期發(fā)表了著名的《控制論》和《平穩(wěn)時(shí)間序列的外推、內(nèi)插和平滑問題》，從控制的觀點(diǎn)揭示了動(dòng)物與機(jī)器的共同的信息與控制規(guī)律，研究了用濾波和預(yù)測等方法，從被噪聲湮沒了的信號(hào)中提取有用信息的信號(hào)處理問題，建立了維納濾波理論。維納濾波是利用平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)特性和頻譜特性對(duì)混有噪聲的信號(hào)進(jìn)行濾波的方法，1942年美國科學(xué)家N.維納為解決對(duì)空射擊的控制問題所建立，是40年代在線性濾波理論方面所取得的最重要的成果。

維納濾波器(Wiener filter)是由數(shù)學(xué)家維納(Rorbert Wiener)提出的一種以最小平方為最優(yōu)準(zhǔn)則的線性濾波器。在一定的約束條件下，其輸出與一給定函數(shù)(通常稱為期望輸出)的差的平方達(dá)到最小，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算最終可變?yōu)橐粋€(gè)托布利茲方程的求解問題。維納濾波器又被稱為最小二乘濾波器或最小平方濾波器，是基本的濾波方法之一。

在數(shù)學(xué)中，平穩(wěn)隨機(jī)過程(Stationary random process)或者嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程(Strictly-sense stationary random process)，又稱狹義平穩(wěn)過程。平穩(wěn)隨機(jī)過程是在固定時(shí)間和位置的概率分布與所有時(shí)間和位置的概率分布相同的隨機(jī)過程，即隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化，因此數(shù)學(xué)期望和方差這些參數(shù)不隨時(shí)間和位置變化。

事實(shí)證明：如果一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，只要滿足一

(1)一個(gè)寬平穩(wěn)過程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程，一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)過程也不一定寬平穩(wěn)過程 [3] 。例1：X(n)=sinwn，n=0,1,2，…，其中w服從U(0,2π)，隨機(jī)過程{X(n),n=0,1,2，…}是寬平穩(wěn)過程，但不是嚴(yán)平穩(wěn)過程。例2：服從柯西分布的隨機(jī)變量序列是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程，但不是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。(2)寬平穩(wěn)過程定只涉及與一維、二維分布有關(guān)的數(shù)字特征，所以一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)過程只要二階矩存在，則必定是寬平穩(wěn)過程。但反過來，一般是不成立的。(3)正態(tài)過程是一個(gè)重要特例，一個(gè)寬平穩(wěn)的正態(tài)過程必定是嚴(yán)平穩(wěn)的。這是因?yàn)椋赫龖B(tài)過程的概率密度是由均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)完全確定的，因而如果均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)不隨時(shí)間的推移而變化，則概率密度函數(shù)也不隨時(shí)間的推移發(fā)生變化。

些較寬的條件，則一個(gè)樣本函數(shù)在整個(gè)時(shí)間軸上的平均值可以用來代替其集平均(統(tǒng)計(jì)平均值和自相關(guān)函數(shù)等)，這就是各態(tài)歷經(jīng)性。一般來說，在一個(gè)隨機(jī)過程中，不同樣本函數(shù)的時(shí)間平均值是不一定相同的，而集平均則是一定的。因此，一般的隨機(jī)過程的時(shí)間平均≠集平均，只有平穩(wěn)隨機(jī)過程才有可能是具有各態(tài)歷經(jīng)性的。即各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)的隨機(jī)過程則需要滿足一定條件才是各態(tài)歷經(jīng)的。