基于牛頓-拉夫遜算法和P-Q分解法的潮流計(jì)算對比分析

引言

潮流計(jì)算是分析系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行的一種計(jì)算,是研究電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)問題的基礎(chǔ)。其根據(jù)給定的初始運(yùn)行條件和電力網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),確定整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的當(dāng)前運(yùn)行狀態(tài),判定這一運(yùn)行方式是否合理。因此,在電力系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計(jì)和現(xiàn)有電力系統(tǒng)運(yùn)行方式的研究中,都需要利用潮流計(jì)算來進(jìn)行定量分析,比較供電方案或運(yùn)行方式的合理性、可靠性和經(jīng)濟(jì)性。

早期的簡單電力系統(tǒng)還可以人工用手計(jì)算,但隨著電力系統(tǒng)的不斷擴(kuò)大,潮流問題的方程式階數(shù)也越來越高,這樣的非線性方程式直接求解是不可能的。在這種情況下,20世紀(jì)50年代中期就開始利用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行電力系統(tǒng)潮流計(jì)算?？焖贉?zhǔn)確地建立潮流計(jì)算數(shù)學(xué)模型、高效地完成潮流計(jì)算方法,以提高求解復(fù)雜電力系統(tǒng)潮流計(jì)算相關(guān)問題綜合效率將是未來的一個(gè)發(fā)展方向。

1潮流計(jì)算的典型計(jì)算機(jī)解法

歷史上,用于潮流計(jì)算的方法主要有牛頓-拉夫遜算法和P-Q分解法[7]。在以下分析時(shí),我們總對網(wǎng)絡(luò)中各類節(jié)點(diǎn)的編號作如下約定[8]:網(wǎng)絡(luò)中共有n個(gè)節(jié)點(diǎn),其中有m-l個(gè)po節(jié)點(diǎn)、n-m個(gè)pV節(jié)點(diǎn)和一個(gè)平衡節(jié)點(diǎn)。

1.1牛頓-拉夫遜算法

牛頓-拉夫遜法是常用的解非線性方程組的方法,也是當(dāng)前廣泛采用的計(jì)算潮流的方法,它利用線性化的思想,將非線性方程組線性化,在計(jì)算精度和收斂次數(shù)方面達(dá)到了令人滿意的結(jié)果。根據(jù)表達(dá)形式的不同,牛頓-拉夫遜算法又可分為直角坐標(biāo)形式和極坐標(biāo)形式。

系統(tǒng)的修正方程的簡化形式為:

式中,J為雅可比矩陣。

1.2P-Q分解法

P-Q分解法則是針對牛頓-拉夫遜算法的一種簡化,它派生于以極坐標(biāo)表示時(shí)的牛頓-拉夫遜算法,二者的主要區(qū)別在于修正方程式和計(jì)算步驟。它抓住電力系統(tǒng)的主要矛盾,忽略次要矛盾,以恒定不變的系數(shù)矩陣Bp和B”代替了復(fù)雜變化的雅可比矩陣。

將原修正方程式重新排列并簡寫為:

首先,我們對其作兩點(diǎn)簡化。

第1個(gè)簡化是:無功功率與電壓具有強(qiáng)耦合關(guān)系,有功功率與頻率具有強(qiáng)耦合關(guān)系,因此忽略子陣N、J,將修正方程式簡化為:

這就是P-Q分解法的修正方程式。

2某復(fù)雜電力系統(tǒng)的潮流分析

paladinDesignBase是世界頂級的電力系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真分析軟件平臺(tái),并能與pA公司的paladinLive實(shí)時(shí)在線系統(tǒng)進(jìn)行無縫連接,實(shí)現(xiàn)對電力系統(tǒng)的實(shí)時(shí)監(jiān)測、控制和維護(hù)。用戶可以利用它很方便地建立電力系統(tǒng)的單線圖。paladinDesignBase軟件包含幾十個(gè)功能模塊,配合后臺(tái)數(shù)據(jù)庫,用戶可以方便地對電力系統(tǒng)進(jìn)行各種分析和優(yōu)化,模塊按功能可以分為兩類:基本功能模塊和優(yōu)化功能模塊。基本功能包括:短路計(jì)算與分析、潮流計(jì)算與分析、保護(hù)設(shè)備整定計(jì)算、電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)分析等:優(yōu)化功能主要包括:電能質(zhì)量分析和控制、動(dòng)態(tài)特性仿真、電力系統(tǒng)優(yōu)化(pso)及可靠性分析與負(fù)載能力等。本文所開展的實(shí)驗(yàn)是基于該款軟件的。

2.1某2機(jī)5節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)案例

某2機(jī)5節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)的單線圖如圖1所示,本案例摘編自《電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析》(陳珩編,中國電力出版社,第4版)。其中,l號發(fā)電機(jī)為平衡節(jié)點(diǎn),其余節(jié)點(diǎn)均為po節(jié)點(diǎn),無pV節(jié)點(diǎn)。系統(tǒng)中共有7條輸電線路,它們的阻抗(標(biāo)幺值)分別為:線路l2,0.02+j0.06:線路l3,0.08+j0.24:線路34,0.0l+j0.03:線路45,0.08+j0.24:線路25,0.04+j0.l2:線路23,0.06+j0.l8:線路24,0.06+j0.l8。已知l號母線電壓為l.06Z0o,2號母線的發(fā)電機(jī)向電網(wǎng)輸入0.2+j0.2的功率,2、3、4號母線分別連接功率為0.45+j0.l5、0.4+j0.05、0.6+j0.l的負(fù)荷,從電網(wǎng)吸收功率。

2.2案例的潮流計(jì)算及分析

針對以上案例,在Pa1adinDesignBase軟件中新建工程,繪制該系統(tǒng)的單線圖并將參數(shù)輸入,用兩種算法進(jìn)行潮流計(jì)算,結(jié)果如表1所示。

比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),Pa1adinDesignBase軟件計(jì)算的各母線電壓、各線路功率(包括有功、無功和視在)與教材中的計(jì)算結(jié)果相差無幾,且兩種算法的計(jì)算結(jié)果完全一致,這原是可以預(yù)期的。分析可知,出現(xiàn)誤差的原因有以下幾點(diǎn):首先,本實(shí)驗(yàn)采用的是IEC計(jì)算標(biāo)準(zhǔn),計(jì)算過程同理論分析相比有一定的簡化,導(dǎo)致算法的流程和迭代過程中的雅可比矩陣不一樣,使計(jì)算結(jié)果略有差別:其次,教材中規(guī)定的收斂判據(jù)是各節(jié)點(diǎn)電壓修正量不超過12一5,而Pa1adinDesignBase軟件只能將收斂條件設(shè)置為各處的功率修正量不超過一個(gè)值,不能將電壓修正量作為停止迭代的條件:最后,在單線圖中標(biāo)注潮流計(jì)算結(jié)果時(shí)只能顯示有名值,且只能精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位,還需將數(shù)據(jù)手動(dòng)換算成標(biāo)幺值后與教材中的結(jié)果進(jìn)行比較,標(biāo)幺值和有名值之間的來回手動(dòng)轉(zhuǎn)換可能使數(shù)據(jù)喪失一些精度。其中,第一點(diǎn)原因是導(dǎo)致誤差的主要原因。

為了分析P-Q分解法和牛頓一拉夫遜算法的不同點(diǎn)并比較兩種算法,本文在12一3%、00一4%、10一5%、10一6%、10一7%、10一8%、10一1%的不同收斂精度判斷條件下開展了多次實(shí)驗(yàn),得到了表2、表3兩個(gè)關(guān)于迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表格。當(dāng)精度繼續(xù)提高至10一10%時(shí),兩種算法的迭代次數(shù)均超過了DesignBase軟件所允許的最大迭代次數(shù)30000次,潮流計(jì)算的結(jié)果將判別為不收斂。

針對表格中的數(shù)據(jù)用MATLAB軟件編寫程序作出如圖2所示圖像。

圖像中的星形散點(diǎn)和折線代表P-Q分解法的結(jié)果,十字散點(diǎn)和折線代表牛頓一拉夫遜算法的結(jié)果。觀察、比對數(shù)據(jù)可以得到以下規(guī)律:計(jì)算結(jié)果的精度要求越高,則迭代的次數(shù)越多,但運(yùn)算時(shí)間并沒有顯著增加,而是呈現(xiàn)無規(guī)律震蕩的特點(diǎn):在相同的精度要求下,P-Q分解法的迭代次數(shù)一般要比牛頓一拉夫遜算法的次數(shù)多,且當(dāng)精度越高時(shí),兩者之間的差距越大:在相同的精度要求下,P-Q分解法的耗時(shí)一般要比牛頓一拉夫遜算法少,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)僅在精度為10一6%時(shí)出現(xiàn)偏差。

查閱資料可知,P-Q分解法的收斂特性接近直線,而牛頓一拉夫遜算法的收斂速度則要比它快得多,即后期收斂速度加快。

3結(jié)語

本文針對案例中的'機(jī)5節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)用PaladinDesign一Base軟件在不同收斂精度下開展多次實(shí)驗(yàn),結(jié)果顯示,在相同的精度要求下,P-Q分解法的迭代次數(shù)普遍比牛頓-拉夫遜算法的迭代次數(shù)多,且精度要求較高時(shí),兩者的差距更大:計(jì)算時(shí)間方面,雖然P-Q分解法的迭代次數(shù)更多,但因算法更加優(yōu)化,因此其計(jì)算用時(shí)較少。綜合以上各方面因素,P-Q分解法是更適用于該案例的潮流計(jì)算計(jì)算機(jī)解法。