在許多研究 pn 結(jié)中電流隨溫度變化的實驗室實驗中,反向飽和電流被假定為常數(shù)。這是一個近似值,因為這個量很大程度上取決于溫度。在更現(xiàn)實的情況下,我們建議在 Mathematica 計算環(huán)境中進行虛擬/計算實驗。
介紹
在之前的教程中,我們看到,在電位差V 的作用下,pn結(jié)中的電流在溫度T下處于熱力學平衡狀態(tài):
其中a = 1 / 11600 (V / K),而(對于鍺為1):
這里,V g = 0 . 785 V(帶隙以伏特表示),而K是一個正常數(shù)。從公式 (1) 中我們可以看出,I 0 ( T ) 是V → ?∞時反向飽和電流的絕對值。
由于方程 (1) 中第二個元素的指數(shù)快速衰減,室溫下 |V | 的 I 0 (T) 值達到 70 ÷ 80 V 的數(shù)量級。
為了確定常數(shù)K,我們使用二極管制造商通常提供的數(shù)據(jù):
I 0 ( T amb ) 其中T amb 為環(huán)境溫度。對于鍺,典型值為 1 μ A,T amb = 298 . 15 K(相當于 22°C)。根據(jù)公式 (2),以適當?shù)臏y量單位可得出K = 206 . 638。當然,由于K為常數(shù),因此該值與溫度無關(guān)。
電路原理圖
現(xiàn)在我們可以重建指定二極管的電壓-電流特性。在室溫下,我們得到圖 1 中的趨勢,從中我們可以看到由于二極管的電阻很小,電流達到了禁止值。讓我們記住,理想情況下,二極管在正向偏置時表現(xiàn)得像短路。為了限制電流,我們插入一個電阻負載,如圖 2 所示。
圖 1:電壓-電流特性( T = Tamb的函數(shù) (1) 圖)
圖 2:我們通過添加與二極管串聯(lián)的電阻負載來限制電流強度。該串聯(lián)由可變電壓發(fā)生器供電
實驗安排
在分析討論圖 1 中的電路之前,我們先從實驗的角度觀察,除了已經(jīng)提到的溫度 Tamb 之外,以下溫度也很有趣(小寫字母表示以 °C 為單位的溫度):
因此需要四個恒溫器。第一個是環(huán)境;第二個是水熱量計(溫度T 1);第三個是融化的水和冰熱量計(溫度T 2);第四個是液氮熱量計(溫度T 3,1 個大氣壓下液氮的沸點)。由于這些是水恒溫器,因此測量的電路部分(電壓表、電流表)必須適當防水。
電路的數(shù)學分析
精確解
將基爾霍夫第二原理 [2] 應(yīng)用于圖 1 中電路的單個鏈路,可得出:
其中V D 是二極管兩端的壓降。電流I 的計算公式為:(1) 將V替換為V D。因此,我們得到:
對于給定的V值和T = T k (方程 (3)),剛剛寫的方程構(gòu)成了一個未知數(shù) ( I, V D ) 的系統(tǒng),從中可以很容易地得到:
這是一個超越方程,需要對給定V值的I進行數(shù)值求解,而對于給定的V ,溫度T取(3) 中的一個值。因此,可以使用任何傳統(tǒng)編程語言(例如 Fortran)在軟件中重建量I ( T, V )。
然而,使用 CAS(計算機代數(shù)系統(tǒng)),我們可以強制求解(6),而無需借助數(shù)值分析。例如,Mathematica通過Lambert 函數(shù)3來表達該解。
請注意,對于給定的T值,I ( T, V ) 與V的關(guān)系圖不是二極管的電壓-電流特性,因為后者是電壓降V D的函數(shù),而電壓降是方程組的第二個未知數(shù)。一旦知道這兩個量,我們就用Mathematica構(gòu)建一個有序?qū)α斜恚湓胤謩e是V D和I,然后我們繪制它們的圖像。例如,對于T = T 1 = 320 K 和R = 1 kΩ,我們得到圖 3 中的趨勢。對于T = T 3 = 77 . 3 K 時,我們得到圖 4 中繪制的趨勢。請注意,電流范圍保持不變,而V D 范圍增加。這意味著電流隨著熱量下降而下降。
圖 3: T 1 = 320 K時電流強度隨V D變化的趨勢。串聯(lián)電阻為R = 10 3 Ω
圖 4: T 2 = 77 . 3 K時電流強度隨V D變化的趨勢。串聯(lián)電阻為R = 10 3 Ω
近似解
考慮到反向飽和電流與溫度無關(guān),公式(6)變?yōu)椋?
使用Mathematica重復該過程,我們發(fā)現(xiàn)電壓-電流特性(VD ,I )與T = T 1 時的精確特性差別不大,因為這個溫度略高于室溫(精確解與近似解重合),而我們從圖 5 中的圖表中看到T = T 3 = 77.3 K 時存在顯著差異。為了使差異更加明顯,我們在圖 6 中以對數(shù)刻度報告了解(精確解和近似解)的趨勢。
圖 5:假設(shè)反向飽和電流為常數(shù), T 3 = 77 K時,電流強度隨V D變化的趨勢
圖 6:藍色曲線是電流強度與V的關(guān)系,計算時考慮了反向飽和電流對T的依賴性。紅色曲線是近似解,即電流強度與V 的關(guān)系,計算時假設(shè)反向飽和電流與溫度無關(guān)
結(jié)論
從物理上講,圖 6 中顯示的單個解決方案(精確和近似)的趨勢正是預期的,因為通過降低溫度,pn 結(jié)各個區(qū)域中少數(shù)載流子的濃度逐漸降低。這會導致反向飽和電流減小,因此正向偏置電流也會減小,因為反向電流對正向電流有貢獻,如先前的工作所示。因此,認為I 0與溫度無關(guān)是不現(xiàn)實的。
20240706_6688b2821f1a8__PN 結(jié)熱行為虛擬實驗