添加到示波器或數(shù)字化儀的快速傅立葉變換 (FFT) 可以測(cè)量所采集信號(hào)的頻域頻譜。這提供了一個(gè)不同且通常有用的視角;信號(hào)可以被視為幅度或相位與頻率的關(guān)系圖(圖 1)。
圖 1 100 MHz 正弦波的幅度 FFT 是位于 100 MHz 處的單條譜線。脈沖幅度為 150 mV，與輸入正弦波的峰值幅度匹配。
有許多因素會(huì)影響 FFT 垂直讀數(shù)，包括輸出類型的選擇、FFT 處理問(wèn)題、信號(hào)持續(xù)時(shí)間和非 FFT 儀器特性。本文將重點(diǎn)討論這些問(wèn)題。
FFT垂直輸出格式
FFT 計(jì)算基于離散傅里葉變換 (DFT)，如下式所示：
其中：
X(k) = 頻域點(diǎn)
x(n) = 時(shí)域樣本
n = 時(shí)間樣本索引
k = 頻點(diǎn)索引
N = 記錄中輸入樣本的數(shù)量
傅里葉變換的物理解釋是輸入樣本 x(n) 通過(guò)乘以方程中復(fù)指數(shù) e -jπkn/N表示的一系列正弦曲線來(lái)測(cè)試。在每個(gè)測(cè)試頻率，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行平均。僅當(dāng)輸入具有測(cè)試頻率的能量時(shí)，結(jié)果才非零。
這是一個(gè)數(shù)學(xué)上復(fù)雜的方程，每個(gè)輸出點(diǎn)都有兩個(gè)元素。計(jì)算通常計(jì)算每個(gè)輸出點(diǎn)的實(shí)部和虛部。根據(jù)計(jì)算出的實(shí)部和虛部 FFT 輸出分量，可以以多種格式顯示輸出。
FFT 原生輸出數(shù)據(jù)類型實(shí)部 (R) 和虛部 (I) 均以伏特為單位表示，所有其他格式均源自它們：
線性幅度(伏特)= (R 2 +I 2 ) 1/2
幅度平方(伏特2)= R 2 +I 2
相位(弧度)= TAN -1 (I/R)
功率譜(dBm) = 10*Log 10 {(R 2 +I 2 )/1 mW)}
功率譜密度(dBm/Hz) = 10*Log 10 {(R 2 +I 2 )/(1mW*Δf*ENBW)}
其中：
R = FFT 的實(shí)部
I = FFT 的虛部
Δf = 分辨率帶寬
ENBW = 有效噪聲帶寬，取決于權(quán)重
不同的示波器供應(yīng)商可能會(huì)提供這些 FFT 輸出格式的各種組合，并且可能會(huì)以不同的方式縮放它們。在此示例中，基于Teledyne LeCroy 的 Maui Studio應(yīng)用程序(該應(yīng)用程序模擬了許多示波器)，F(xiàn)FT 可用這五種格式以及本機(jī)實(shí)數(shù)和虛數(shù)格式。
圖 1 中顯示的線性幅度格式按均方根值計(jì)算，但按比例縮放以將頻譜幅度讀取為峰值伏特，以便頻譜線的峰值幅度與輸入正弦波的峰值幅度相匹配。
功率譜格式刻度為對(duì)數(shù)，值以相對(duì)于毫瓦 (dBm) 的分貝為單位。功率譜密度將功率譜值歸一化為有效分辨率帶寬，使其值不隨分析帶寬的變化而變化。它以 dBm/Hz 為單位表示。
影響FFT垂直輸出的FFT處理因素
FFT 產(chǎn)生的頻譜是離散的;它僅在 k 個(gè)均勻間隔的頻率值處具有有效的幅度數(shù)據(jù)。 FFT 輸出的離散特性可能會(huì)在解釋頻譜幅度時(shí)造成一些混亂。您可能會(huì)認(rèn)為 FFT 輸出是輸入通過(guò)一組帶通濾波器的結(jié)果，這些帶通濾波器的中心頻率偏移固定的頻率增量，有時(shí)被描述為 FFT bin 寬度或分辨率帶寬。如果輸入信號(hào)頻率落在這些帶通濾波器之一的中心，則輸出端會(huì)顯示完整的輸出幅度。如果輸入信號(hào)頻率落在兩個(gè)帶通濾波器中心頻率之間，則幅度會(huì)較低(圖 2)。
FFT 的分辨率帶寬是輸入信號(hào)持續(xù)時(shí)間的倒數(shù)。在我們的示例中，輸入時(shí)間信號(hào)的持續(xù)時(shí)間為 5 μs，分辨率帶寬為 200 kHz。將輸入頻率精確設(shè)置為 50 MHz，使信號(hào)位于分辨率帶寬的中心，并且頻譜峰值的幅度為 150 mV。
圖 2 FFT 輸出的展開(kāi)視圖顯示了輸入頻率以分辨率帶寬一半的增量變化時(shí)的幅度響應(yīng)。
將輸入頻率更改為 50.1 MHz 將兩個(gè)濾波器之間的輸入信號(hào)置于 50.0 MHz 和 50.2 MHz 之間。能量在兩個(gè)濾波器之間分配，峰值幅度降至 95.6 mV，損失 3.9 dB。以 100 kHz 為增量步進(jìn)頻率，可以看到 FFT 輸出幅度上升和下降。這稱為“柵欄”效應(yīng)或“扇貝”損失，它出現(xiàn)在所有 FFT 計(jì)算中。
當(dāng)輸入頻率變化時(shí)出現(xiàn)的另一個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)查看圖 3中的 FFT 基線更容易看出。除了較低的峰值幅度之外，在單元之間移動(dòng)輸入頻率也會(huì)擴(kuò)展并提高頻譜基線。當(dāng)頻率為 50.0 MHz 時(shí)，輸入波形的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)(以黃色顯示在左上網(wǎng)格中)處于同一電平，名義上為零伏。當(dāng)輸入頻率為 50.1 MHz 時(shí)，如左下紅色網(wǎng)格所示，起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處于不同的級(jí)別。
FFT 計(jì)算是循環(huán)計(jì)算，最后一個(gè)點(diǎn)循環(huán)回第一個(gè)點(diǎn)，因此幅度值的變化看起來(lái)像是不連續(xù)的。這是角度調(diào)制的一種形式，由于調(diào)制邊帶而擴(kuò)展頻譜，并導(dǎo)致頻譜基線在與受激單元相鄰的頻率單元中升高;這稱為頻譜泄漏。相鄰單元中的任何信號(hào)都會(huì)與泄漏分量結(jié)合，從而改變?cè)搯卧械姆?。?dāng)相鄰小區(qū)中的信號(hào)幅度較小時(shí)，這會(huì)導(dǎo)致最大誤差。
圖 3如果輸入頻率不是以單元為中心，則時(shí)間記錄的第一個(gè)和最后一個(gè)點(diǎn)具有不同的幅度，并且能量會(huì)擴(kuò)散或泄漏到相鄰單元中，從而改變這些單元中的幅度。
這兩種影響都可以通過(guò)對(duì)信號(hào)輸入進(jìn)行幅度調(diào)制來(lái)抵消，從而迫使端點(diǎn)為零幅度。這個(gè)過(guò)程稱為加權(quán)，調(diào)制波形稱為加權(quán)窗口。窗函數(shù)的形狀決定了頻譜響應(yīng)，包括頻譜線的形狀和任何邊帶的幅度。常用加權(quán)函數(shù)的特點(diǎn)如表1所示。
表1常用FFT加權(quán)(窗)函數(shù)的特點(diǎn)
FFT窗函數(shù)特點(diǎn)
窗式最高旁瓣 (dB)扇貝損耗 (dB)有效噪聲帶寬(單元)相干增益(dB)
長(zhǎng)方形(無(wú))-133.921.000.0
馮·漢恩 (Hanning)-321.421.50-6.02
漢明-431.781.37-5.35
平頂-440.013.43-11.05
布萊克曼·哈里斯-671.131.71-7.53
該表總結(jié)了每個(gè)窗口最小化旁瓣和扇貝損失的能力。請(qǐng)注意，有效噪聲帶寬 (ENBW) 拓寬了 FFT 濾波器單元的寬度。細(xì)胞越寬，扇貝損失越少。圖 2 所示的 3.9 dB 損耗(使用矩形加權(quán))可以通過(guò)使用平頂加權(quán)降低至 0.01 dB。
另請(qǐng)注意，由于頻譜泄漏，應(yīng)用加權(quán)會(huì)降低旁瓣幅度。相干增益是應(yīng)用加權(quán)函數(shù)時(shí)幅度的變化。大多數(shù)示波器供應(yīng)商都會(huì)補(bǔ)償這種衰減，以便更改所選的加權(quán)函數(shù)不會(huì)改變顯示的信號(hào)幅度。
圖 4顯示了窗函數(shù)對(duì)同一輸入信號(hào)的譜線產(chǎn)生的影響。
圖 4加權(quán)窗口的選擇會(huì)影響 FFT 單元頻率響應(yīng)的形狀。較窄的窗口可產(chǎn)生更好的頻率分辨率，而較寬的窗口可減少扇貝損耗和頻譜泄漏。
譜線變寬，如 ENBW 所示。更廣泛的響應(yīng)減少了扇貝損失，這是有道理的，因?yàn)橄噜弳卧械男盘?hào)將以更高的幅度重疊以獲得更廣泛的響應(yīng)，從而最大限度地減少扇貝損失。加權(quán)函數(shù)還影響旁瓣的幅度。在沒(méi)有加權(quán)的情況下，最高旁瓣比頻譜峰值低 -13 dB。加權(quán)函數(shù)可通過(guò) Blackman-Harris 加權(quán)函數(shù)將其降低至 -67 dB。
窗函數(shù)的選擇取決于用戶的需要。如果您測(cè)量的瞬態(tài)小于采集窗口，則不應(yīng)使用窗函數(shù)，因?yàn)轭l譜峰值的幅度將根據(jù)瞬態(tài)在采集窗口中的位置而變化。在這種情況下，矩形窗口(無(wú)加權(quán))是最佳選擇。較窄的窗口響應(yīng)可提供更好的頻率分辨率，而較寬的響應(yīng)(Blackman Harris 或平頂)可產(chǎn)生更準(zhǔn)確的幅度測(cè)量。如果您兩者都需要，那么馮漢恩或漢明加權(quán)是一個(gè)很好的折衷方案。大多數(shù)示波器使用 Von Hann 或 Hanning 加權(quán)作為默認(rèn)加權(quán)窗口。
頻率響應(yīng)和幅度平坦度
影響 FFT 垂直輸出電平的另一個(gè)問(wèn)題是示波器或數(shù)字化儀前端的頻率響應(yīng)和幅度平坦度。請(qǐng)記住，信號(hào)幅度將在儀器帶寬下衰減 1 或 3 dB，具體取決于制造商的帶寬規(guī)格。此外，大多數(shù)供應(yīng)商都有頻率響應(yīng)平坦度的規(guī)范。該值通常約為 0.25 至 1.0 dB。對(duì)于特定的設(shè)置，平坦度通常是可重復(fù)的并且可以校正。使用的任何探頭也可能影響儀器的頻率響應(yīng)平坦度。
信號(hào)持續(xù)時(shí)間對(duì) FFT 峰值幅度的影響
如果輸入信號(hào)持續(xù)時(shí)間小于完整輸入記錄長(zhǎng)度，它也會(huì)影響 FFT 的幅度。請(qǐng)記住，F(xiàn)FT 的線性幅度基本上是 rms 計(jì)算，預(yù)計(jì)幅度將與相對(duì)于輸入記錄長(zhǎng)度的輸入信號(hào)占空比成正比。圖 5顯示了對(duì)具有六個(gè)不同持續(xù)時(shí)間的信號(hào)的 FFT 峰值幅度響應(yīng)。
圖 5顯示了信號(hào)持續(xù)時(shí)間對(duì) FFT 峰值幅度響應(yīng)的影響。
左上方網(wǎng)格中的 M1 跡線顯示了 150 mV 峰值輸入信號(hào)，填充了 500 ns 輸入記錄長(zhǎng)度;這是參考信號(hào)。該網(wǎng)格下方是信號(hào)的 FFT，顯示峰值幅度為 150 mV。跡線 M3(左欄下方的第三個(gè)網(wǎng)格)顯示信號(hào)持續(xù)時(shí)間減少至 400 ns 或可用記錄長(zhǎng)度的 80%。該跡線下方是峰值幅度為 120 mV 的 FFT。信號(hào)持續(xù)時(shí)間是輸入記錄長(zhǎng)度的 80%，峰值 FFT 響應(yīng)是整個(gè)持續(xù)時(shí)間信號(hào)的 80%。信號(hào)持續(xù)時(shí)間以輸入記錄長(zhǎng)度的 60%、40%、20% 和 10% 為步長(zhǎng)減少，峰值 FFT 響應(yīng)呈線性變化。
FFT 垂直或幅度響應(yīng)受到許多因素的影響，在使用 FFT 時(shí)應(yīng)牢記這些因素。它與輸入信號(hào)電平成正比。輸入信號(hào)鏈中頻率響應(yīng)變化引起的輸入電平變化會(huì)導(dǎo)致 FFT 幅度響應(yīng)變化。當(dāng)信號(hào)不在 FFT 頻率單元的中心時(shí)，輸入信號(hào)的頻率可能會(huì)導(dǎo)致由扇貝損耗和頻譜泄漏產(chǎn)生的 FFT 幅度變化。這種效應(yīng)與頻率相關(guān)，并且可以通過(guò)使用加權(quán)來(lái)改善。最后，F(xiàn)FT 幅度響應(yīng)受到相對(duì)于輸入記錄長(zhǎng)度的信號(hào)持續(xù)時(shí)間的影響。
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