一種分?jǐn)?shù)階微分IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法和改進(jìn)

摘 要：提出一種在不增加分?jǐn)?shù)階微分濾波器復(fù)雜度的前提下，能有效提高分?jǐn)?shù)階微分濾波器性能的方法。該方法利用幾種基于典型微分算子的分?jǐn)?shù)階微分濾波器之間的互補(bǔ)性，通過(guò)相互內(nèi)插結(jié)合的方式，用于提高IIR分?jǐn)?shù)階數(shù)字濾波器的性能。改進(jìn)后的分?jǐn)?shù)階微分濾波器頻率響應(yīng)更接近理想分?jǐn)?shù)階微分濾波器，表明所提方法的有效性。
關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微積分；數(shù)字微分器；IIR濾波器；微分算子；連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充

0 引 言
    分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)既古老又現(xiàn)代的話題。早在整數(shù)階微積分產(chǎn)生的時(shí)候分?jǐn)?shù)階微積分就產(chǎn)生了，該問(wèn)題曾被許多數(shù)學(xué)家，如Leibniz(1695)，Euler(1738)，Liouville(1850)，Hardy和Littlewood(1925)等涉及和探究過(guò)。雖然分?jǐn)?shù)階微積分的研究難度很大，但近三百年在眾多科學(xué)家的不懈努力下，分?jǐn)?shù)階微積分作為純數(shù)學(xué)分支已經(jīng)發(fā)展?jié)u成體系，但其物理意義不明確，阻礙了分?jǐn)?shù)維微積分的應(yīng)用，目前在工程技術(shù)界中沒(méi)有得到廣泛應(yīng)用。從Mandelbrot提出分形學(xué)說(shuō)，將Rie—mann—Liouville分?jǐn)?shù)階微積分用以分析和研究分形媒介中的布朗運(yùn)動(dòng)以來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分才在許多學(xué)科，特別是在化學(xué)、電磁學(xué)、控制學(xué)、材料科學(xué)和力學(xué)中引起廣泛關(guān)注并嘗試著應(yīng)用。隨信息科學(xué)的變革和迅猛發(fā)展，分?jǐn)?shù)階運(yùn)算在很多問(wèn)題的處理過(guò)程中所擁有整數(shù)階運(yùn)算無(wú)可比擬的優(yōu)點(diǎn)正逐漸顯露出來(lái)。
    目前分?jǐn)?shù)階濾波器已經(jīng)在分?jǐn)?shù)階控制器、信號(hào)處理、圖像壓縮和處理等領(lǐng)域得到成功應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階數(shù)字分?jǐn)?shù)階微分濾波器的設(shè)計(jì)和改進(jìn)，正成為分?jǐn)?shù)階微積分研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)。數(shù)字微分濾波器的設(shè)計(jì)方法通?？梢詺w為2類：第一種是線性相位F1R濾波器方法；另一種是IIR濾波器法?？紤]到濾波器設(shè)計(jì)復(fù)雜度因素，F(xiàn)IR微分濾波器階數(shù)會(huì)受到限制，影響了其頻率響應(yīng)對(duì)理想頻率響應(yīng)的逼近效果，因此這里考慮使用IIR分?jǐn)?shù)階微分濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階運(yùn)算。
    IIR分?jǐn)?shù)階數(shù)字微分濾波器設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階算子的離散化，即是找到一個(gè)函數(shù)Gv(z)，使其頻率響應(yīng)無(wú)限逼近理想分?jǐn)?shù)階數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)Hv(ω)=(jω)v。基本步驟可以歸納為：首先，找到頻率響應(yīng)接近理想一階微分的算子；然后基于所選用的微分算子，推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階微分濾波器傳輸函數(shù)；最后通過(guò)各種展開(kāi)方法把傳輸函數(shù)的分?jǐn)?shù)階形式轉(zhuǎn)化為整數(shù)階濾波器形式。完成分?jǐn)?shù)階展開(kāi)的常用方法有冪級(jí)數(shù)展開(kāi)(PSE)和連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充(CFE)，其中連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充方法對(duì)函數(shù)的逼近更好，收斂更快。
    首先對(duì)Rectangular算子、Tustin算子、Simpson算子這幾種典型微分算子通過(guò)連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充，得到相應(yīng)的0．5階微分濾波器頻率響應(yīng)。通過(guò)分析這幾種算子的頻率響應(yīng)表明，基于這幾種典型算子的分?jǐn)?shù)階微分濾波器各有優(yōu)缺點(diǎn)和具有互補(bǔ)性，將這幾種典型算子進(jìn)行結(jié)合可得到更接近理想分?jǐn)?shù)階微分算子頻率響應(yīng)的算子。

1 典型IIR分?jǐn)?shù)階微分濾波器
1．1 基于Simpson算子的IIR分?jǐn)?shù)階數(shù)字微分濾波器
    Simpson微分算子表示為：

   
    GvSn(z)中v表示微分階數(shù)；n表示濾波器階數(shù)。圖1是基于Simpson算子的O．5階微分濾波器的頻率響應(yīng)曲線圖。

    在此使用連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充(CFE)方法完成對(duì)上式的展開(kāi)，這里簡(jiǎn)要介紹分?jǐn)?shù)階算子實(shí)現(xiàn)過(guò)程中使用到的CFE方法。對(duì)于任何一個(gè)函數(shù)D(z)，可以用下面連續(xù)分?jǐn)?shù)的形式來(lái)表示：

   
式中，系數(shù)ai，bi是關(guān)于變量z的有理函數(shù)或常數(shù)。只需要通過(guò)截?cái)嗖僮?，就能得到有限階逼近函數(shù)。下面列出T=0．001 s時(shí)，使用連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)展(CFE)完成上式的展開(kāi)，得到0．5階微分的Simpson分?jǐn)?shù)階微分濾波器傳遞函數(shù)GvSn(z)：

    通過(guò)對(duì)比和分析，從誤差和計(jì)算復(fù)雜度兩個(gè)方面均衡考慮分?jǐn)?shù)階微分濾波器階數(shù)的選為5階比較合適。因此這里濾波器的階數(shù)都選為5階。
1．2 基于Rectangular算子的IIR分?jǐn)?shù)階數(shù)字微分濾波器
    ．Rectangular算子表示為：

   
    基于Rectangular算子的分?jǐn)?shù)階微分器傳輸函數(shù)可以寫(xiě)為：

   
    這里使用連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充(CFE)法將展開(kāi)上式，實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)的有限階逼近。下面列出T=0．001 s時(shí)，O．5階微分Rectangular分?jǐn)?shù)階微分濾波器傳遞函數(shù)GvRn(z)：

    GvRn(z)中v表示微分階數(shù)；n表示濾波器階數(shù)。
1．3 基于Tustin算子的IIR分?jǐn)?shù)階數(shù)字微分濾波器
    Tustin算子表示為：

   
    基于Tustin算子的分?jǐn)?shù)階微分器傳輸函數(shù)可以寫(xiě)為：

   
    使用連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充(CFE)方法將上式展開(kāi)，完成對(duì)函數(shù)的有限階逼近。下面列出了T=0．001 s時(shí)，0．5階微分Tustin分?jǐn)?shù)階微分濾波器傳遞函數(shù)GvTn(z)：

   
    GvTn中v表示微分階數(shù)；n表示濾波器階數(shù)。
    圖2是基于典型Rectangular算子、Tustin算子和simpson算子的0．5階微分濾波器的頻率特性曲線，所實(shí)現(xiàn)的濾波器階數(shù)都是5階。從圖2中可以看出3種濾波器在低頻區(qū)域，幅度曲線還能與理想幅度一致，但隨著頻率增加，特別是在高頻區(qū)域，誤差迅速增大。

    從圖2中可以看出，基于Rectangular濾波器的幅度特性最好，但相位特性明顯比另兩種算子的差。Tustin的優(yōu)點(diǎn)在于其相位特性非常好，相位曲線絕大部分區(qū)域都與理想頻率響應(yīng)相位曲線重合。Tustin和Sirepson有很強(qiáng)互補(bǔ)性。因?yàn)閮烧咴诘皖l的表現(xiàn)都比較好，雖然在高頻都有明顯誤差，但兩者的幅度曲線分別位于理想頻率曲線的上下兩側(cè)。因此，這里認(rèn)為通過(guò)這3種算子的相互結(jié)合，可以得到一種新的、頻率特性更好的微分算子。

2 通過(guò)內(nèi)插結(jié)合形成新分?jǐn)?shù)階微分濾波器
2．1 基于Rectangular算子和Tustin算子內(nèi)插結(jié)合的分?jǐn)?shù)階微分濾波器
    通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)矩形(Rectangular)濾波器和梯形(Tustin)濾波器分別具有最好的幅頻和相頻特性，因此將這兩種濾波器通過(guò)內(nèi)插結(jié)合，可獲得更好的近似理想積分器。
    由于微分和積分的互逆性，首先推導(dǎo)新的積分算子HA(z)。用下標(biāo)A表示結(jié)合后積分器，用下標(biāo)R表示矩形積分器，用下標(biāo)T表示梯形積分器，其積分算子的傳輸函數(shù)由Rectangular算子和Tustin算子按3：1的比率結(jié)合獲得。積分器傳輸函數(shù)如下所示：

    其零點(diǎn)不在單位圓內(nèi)將零點(diǎn)z=一7映射到z=一1／7，通過(guò)乘以7對(duì)幅度進(jìn)行相應(yīng)補(bǔ)償，獲得最小相位積分器如下：

    下面是T=O．001 s時(shí)，使用該算子實(shí)現(xiàn)0．5階微分的IIR分?jǐn)?shù)階微分濾波器傳遞函數(shù)GvAn(z)：

2．2 基于Tustin算子和Simpson算子內(nèi)插結(jié)合的分?jǐn)?shù)階微分濾波器
    同樣通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)Tustin算子和Simpson算子雖然在高頻都有明顯誤差，但兩者的幅度曲線分別位于理想頻率曲線的上下兩側(cè)，以期通過(guò)內(nèi)插結(jié)合相互抵消，而獲得性能更好的濾波器。新的積分算子HB(z)傳輸函數(shù)通過(guò)梯形(Tustin)算子和辛普森(Simpson)算子按2：3比例結(jié)合獲得。

圓內(nèi)。為了構(gòu)造最小相位系統(tǒng)，將零點(diǎn)r2映射到其倒數(shù)r1上。同時(shí)為了使幅度保持不變，引入補(bǔ)償因子一r2。獲得的積分算子如下：

    積分算子的極點(diǎn)是1和一1，在單位圓上，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性，但經(jīng)過(guò)后面連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充方法截?cái)嗪?，可以使極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)。
    下面是T=O．001 s時(shí)，使用新算子B實(shí)現(xiàn)0．5階微分的IIR分?jǐn)?shù)階微分濾波器函數(shù)GvBn(z)：

2．3 基于Rectangular算子和Simpson算子內(nèi)插結(jié)合的分?jǐn)?shù)階微分濾波器
    同樣將Rectangular算子和Simpson算子結(jié)合也可以形成新算子。新的積分算子HC(z)傳輸函數(shù)通過(guò)矩形(Rectangular)算子和辛普森(Simpson)算子按5：3比例結(jié)合獲得：

相位系統(tǒng)，將零點(diǎn)r2映射到其倒數(shù)1/r2上。同時(shí)為了使幅度保持不變，引入補(bǔ)償因子一r2。獲得的積分算子
如下：

    積分算子的極點(diǎn)是1和一1，在單位圓上，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性，但經(jīng)過(guò)后面連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充方法截短后，可以使極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)。
    下面是T=0．001 s時(shí)，使用新算子C實(shí)現(xiàn)0．5階微分的IIR分?jǐn)?shù)階微分濾波器函數(shù)GvCn(z)：

    圖3顯示的是通過(guò)相互結(jié)合的3種新算子的分?jǐn)?shù)階微分濾波器頻率響應(yīng)。可以看出，新算子中A相比B和C具有更好的頻率特性。其幅度特性曲線從低頻到高頻都基本接近理想頻率響應(yīng)曲線。新算子中A的相位特性隨頻率的增大，相位延遲近似線性增加，可以引入分?jǐn)?shù)階延遲濾波器來(lái)進(jìn)一步改進(jìn)相位特性。

3 結(jié) 語(yǔ)
    主要從頻域角度出發(fā)，對(duì)分?jǐn)?shù)階微分IIR濾波器的設(shè)計(jì)以及實(shí)現(xiàn)進(jìn)行了深入分析。分?jǐn)?shù)階微分IIR濾波器的實(shí)現(xiàn)有兩個(gè)重要的步驟。首先，找到合適的微分算子，所選算子的頻率響應(yīng)逼近理想分?jǐn)?shù)階微分頻率響應(yīng)的程度直接影響到所實(shí)現(xiàn)濾波器的表現(xiàn)；其次，要使用合適的展開(kāi)方法把傳輸函數(shù)從分?jǐn)?shù)階形式轉(zhuǎn)化成整數(shù)階濾波器的形式，連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充(CFE)方法是一種廣泛使用并有良好效果的方法。這里通過(guò)將幾種典型算子進(jìn)行內(nèi)插結(jié)合獲得了一種整體更接近理想頻率響應(yīng)的算子，使用連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充(CFE)方法，完成了分?jǐn)?shù)階微分IIR濾波器的數(shù)字實(shí)現(xiàn)，通過(guò)新算子頻率響應(yīng)的對(duì)比分析，分?jǐn)?shù)階微分濾波器的性能獲得了明顯的提高。