基于全相位幅頻特性補(bǔ)償?shù)腇IR濾波器設(shè)計(jì)

1 引言
    控制邊界頻率一直是FIR濾波器設(shè)計(jì)的難題。傳統(tǒng)的濾波器設(shè)計(jì)法，如頻率采樣法和窗函數(shù)法，因?yàn)闊o法控制臨界頻率，其應(yīng)用受到限制。而一些現(xiàn)代濾波器設(shè)計(jì)方法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法…、免疫算法等，這些方法設(shè)計(jì)的濾波器系數(shù)都是借助某種最優(yōu)化算法對(duì)目標(biāo)幅頻函數(shù)進(jìn)行逼近的過程中得到，但并沒有解決在優(yōu)化過程中如何控制邊界頻率問題。文獻(xiàn)提出一種FRM(FreqLtency Responses Masking，頻率響應(yīng)屏蔽)設(shè)計(jì)法，它首先要設(shè)計(jì)兩路滿足幅度互補(bǔ)的原型濾波器，再將原型濾波器的每個(gè)延時(shí)器用M個(gè)延時(shí)器來代替(即內(nèi)插過程)，然后分別設(shè)計(jì)兩路屏蔽濾波器去濾除由于內(nèi)插而產(chǎn)生的鏡像頻率特性，最后將兩路響應(yīng)疊加即得最后濾波輸出。這樣產(chǎn)生的濾波器系數(shù)具有稀疏特性，而總的濾波器長度并不會(huì)明顯增加，此方法因?yàn)榭蓪⑦^渡帶限制在很窄的寬度內(nèi)而得到廣泛應(yīng)用，但該方法存在原型濾波器與屏蔽濾波器的階數(shù)、各頻帶波紋相互影響及性能匹配的問題，這些問題通常要用線性規(guī)化等復(fù)雜數(shù)學(xué)途徑去解決。
    本文在文獻(xiàn)提出的全相位濾波器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，通過變傳統(tǒng)頻率采樣模式為偶對(duì)稱的頻率采樣模式，并引入雙相移組合和構(gòu)造用于補(bǔ)償?shù)娜辔粏未盀V波器的方法，借助于MATLAB設(shè)計(jì)，使得FIR濾波器的臨界頻率的位置可通過改變參數(shù)λ得以解決，它具有無需多步迭代優(yōu)化、設(shè)計(jì)方法簡單的特點(diǎn)。

2 偶對(duì)稱頻率采樣下的全相位FIR濾波器
2．1 全相位等效FIR濾波器的設(shè)計(jì)步驟
    文獻(xiàn)提出全相位DFT濾波器設(shè)計(jì)法，具有頻率采樣法和窗函數(shù)法的雙重性質(zhì)，并指出：濾波器性能可通過加前窗f或后窗b而得以改善，f和b的設(shè)定可分為三種情況：無窗、單窗和雙窗。要設(shè)計(jì)N階全相位濾波器，需先設(shè)置一頻率向量H，最終全相位濾波器可等效為長度為2N-1的FIR濾波器，其設(shè)計(jì)可分為三個(gè)步驟：(1)對(duì)H進(jìn)行IDFT生成h，再對(duì)h進(jìn)行定義域延伸，形成(2N一1)長度的向量h’=[h(-N+1)…h(huán)(0)…h(huán)(N-1)]T。(2)將前窗f、后窗b進(jìn)行卷積并歸一化后生成卷積窗wc。(3)將h’、wc對(duì)應(yīng)元素相乘即得等效FIR濾波器。根據(jù)以上步驟，將生成的2N-l長度的FIR濾波器g的系數(shù)推導(dǎo)如下：
    設(shè)定頻率向量為H=[H(O)H(1)…H(N一1)]T，假設(shè)滿足傳統(tǒng)對(duì)稱H(k)=H(N-k)，(k=1，…，N-1)，令H對(duì)應(yīng)的IDFT為k=[h(0)h(1)…h(huán)(N-1)]T。令WN=e-j2π/N，對(duì)h(n)的定義域進(jìn)行延拓可得向量h’：

2．2 偶對(duì)稱頻率采樣下的全相位FIR濾波器
    事實(shí)上，H也可設(shè)為偶對(duì)稱形式，即滿足H(k)=H(N-1一k)，(k=0，…，N-1)。如N=16時(shí)，可設(shè)為：H=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1]T，這時(shí)式(1)的IDFT結(jié)果為復(fù)數(shù)，從而式(4)的FIR系數(shù)也為復(fù)數(shù)。為得到實(shí)FIR系數(shù)，需要將式(4)的g乘以一相移向量v0=[v0(-N+1)…v0(一1)v0(0)v0(1)…v0(N-1)]T，其中結(jié)合式(4)，其FIR濾波器系數(shù)變?yōu)椋?/p>

   
    令頻率采樣間隔△ω=2π/N，文獻(xiàn)證明：無窗和單窗全相位濾波器的傳遞曲線嚴(yán)格通過頻率設(shè)置點(diǎn)k△ω,k=0，1，…，N—l而式(5)對(duì)濾波器系數(shù)乘以相移向量v0后，根據(jù)傅氏變換的頻移性質(zhì)，其頻率設(shè)置點(diǎn)也相應(yīng)右移0．5△ω，即嚴(yán)格通過ω=(k+0．5)△ω，這樣就形成了偶對(duì)稱的頻率采樣模式。例：當(dāng)N=8時(shí)，令傳統(tǒng)頻采向量H=[1 1 l 0 0 01 1]T偶對(duì)稱頻采向量He=[1 1 0 0 0 0 1 1]T。則這兩種模式在[O，2π)內(nèi)的采樣點(diǎn)分布如圖1所示。

3 全相位幅頻補(bǔ)償法下的低通濾波器設(shè)計(jì)
    以N=16為例，將偶對(duì)稱頻率采樣向量H設(shè)為：H=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 l]T，在加漢明單窗的情況下，采用前面的全相位FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟，可得到如圖2所示的幅頻曲線。

    從圖2可看出：|H(ejω)|曲線在通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)均較平緩，且嚴(yán)格通過通帶邊界頻率采樣點(diǎn)ω1=2．5△ω和阻帶邊界頻率采樣點(diǎn)ω3=3．5△ω，這樣就可把過渡帶嚴(yán)格控制在頻率采樣問隔△ω內(nèi)。另外，還可發(fā)現(xiàn)，頻率采樣點(diǎn)ωl與ω3間的曲線的線性度很好(N越大時(shí)，線性度越好，其線性程度還可通過窗函數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié))，若近似把這段曲線看成是直線段，則可估計(jì)3dB截止頻率ω2的大致位置為ω2*=(3．5-0．7071)△ω=2．792△ω=1．097(rad．s-1)，實(shí)際圖2中ω2=2．839△ω=1．115(rad．s-1)，兩者存在0．018(rad．s-1)的微小差別，增大N或者選擇一個(gè)好的窗函數(shù)可將此差別減小。
    以下通過幅頻特性補(bǔ)償法，可實(shí)現(xiàn)圖2的邊界頻率ωl、ω2、ω3的位置精確平移控制：
    把頻率向量H分為兩單邊帶部分H=Hl+H2，其中H1=[l 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T,H2=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1]T。根據(jù)H1、H2，同樣按全相位濾波器構(gòu)造步驟可分別形成兩個(gè)子濾波器h1，h2，根據(jù)式(1)和式(5)，其各自對(duì)應(yīng)的濾波器系數(shù)分別為(M=3，N=16)：

   
    顯然滿足h1(n)=h2*2(n)，從而根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)，有：

   
    如圖3所示：兩者幅頻曲線關(guān)于ω=π對(duì)稱。

    實(shí)際要求的截止頻率往往不會(huì)恰好落在圖2所示的頻率采樣點(diǎn)上，傳統(tǒng)方法只有增大濾波器長度N來實(shí)現(xiàn)來調(diào)整邊界頻率。為實(shí)現(xiàn)不改變Ⅳ來控制邊界頻率，可把這兩子濾波器曲線進(jìn)行平移來實(shí)現(xiàn)。由于圖3兩子濾波器曲線是對(duì)稱的，若將這兩條曲線各自朝相反方向平移相同距離，再把兩子濾波器合成一個(gè)濾波器，就可得到實(shí)系數(shù)的低通濾波器，假設(shè)要平移λ個(gè)△ω，則平移后的兩子濾波器的FIR系數(shù)為：

    把兩子濾波器系數(shù)相加后得到的濾波器系數(shù)g’為：

   
    取λ=0．25時(shí)，平移后的兩個(gè)子濾波器及其復(fù)合疊加后的傳輸曲線如圖4(a)、4(b)所示。

    相比于圖3：圖4(a)的子濾波器1、2的傳輸曲線分別往右和往左移動(dòng)了0．25個(gè)△ω。圖4(b)是將兩子濾波器復(fù)合疊加的結(jié)果：可發(fā)現(xiàn)其低頻區(qū)域凹下一塊，這就是說，復(fù)合后的濾波器不具備低通特性，因而需用全相位補(bǔ)償法予以解決。
    借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)可得到G'(ejω)在ω=0和2π／N處的值，令a=|G(ej0)|，b=|G(ej2π/N)|，設(shè)置一頻率向量Hc=[1一al一b 0 0 00 0 0 O O O 0 0 0 0 1—b]T，利用Hc采用全相位設(shè)計(jì)可構(gòu)造出一補(bǔ)償濾波器：圖5(a)為在加kaiser(N，1)窗與矩形窗卷積形成的單窗下而得到的補(bǔ)償濾波器hc的幅頻曲線，圖5(b)為補(bǔ)償后的濾波器g的幅頻曲線。很明顯，補(bǔ)償后的幅頻曲線消除了低頻區(qū)的凹口，獲得了平坦特性。
    由于補(bǔ)償后的濾波器系數(shù)由兩個(gè)子濾波器系數(shù)h1'、h2'和補(bǔ)償濾波器hc疊加而來，從而有：

   
    圖5(b)中的邊界頻率為：ωl=2．75△ω，ω2=3．089△ω，ω3=3．75△ω。相比于圖2，都精確地平移0．25個(gè)△ω。
    由于hl’、h2’系數(shù)互為共軛，且補(bǔ)償濾波器hc的系數(shù)也為實(shí)數(shù)，因而濾波器g的系數(shù)也為實(shí)數(shù)。

4 全相位補(bǔ)償法下的其他類型濾波器設(shè)計(jì)
    除設(shè)計(jì)低通濾波器外，采用這種補(bǔ)償?shù)姆椒稍O(shè)計(jì)任意類型的FIR濾波器，大致都可分為如下步驟：(1)從偶對(duì)稱的頻率向量H衍生出兩個(gè)互為對(duì)稱的向量Hl、H2(2)利用H1、H2按照全相位濾波器設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)出兩個(gè)子濾波器h1，h2(也可形成子濾波器對(duì))。(3)再將子濾波器hl，h2分別乘以互為共軛的相移向量vl、v2，令相移后的子濾波器分別為h1’、h2'。(4)將濾波器h1’、h2’進(jìn)行復(fù)合而得到g'，其對(duì)應(yīng)的幅頻函數(shù)為G'(ejω)。(5)借助于計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，得出G'(ejω)在需要補(bǔ)償?shù)膋△ω頻率點(diǎn)處的值。(6)根據(jù)補(bǔ)償頻率點(diǎn)處的G'(ejω)值構(gòu)造出補(bǔ)償頻率響應(yīng)向量Hc，并根據(jù)Hc選擇適當(dāng)?shù)膯未皹?gòu)造出補(bǔ)償濾波器hc。(7)將h1'、h2'、hc進(jìn)行復(fù)合疊加得到最后的濾波器g。
    各種類型濾波器的構(gòu)造區(qū)別僅在于步驟(1)的頻率向量的衍生方式、步驟(4)的復(fù)合方式及步驟(5)補(bǔ)償頻率點(diǎn)的選擇位置有所不同。由于篇幅所限，對(duì)各類型只作簡單描述：
4．1 高通濾波器的設(shè)計(jì)
    將步驟(1)的高通頻率向量H用旁補(bǔ)法的衍生方式形成兩個(gè)對(duì)稱的頻率向量H1、H2，然后利用幅頻曲線的高頻區(qū)域的幅頻值構(gòu)造補(bǔ)償濾波器hc，再根據(jù)式(10)得到最后的高通濾波器系數(shù)。
4．2 帶通濾波器的設(shè)計(jì)
    其基本思想是采用兩個(gè)截止頻率不同的低通濾波器系數(shù)相減的方法得到帶通濾波器。由于每個(gè)低通濾波器可分成2個(gè)頻率向量，因此需要分解成4個(gè)單邊帶的頻率向量。以N=32為例，設(shè)兩個(gè)低通頻率向量分別為：

   
    由Ha、Hb可分別分裂成兩個(gè)頻率向量，從而可得到四個(gè)單邊帶的頻率向量：

   
    設(shè)定兩個(gè)頻移參數(shù)λ1、λ2，使得Ha1、Ha2對(duì)應(yīng)的濾波器傳遞曲線朝互為相反的方向各自移動(dòng)λ1個(gè)2π/N(rad／s)，而Hb1、Hb2對(duì)應(yīng)的濾波器傳遞曲線朝互為相反的方向各自移動(dòng)λ2個(gè)2π／N(rad／s)，假設(shè)平移后四個(gè)單邊帶頻率向量對(duì)應(yīng)的濾波器系數(shù)為ha1'、ha2'、hb1'、hb2'，則復(fù)合后的帶通濾波器系數(shù)可表述為：

   
    由于ha1、ha2、Hb1、Hb2都對(duì)應(yīng)低通傳輸特性，因此需要補(bǔ)償?shù)念l率點(diǎn)位置也出現(xiàn)在低頻區(qū)，采用3．1旁補(bǔ)法即可得到補(bǔ)償濾波器hc。再按照步驟(7)即可得到最后的帶通濾波器g。
    可見，通過設(shè)置頻移參數(shù)λ1、λ2就可靈活調(diào)整帶通濾波器的頻帶位置及其帶寬，因而控制了邊界頻率。
4．3 陷波器的設(shè)計(jì)
    以具體實(shí)例來說明基于全相位幅頻補(bǔ)償法的陷波器的設(shè)計(jì)，以N=16為例，假設(shè)陷波偶對(duì)稱頻率向量H=[l 1 1 0 1 1 l l 1 1 l 1 0 1 1 1]T，其對(duì)應(yīng)的幅頻特性及其衰減特性如圖6所示：由于幅頻曲線嚴(yán)格通過(k+0．5)△ω的頻率采樣點(diǎn)，因此邊界頻率ω1=2．5△ω，ω3=3．5△ω，其中陷波點(diǎn)ω3處的衰減可達(dá)一300dB以下；3分貝角頻率ω2=2．830△ω，3分貝帶寬△ω2=1．34l△ω。
    可將H衍生為兩個(gè)頻率向量Hl、H2：

   

    令頻移參數(shù)λ=0．25，將H1、H2、λ代入式(8)可得對(duì)應(yīng)平移后的濾波器h1'、h2'，將它們按式(12)疊加，即得復(fù)合后的陷波器系數(shù)：

   
    式(12)的g(0)要減去l，是因?yàn)閔1'、h2'疊加過程中會(huì)引入大小為1的直流量，因而需要將此直流量減去。直流調(diào)整后的陷波曲線如圖7所示，圖7(a)表明：所有的邊界頻率點(diǎn)都精確地移動(dòng)了0．25△ω，各邊界頻率變?yōu)榈菆D7(b)表明：陷波器的衰減性能變差，原因是陷波點(diǎn)移動(dòng)后，ω1仍為子濾波器1幅值為0的頻率設(shè)置點(diǎn)，但偏離了子濾波器2幅值為l的頻率設(shè)置點(diǎn)。借助MATLAB可測出G'(ejω1)值，令μ=|G'(ejω1)|，用-μ值去替代H1、H2中幅值為0的頻率采樣值，重新代入式(9)和式(11)得到的衰減曲線如圖8所示。

    圖8表明，經(jīng)過μ值修正后的衰減特性仍可達(dá)-300dB以下。對(duì)應(yīng)的陷波器系數(shù)如表l所示。

5 結(jié)論
    本文提出基于全相位幅頻特性補(bǔ)償?shù)?strong>FIR濾波器設(shè)計(jì)法，在偶對(duì)稱的頻率采樣基礎(chǔ)上，通過引入雙相移組合和構(gòu)造補(bǔ)償濾波器的方法，它可把過渡帶控制在頻率采樣間隔內(nèi)。增大濾波器階數(shù)N有利于控制過渡帶內(nèi)幅頻曲線的線性度和減小邊界頻帶寬度。并且在實(shí)際的數(shù)字濾波應(yīng)用場合，可在不增大N的情況下，通過設(shè)置頻移參數(shù)λ來解決對(duì)低通、高通、帶通、陷波各濾波器的邊界頻率位置的任意點(diǎn)移動(dòng)控制問題。