一種改善微弱信號(hào)信噪比的小波變換消噪法

0 引 言
    任何一個(gè)系統(tǒng)都不可能做到完全沒有噪聲，甚至有相當(dāng)多的時(shí)候所需要的有用信號(hào)被強(qiáng)背景噪聲淹沒。因此如何從信噪比為負(fù)十幾dB甚至幾十個(gè)dB的環(huán)境中有效地提取出有用信號(hào)顯得越來越重要。對(duì)于這種微弱信號(hào)的檢測(cè)問題的研究，目前已經(jīng)取得一些進(jìn)展，比如隨機(jī)共振檢測(cè)理論、分段采樣信號(hào)的相位關(guān)聯(lián)檢測(cè)技術(shù)以及混沌理論微弱信號(hào)檢測(cè)原理等。雖然各有所長(zhǎng)，但在實(shí)際運(yùn)用過程中還存在這樣那樣的缺陷，不能滿足需要。
    這里介紹了最近發(fā)展較快的小波分析理論在信號(hào)去噪方面的應(yīng)用，提出了適合于極低信噪比條件下的小波變換去噪法，通過構(gòu)造具有自適應(yīng)性的閾值函數(shù)以及閾值處理方式的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以提取微弱的有用信號(hào)特征信息，實(shí)現(xiàn)信號(hào)恢復(fù)。

1 小波變換檢測(cè)微弱信號(hào)原理
    小波分析是一種時(shí)頻域分析，具有多分辨率特性。因此在時(shí)頻域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種窗口大小不變但其形狀可改變時(shí)頻局部化分析方法。在高頻部分使用逐漸尖銳的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，以便移近觀察信號(hào)的快變部分；在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，以便移遠(yuǎn)觀察信號(hào)的慢變部分(整體變化趨勢(shì))，小波這種信號(hào)分析表示特征對(duì)分析非平穩(wěn)信號(hào)是非常有效的，很適合探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并且展示其成分。這種時(shí)頻面上的分析給信號(hào)處理帶來前所未有的更為深入的發(fā)展。
    運(yùn)用小波分析進(jìn)行一維信號(hào)消噪處理是小波分析的重要應(yīng)用之一，下面將其消噪的基本原理做簡(jiǎn)要的說明。
    一個(gè)含噪聲的一維信號(hào)的模型可以表示成如下的形式：

   
其中：f(i)為真實(shí)信號(hào)；e(i)為噪聲；s(i)為含噪聲的信號(hào)。在實(shí)際工程中，有用信號(hào)通常表現(xiàn)為低頻部分或是一些比較平穩(wěn)的信號(hào)，而噪聲信號(hào)則通常表現(xiàn)為高頻的信號(hào)。所以消噪過程可按如下方法進(jìn)行處理：首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解，則噪聲部分通常包含在各層的高頻分量中，因而可以以門限閾值等形式對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)即可達(dá)到消噪的目的。
    根據(jù)上文的分析可以知道，一維信號(hào)的消噪過程可分為2個(gè)步驟進(jìn)行：
    (1)一維信號(hào)的小波分解。選擇一個(gè)小波并確定一個(gè)小波分解的層次N，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行N層小波分解；
    (2)小波分解高頻系數(shù)的閾值量化。從第1層到第N層的每一層高頻系數(shù)選擇1個(gè)閾值進(jìn)行軟閾值量化處理；
    (3)一維小波的重構(gòu)。根據(jù)小波分解的第N層的低頻系數(shù)和經(jīng)過量化處理后的第1層到第N層的高頻系數(shù)，進(jìn)行一維信號(hào)的小波重構(gòu)。
    在這三個(gè)步驟中，最關(guān)鍵的就是如何選取閾值和如何進(jìn)行閾值的量化，從某種程度上說，它關(guān)系到信號(hào)的質(zhì)量。這里針對(duì)傳統(tǒng)信號(hào)的閾值函數(shù)選取以及分解系數(shù)處理方式的不足之處，結(jié)合工程實(shí)際進(jìn)行了改善。

2 小波閾值函數(shù)的構(gòu)建
    小波閾值去噪的理論依據(jù)為：屬于能量有限空間的信號(hào)在小波域內(nèi)其能量主要集中在有限的幾個(gè)系數(shù)中，而噪聲的能量卻分布在整個(gè)小波域中，因此經(jīng)過小波分解后信號(hào)的系數(shù)要大于噪聲的系數(shù)，于是可以找到一個(gè)合適的數(shù)λ作為閾值(門限)，當(dāng)分解系數(shù)小于該閾值時(shí)，認(rèn)為這時(shí)的分解系數(shù)主要是由噪聲引起的，并置為零，予以舍棄；當(dāng)分解系數(shù)大于該閾值時(shí)，認(rèn)為這時(shí)的分解系數(shù)主要是由信號(hào)引起的，則把這一部分分解系數(shù)的直直接保留下來(硬閾值方法)或者按某一固定量向零縮(軟閾值方法)，然后由新的小波系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)到去噪后的信號(hào)。
    小波閾值的選取是一個(gè)非常重要的步驟，其直接影響噪聲消除的效果。很明顯，如果閾值過高，則會(huì)將系數(shù)分量中的信號(hào)成分當(dāng)作噪聲分量去除，造成信號(hào)失真；反之，若閾值選取過低，又不能充分去除噪聲，不能達(dá)到很好的效果。此外，不同的閾值構(gòu)建方法其適用場(chǎng)合也不盡相同，必須圍繞信噪比和信號(hào)特點(diǎn)綜合考慮構(gòu)建方式。
    針對(duì)微弱信號(hào)的特點(diǎn)，即SNR<一1，此時(shí)噪聲的能量較大，由于信號(hào)的信噪比：
   
式中：σs為信號(hào)強(qiáng)度；σn為噪聲強(qiáng)度。由此可知，當(dāng)信號(hào)強(qiáng)度減小或者噪聲強(qiáng)度增大時(shí)，信噪比均會(huì)減小。因此，當(dāng)噪聲占主要地位時(shí)，若是只考慮噪聲強(qiáng)度是不全面的，例如當(dāng)信號(hào)強(qiáng)度不變，增大噪聲，信噪比減??；若是只考慮噪聲強(qiáng)度則會(huì)使得閾值成線性上升，使得丟失的信息過多，對(duì)于信號(hào)參數(shù)的估計(jì)和信號(hào)的重構(gòu)都是不利的。另一方面，如果信號(hào)是周期性連續(xù)信號(hào)，最好選擇同樣具有連續(xù)性的閾值函數(shù)。因此，考慮選取閾值為：

   
其中：j為小波變換尺度；N為采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)；μ為調(diào)節(jié)因子；用以調(diào)節(jié)隨σs/σn變化，exp[μ(σs/σn)]變化的快慢。

3 閾值處理方式的優(yōu)化
    傳統(tǒng)的硬、軟閾值方法雖然在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用，也取得了較好的效果，但這些方法本身還存在一些缺陷。在硬閾值處理過程中，得到的估計(jì)小波系數(shù)值連續(xù)性差，即由于分解系數(shù)在±λ處是不連續(xù)的，因此重構(gòu)所得的信號(hào)可能會(huì)產(chǎn)生一些振蕩；而軟閾值方法中估計(jì)小波系數(shù)雖然整體連續(xù)性好，但是由于當(dāng)小波系數(shù)較大時(shí)，分解系數(shù)之間總存在恒定的偏差，這將直接影響重構(gòu)信號(hào)與真實(shí)信號(hào)的逼近程度，給重構(gòu)信號(hào)帶來不可避免的誤差。
    如果對(duì)噪聲用分解的系數(shù)用C(J，k)表示，其中j代表小波尺度，k代表時(shí)間，則可以得出如下結(jié)論：
    (1)如果所分解的信號(hào)是一個(gè)平穩(wěn)、零均值的白噪聲，則其小波分解系數(shù)是不相關(guān)的；
    (2)如果所分解的信號(hào)是一個(gè)高斯噪聲，則其小波分解系數(shù)是獨(dú)立的，并且也是高斯分布的；
    (3)如果所分析的信號(hào)是一個(gè)有色、平穩(wěn)、零均值的高斯噪聲序列，則其小波分解系數(shù)也是高斯序列。對(duì)每一個(gè)分解尺度j，其系數(shù)是一個(gè)有色、平穩(wěn)的序列。
    用ω(j,k)表示對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行小波分解后得到的小波系數(shù)，由于小波變換是一種線形變換，因此它由2部分組成：信號(hào)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)和噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)。由于軟閾值方法估計(jì)出來的小波系數(shù)ω(j,k)的絕對(duì)值總比ω(j,k)要小λ而影響了重構(gòu)精度，應(yīng)設(shè)法減小此偏差。只要使ω(j,k)與由信號(hào)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)之間的差值盡量小，則ω(j,k)更接近于信號(hào)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)，重構(gòu)精度就越高。構(gòu)造函數(shù)：

   
可知，當(dāng)a=O時(shí)上式等效為。Donoho硬閾值；當(dāng)a一1時(shí)，上式等效為Donoho軟閾值；當(dāng)a在0～1之間變化時(shí)，z一±cx3，有|f(x)一x|一>aλ。也就是說，隨著ω(j,k)模值的增大，ω(j,k)與ω(j,k)偏差的絕對(duì)值逐漸減小為αλ，大大減小了軟閾值方法中產(chǎn)生的恒定偏差，提高了重構(gòu)精度，改善了去噪效果?？梢?，相對(duì)于硬、軟閾值函數(shù)，新閾值函數(shù)是一個(gè)更優(yōu)、更靈活的選擇。只要在0和1之間適當(dāng)?shù)恼{(diào)整α的大小，就可以獲得更好的去噪效果。圖1是用．Matlab畫出的Donoho軟、硬閾值圖及新閾值函數(shù)圖(α=O．1)。

4 仿真試驗(yàn)
    為了說明所述小波消噪法的有效性和優(yōu)越性，分別采用傳統(tǒng)的閾值函數(shù)和軟硬閾值處理的方法以及新閾值函數(shù)和新閾值處理方式的方法進(jìn)行去噪試驗(yàn)，試驗(yàn)對(duì)象選擇信噪比為低于一10 dB的混有平穩(wěn)加性高斯白噪聲信號(hào)，信號(hào)波形如圖2所示。信噪比為一13．777 6 dB。
    圖3是用兩種小波方法處理含噪信號(hào)的消噪結(jié)果波形圖，表1是兩種消噪方法得到的信噪比。從圖3和表1中可以得到如下結(jié)論：

    (1)傳統(tǒng)小波消噪法處理后的信號(hào)雖然去除了部分噪聲信號(hào)，信噪比也有所提高，但圖形離原始信號(hào)的本來面目相差很遠(yuǎn)，從波形上還是無法確定有用信號(hào)的特征，可以說這樣的處理結(jié)果是無效的。產(chǎn)生這種結(jié)果的原因就是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的硬閾值小波消噪在處理噪聲信號(hào)時(shí)對(duì)閾值的選擇依賴性很強(qiáng)，在消噪過程中保留了強(qiáng)背景信號(hào)的某些特征，或者消弱了真實(shí)信號(hào)的完整性。閾值選擇的適合與否直接影響微弱信號(hào)的檢測(cè)效果，因此對(duì)于淹沒在強(qiáng)噪聲背景下的微弱信號(hào)而言，這種方法顯得束手無策。
    (2)這里結(jié)合信號(hào)特征及低信噪比這一實(shí)際情況，采用了具有可調(diào)節(jié)的閾值函數(shù)，并對(duì)分解系數(shù)的處理方式進(jìn)行了優(yōu)化，從而大大改善了去噪效果。從圖3中可以看出雖然消噪后的信號(hào)與原始無噪信號(hào)還有較大差別，但很明顯可以知道信號(hào)的周期、幅值等特征，信噪比也達(dá)到15．530 3 dB，提高了約30 dB，基本上完成了微弱信號(hào)的檢測(cè)任務(wù)。
    (3)表1中的信噪比是對(duì)信號(hào)消噪的量化表征。很明顯，這里所述的新方法具有最好的去噪效果。

5 結(jié) 語
    這里提出了一種具有可調(diào)功能的閾值函數(shù)，充分考慮到了信噪比因素的影響，此外對(duì)分解系數(shù)的處理也進(jìn)行了合理優(yōu)化。與傳統(tǒng)的硬、軟閾值方法相比，去噪效果無論在視覺上還是在去噪后信號(hào)的信噪比都有明顯改善，而且新方法很靈活，具有很好的穩(wěn)定。