基于數(shù)字電路中卡諾圖的應(yīng)用研究

0 引言
    在數(shù)字電路中，卡諾圖是用最小項(xiàng)方格表示邏輯函數(shù)的方法，其是用圖形表示輸入變量與函數(shù)之間的邏輯關(guān)系，它用幾何位置上的相鄰，形象地表示了組成邏輯函數(shù)的各個(gè)最小項(xiàng)之間在邏輯上的相鄰性。初學(xué)者往往以為卡諾圖只是數(shù)字電路分析和設(shè)計(jì)中用以化簡邏輯函數(shù)的一種工具。其實(shí)不然，實(shí)際上靈活運(yùn)用卡諾圖，可以使邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)過程大大地簡化，讓一些難題迎刃而解。下面介紹卡諾圖在化簡之外的幾點(diǎn)靈活運(yùn)用。

1 卡諾圖的應(yīng)用
1．1 利用卡諾圖結(jié)構(gòu)幫助記憶格雷碼
    格雷碼是一種常用的無權(quán)BCD碼，相鄰兩碼之間只有一位二進(jìn)制數(shù)碼不同。常用于模擬量的轉(zhuǎn)換中，當(dāng)模擬量發(fā)生微小變化而可能引起數(shù)字量發(fā)生變化時(shí)，格雷碼僅改變1位，這樣與其他碼同時(shí)改變兩位或多位的情況相比更為可靠，可減少出錯(cuò)的可能性，提高電路的抗干擾能力，它是一種典型的可靠性代碼，這種碼制在數(shù)控裝置中有著廣泛的應(yīng)用。但由于這種編碼所具有的獨(dú)特性，實(shí)際應(yīng)用中很難記憶。經(jīng)研究和探討，我們觀察到利用卡諾圖按照一定規(guī)律取值，可用于實(shí)現(xiàn)記憶格雷碼。這種獨(dú)特的記憶方式，可幫助學(xué)生方便、輕松地記住該編碼，并應(yīng)用于實(shí)際中。
    選用四變量卡諾圖并令：G3G2G1G0分別作為四位格雷碼的輸入變量。將變量G3G2作為高位，GlGO作為低位。畫出四變量卡諾圖。從四變量卡諾圖中我們可見，卡諾圖中四變量若按箭頭所示的方向順序取值，其所取的值變化順序正好即為四位格雷碼的編碼表，如圖1格雷碼的卡諾圖表示法所示。十進(jìn)制數(shù)從0～15，對應(yīng)四位格雷碼的輸入代碼依次分別為0000—0001—0011——1001一1000，如表l所示格雷嗎碼的編碼表。
1．2 卡諾圖在組合邏輯電路競爭冒險(xiǎn)中的應(yīng)用
    競爭冒險(xiǎn)，是數(shù)字電路中一種特有的現(xiàn)象。不同的門電路有著不同的延遲時(shí)間，輸入信號經(jīng)過不同的途徑進(jìn)行傳輸，到達(dá)輸出端的時(shí)間有早有遲，狀態(tài)變化有先有后，存在時(shí)差。這種狀態(tài)變化存在時(shí)差的現(xiàn)象就叫做“競爭”。如果競爭結(jié)果是使穩(wěn)態(tài)輸出的邏輯關(guān)系受到短暫破壞，出現(xiàn)不應(yīng)有的尖峰脈沖，這種現(xiàn)象就叫做“冒險(xiǎn)”。冒險(xiǎn)可能使電路產(chǎn)生暫時(shí)或永久的邏輯錯(cuò)誤。

    在進(jìn)行邏輯電路設(shè)計(jì)時(shí)，我們必須應(yīng)發(fā)現(xiàn)和判別出產(chǎn)生競爭冒險(xiǎn)的可能，并采取積極有效的措施將競爭冒險(xiǎn)予以消除。判斷和消除競爭冒險(xiǎn)的方法很多，最簡便和最直觀的方法就是使用卡諾圖。
    使用卡諾圖判斷一個(gè)組合邏輯電路是否存在著競爭冒險(xiǎn)的一般步驟是：首先畫出該電路邏輯函數(shù)的卡諾圖，然后在函數(shù)卡諾圖上畫出與表達(dá)式中所有乘積項(xiàng)相對應(yīng)的卡諾圈，如果圖中有相切的卡諾圈，則該邏輯電路存在著競爭冒險(xiǎn)如圖2所示，所謂卡諾圈相切即兩個(gè)卡諾圈之間存在不被同一卡諾圈包含的相鄰最小項(xiàng)。

    如果邏輯函數(shù)的卡諾圖中存在著相切的卡諾圈，該邏輯電路就存在著競爭冒險(xiǎn)；那么，只要使函數(shù)的卡諾圖中消除相切的卡諾圈，即可消除競爭冒險(xiǎn)現(xiàn)象。在卡諾圖上，加上一個(gè)與兩相切卡諾圈相交的一個(gè)圈(一項(xiàng))，破壞卡諾圈的單獨(dú)相切性。加上此圈后，邏輯函數(shù)多了一個(gè)冗余項(xiàng)，冗余項(xiàng)的加入并不改變原邏輯函數(shù)的邏輯值，但冗余項(xiàng)的加入?yún)s可以有效地消除冒險(xiǎn)。

    例如圖3所示的卡諾圖中，有兩處存在卡諾圈相切現(xiàn)象，故其表示的邏輯函數(shù)式F=ABC十ABD+AD存在冒險(xiǎn)。可加兩個(gè)卡諾圈(虛線圈)破壞其相切性，也即增加兩個(gè)冗余項(xiàng)BCD和ACD，消除競爭冒險(xiǎn)后，該邏輯函數(shù)的表達(dá)式如下所示：

   
    由此可見，使用卡諾圖判斷和消除數(shù)字電路中的競爭冒險(xiǎn)，簡便直觀，易于操作。
1．3 用卡諾圖完成兩邏輯函數(shù)的邏輯運(yùn)算
    首先將邏輯函數(shù)F1和F2在同一張卡諾圖中表示出來。為區(qū)別起見，將函數(shù)F1出現(xiàn)的l填在卡諾圖小方格的左上角，將另一函數(shù)F2出現(xiàn)的l填在卡諾圖小方格的左下角。
    下面以幾個(gè)常見的邏輯運(yùn)算為例來說明。
    1)求兩邏輯函數(shù)Y1和Y2的或運(yùn)算F1+F2

    根據(jù)或運(yùn)算的特點(diǎn)，求或運(yùn)算時(shí)，只要將Y1、Y2卡諾圖中出現(xiàn)的所有l(wèi)都畫入包圍圈，然后根據(jù)卡諾圖寫出表達(dá)式。
    2)求兩邏輯函數(shù)Fl和F2的與運(yùn)算Fl·F2
    根據(jù)與運(yùn)算的特點(diǎn)，求與運(yùn)算時(shí)，只要將F1、F2卡諾圖中重復(fù)出現(xiàn)的l畫入包圍圈，然后根據(jù)卡諾圖寫出表達(dá)式。
    3)求兩邏輯函數(shù)Fl和F2的異或運(yùn)算Fl+F2
    根據(jù)異或運(yùn)算的特點(diǎn)，求異或運(yùn)算時(shí)，只要將Fl、F2卡諾圖中不重復(fù)出現(xiàn)的l畫入包圍，然后根據(jù)卡諾圖寫出表達(dá)式。
    例：已知兩邏輯函數(shù)F1(A，B，C)=∑m(0，1，3)，F(xiàn)2(A，B，C)=∑m(0，4，5，7)，試用卡諾圖分別求出F1+F2；Fl·F2和Fl+F2。
    解：
    1)將邏輯函數(shù)Fl、F2在同一張卡諾圖中表示出來，將函數(shù)出現(xiàn)的1填在卡諾圖小方格的左上角，將函數(shù)F2出現(xiàn)的l填在卡諾圖小方格的左下角，如圖4；
    2)求Fl+F2時(shí)，將Fl、F2卡諾圖中出現(xiàn)的所有l(wèi)都畫入包圍圈，如圖5；
    3)求F1·F2時(shí)，將F1、F2卡諾圖中重復(fù)出現(xiàn)的1畫入包圍圈，如圖6；
    4)求F1+F2時(shí)，將F1、F2卡諾圖中不重復(fù)出現(xiàn)的1畫入包圍圈，如圖7；
    5)根據(jù)圖5、6、7寫出函數(shù)表達(dá)式：

1．4 使用降維卡諾圖化簡多變量函數(shù)
    在卡諾圖中，通常我們用“0”、“1”以及無關(guān)項(xiàng)“d”(或用“×”表示)作為卡諾圖中的單元值，函數(shù)的變量都作為卡諾圖的變量，一般來說，卡諾圖的維數(shù)也就是函數(shù)的變量數(shù)．如果將某些變量也作為圖中的單元值，則所得到的卡諾圖維數(shù)將減少，這樣的卡諾圖叫做降維卡諾圖。在用中規(guī)模集成電路，特別是用數(shù)據(jù)選擇器來實(shí)現(xiàn)函數(shù)時(shí)，使用降維卡諾圖化簡多變量函數(shù)是非常有用的。降維卡諾圖化簡原理在此不再贅述。
    例如邏輯函數(shù)F(A，B，C，D)=∑m(0，3，5，6，9，10，12，
15)如果選用8選1數(shù)據(jù)選擇器74LSl5l實(shí)現(xiàn)組合邏輯函數(shù)，由于8選l數(shù)據(jù)選擇器的地址變量為3個(gè)，將邏輯函數(shù)降維為三維卡諾圖后與8選1數(shù)據(jù)選擇器含Di的卡諾圖對照比較(見圖8)，很容易獲得數(shù)據(jù)選擇器輸入信號與邏輯函數(shù)變量的關(guān)系：令A(yù)2=A，A1=B，A0=C，則Do=D3=D5=D6=D，Dl=D2=D4=D7=D，畫出邏輯圖，如圖9所示。

    如果選用4選一數(shù)據(jù)選擇器實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)，還可以將三維卡諾圖繼續(xù)降維成二維卡諾圖后與4選l數(shù)據(jù)選擇器含Di的卡諾圖對照比較(見圖11)，獲得數(shù)據(jù)選擇器輸入信號與邏輯函數(shù)變量的關(guān)系：A1=A，A0=B，D0=D3=CD+CD=C+D，Dl=D2=CD+CD=C+D
    用4選一數(shù)據(jù)選擇器實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)見圖10。

2 結(jié)束語
    從以上幾例論述可知，卡諾圖的用途不只限于邏輯函數(shù)化簡的功能，可廣泛用于記憶或設(shè)計(jì)有關(guān)碼制，競爭冒險(xiǎn)中的判斷，數(shù)據(jù)選擇器實(shí)現(xiàn)組合邏輯函數(shù)和邏輯函數(shù)的邏輯運(yùn)算等，深入理解卡諾圖的內(nèi)涵，巧妙地應(yīng)用它，能得到意想不到的效果，為數(shù)字邏輯電路的分析和綜合帶來很大的方便。