高階累積量在欠定盲源分離中信源數(shù)目估計(jì)的應(yīng)用
[導(dǎo)讀]本文從盲信號分離的基本假設(shè)出發(fā)，研究了通信偵查中雙通道盲信號個數(shù)的估計(jì)方法，通過借鑒陣列信號處理理論，證明了欠定條件下高階累積量優(yōu)化流程可以應(yīng)用在信源數(shù)目估計(jì)的問題，并分別討論了信噪比和采樣點(diǎn)數(shù)這兩個參數(shù)的變化對優(yōu)化后算法性能的影響。結(jié)果表明，在不同的信號混合情況下，信源算法估計(jì)的性能會不同，因?yàn)槭苄旁茨Ｐ汀鞑キh(huán)境等多個因素的影響，會造成性能下降。有關(guān)信號模型的多樣性和信源估計(jì)算法的局限性及更多數(shù)目的情況還有待深入研究，解決方法在后續(xù)的修正算法中探討解決。
0引言
盲源信號分離(Blind Source Separation，BSS)是指從觀測到的多源混合信號中分離并恢復(fù)出相對獨(dú)立的源信號過程。因?yàn)閷υ葱盘柤盎旌线^程知之甚少，無法直接觀測得到混合信號中的有用信息，只有通過盲信號處理手段將它們從混合信號中分離出來，才能實(shí)現(xiàn)對所需信號的提取。由于該技術(shù)具有在相對寬松的條件實(shí)現(xiàn)有用信號的恢復(fù)等能力，使之在信號處理領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注，并已廣泛應(yīng)用于通信、語音處理、地震勘探、生物醫(yī)學(xué)、圖像處理、雷達(dá)以及經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域。
通常的盲源分離算法都不具備對未知信號源個數(shù)進(jìn)行估計(jì)的能力，只能在假設(shè)信號源的個數(shù)已經(jīng)事先確定的前提下才能進(jìn)行計(jì)算。因此在處理過程中源數(shù)目估計(jì)對盲分離技術(shù)的發(fā)展具有重要意義，也是目前必須予以解決的問題。目前有關(guān)通信偵查中盲分離源數(shù)目估計(jì)的專門研究尚不多見，本文研究優(yōu)化了一種基于累積量算法的源數(shù)估計(jì)算法，可在無先驗(yàn)知識的情況下估計(jì)出欠定條件下信號源個數(shù)。
1信號模型和問題描述
盲源信號分離理論中，混合過程分為線性瞬時混合模型與卷積混合模型兩類。對源信號統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的要求還與所采用的盲分離算法有關(guān)。本文著重討論線性混合盲信號分離問題情況下信號源數(shù)目估計(jì)。
存在n個來自信號源的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立n維的信號矢量s1(t)，s2(t)，…，sn(t)，通過m×n的混合矩陣A，線性瞬時混合后得到的m個觀測信號x1(t)，x2(t)，…，xm(t)。
信號模型為：
式中：aij是混合矩陣系數(shù)；ni為隨機(jī)觀測噪聲；矢量和矩陣表達(dá)式為：
式中：n為m×1噪聲矢量。該模型與標(biāo)準(zhǔn)陣列信號處理的觀測信號模型相似，但在盲信號分離中，信號的混合系數(shù)并沒有類似陣列信號模型中的波達(dá)方向角等先驗(yàn)信息可以利用。
因此信號源盲分離問題可以描述為計(jì)算一個n×m的分離矩陣W，使其輸出y(t)=Wx(t)為對s(t)的一個估計(jì)。由于上式中的混合矩陣A和s(t)都未知，因此無法精確辨識源信號各分量的排列順序和能量，這即是盲信號分離問題存在的不確定性問題，一是排列順序的不確定性，即無法了解所抽取的信號應(yīng)是s(t)中的哪一個分量；二是信號幅度的不確定性，即無法恢復(fù)信號波形的真實(shí)幅值。由于信息主要包含在信號的波形中，所以這兩種不確定性并不影響盲分離技術(shù)的應(yīng)用。但信號源盲分離的大多數(shù)實(shí)際問題中，不僅信號源的波形未知，其數(shù)目也是未知的。這就無法確定分離矩陣W的維數(shù)，從而使計(jì)算根本無法進(jìn)行。故在進(jìn)行盲分離前，須對信號源數(shù)目進(jìn)行估計(jì)。
目前常用的源信號個數(shù)估計(jì)方法多是基于觀測信號y(t)的協(xié)方差矩陣特征分解，易得觀測信號y(t)的協(xié)方差矩陣為：
式中：Rs表示源信號的協(xié)方差矩陣，記協(xié)方差矩陣Rx特征值為λ1≥λ2≥…≥λn。由于A列滿秩，ARSAT的秩等于k，Rx的特征分解后得到k個按降序排列的主特征值Λs=diag(λ1，λ2，…，λk)和(m-k)均等于σ2的噪聲特征值Λn=diag(λk+1，λk+2，…，λn)=σ2。信源個數(shù)就等于k，即m減去相同的最小特征值的個數(shù)，僅由觀察其最小特征值重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)就可以確定源信號個數(shù)。但是通常觀測信號y(t)的協(xié)方差矩陣是未知的，當(dāng)Rx由一組觀測向量估計(jì)得到時，Rx的特征值各不相同的概率幾乎為1，當(dāng)信噪比比較低時，就很難通過僅觀察特征值來估計(jì)源信號個數(shù)。
Wax M和Kailath T提出應(yīng)用信息論中模型AIC和MDL準(zhǔn)則估計(jì)源信號個數(shù)，上述準(zhǔn)則都是在標(biāo)準(zhǔn)陣列信號處理中，基于觀測信號均服從高斯分布這一基本假設(shè)推導(dǎo)得到的，在標(biāo)準(zhǔn)陣列信號處理模型而源信號非高斯的情形下，H T Wu等給出了源信號個數(shù)的啟發(fā)性GDE估計(jì)，許多國內(nèi)學(xué)者也提出很多新的算法。傳統(tǒng)的盲源分離算法都假設(shè)觀測信號數(shù)目大于或者等于源信號數(shù)目，然而在一些實(shí)際應(yīng)用中會發(fā)生觀測信號數(shù)目小于源信號數(shù)目的情況，稱為欠定盲源分離，即過完備盲源分離。由于混合系統(tǒng)是欠定的，此時混合系統(tǒng)不再可逆，從而不能簡單地通過對混合矩陣求逆得到源信號。因?yàn)樵诨旌线^程中有信息丟失，即使混合矩陣A已知，也不能完全恢復(fù)出信號的獨(dú)立成分。
2基于高階累積量的盲信號信源數(shù)目估計(jì)算法
2.1四階累積量的定義
在實(shí)際問題中，一階和二階統(tǒng)計(jì)量并不能完全描述信號的統(tǒng)計(jì)特性，采用高階統(tǒng)計(jì)量的形式不僅可以獲得比二階統(tǒng)計(jì)量更好的性能，而且可以解決二階統(tǒng)計(jì)量不能解決的很多問題。四階統(tǒng)計(jì)量的重要特點(diǎn)是對任何形式下高斯過程的不敏感性，并且在數(shù)學(xué)形式有很多好的性質(zhì)，這是二階矩所不具備的，因此可以有效地從高斯過程中提取出非高斯信號或抑制高斯噪聲。這點(diǎn)對于未知譜特性的高斯噪聲情況顯得尤其重要。由于基于高階累積量的相關(guān)算法對高斯噪聲嚏盲的，不僅在白高斯噪聲下能正確估計(jì)信號源個數(shù)，而且對色高斯噪聲和相關(guān)高斯噪聲均能有效地抑制，仍能給出一致性的估計(jì)。
對于給定隨機(jī)變量x1，x2，x3，x4零均值實(shí)隨機(jī)變量，定義其四階累計(jì)量：
2.2累積量擴(kuò)展矩陣的構(gòu)造
在欠定條件下，傳統(tǒng)信源數(shù)目估計(jì)方法完全失效，通過利用四階累積量的陣列孔徑擴(kuò)展特性，構(gòu)造適當(dāng)?shù)乃碾A累積量矩陣，對協(xié)方差矩陣進(jìn)行擴(kuò)展，使源信號個數(shù)的信息包含于該矩陣中，以估計(jì)出多于觀測信號數(shù)目的非高斯信號源，借以提高估計(jì)算法的性能，突破子空間類算法對入射信號數(shù)的限制。
構(gòu)造的累積量擴(kuò)維矩陣可以用Kronecker乘積表示，易得實(shí)信號模型：
則新信號模型易得：
新的混合矩陣中系數(shù)位置和原有混合矩陣的位置十分類似，但構(gòu)成的新矩陣仍然能保持原有信號的獨(dú)立性，滿足盲信號分離的基本條件。N個信源，M個通道，M>N，則對GX特征分解后，得到N2大特征值和M2-N2個小特征值。
2.3算法提出
通過結(jié)合高階累積量優(yōu)化過程研究cum-奇異值算法。根據(jù)項(xiàng)目條件，在雙通道條件下進(jìn)行盲源數(shù)目的估計(jì)。計(jì)算過程如下：
設(shè)有n個信號(獨(dú)立)經(jīng)過m個通道混合：
(1)采集數(shù)據(jù)x=[x1(n)，x2(n)，…，xm(n)]T；
(2)通過高階累積優(yōu)化構(gòu)造的四階累積量矩陣CX；
(3)對CX運(yùn)用cum-奇異值算法得到m2個特征值，并將這些特征值從大到小排列σ1≥σ2≥…≥σm；
(4)主特征值數(shù)εδ=k0+1，k0的取值為εδ=γ(kmax)的值，γk=σk+1／σk+2即所求信號源個數(shù)。
3仿真實(shí)驗(yàn)
采用2通道3源信號的欠定條件下情形進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真根據(jù)項(xiàng)目背景選取的兩組三個獨(dú)立信號源分別為AM，F(xiàn)M，BPSK為第一組信號；BPSK，QAM，LFM為第二組信號。其中，AM，F(xiàn)M的載頻為20 MHz，帶寬10 MHz；BPSK和QAM信號的載頻為20 MHz，碼速率為5 MHz；線性調(diào)頻信號的初始頻率為20 MHz，帶寬為20 MHz。
3.1實(shí)驗(yàn)一：信源估計(jì)算法性能隨混合信號SNR變化的圖表
任取500點(diǎn)數(shù)據(jù)，SNR線性變化范圍為-10～10 dB，步長為1 dB，每個SNR點(diǎn)做100次蒙特卡洛仿真。目標(biāo)個數(shù)估計(jì)正確率如圖1所示，在欠定條件下優(yōu)化后，cum-奇異值算法不僅可以估計(jì)信源個數(shù)，而且隨SNR的遞增，正確估計(jì)的概率不斷增大，但同其他經(jīng)典算法相比，仍然是用時最短的最穩(wěn)定算法。圖2為第二組信號的正確估計(jì)概率。可以看出，該各個算法的性能均明顯有所下降，說明對于不同的信號模型，算法的性能有所不同。盲分離中信源數(shù)目估計(jì)對模型信號具有一定的要求，不同的混合信號在不同的SNR下正確估計(jì)的概率有很大的區(qū)別，而通用的方法則不是很多。
3.2實(shí)驗(yàn)二：信源估計(jì)算法性能隨混合信號采樣點(diǎn)數(shù)變化的圖表
仿真在SNR為8 dB下，數(shù)據(jù)長度從50～450遞增，步長為50，每個點(diǎn)做100次蒙特卡洛仿真。如圖3所示，四階累積量SVD算法在小樣本條件下性能突出，具有比AIC，MDL算法更高的正確率。但隨快拍數(shù)逐漸增加，基于信息論的算法性能開始好轉(zhuǎn)。圖4說明在同等實(shí)驗(yàn)條件下，不同的信源組合，帶來不同的算法性能。
4結(jié)語
本文從盲信號分離的基本假設(shè)出發(fā)，研究了通信偵查中雙通道盲信號個數(shù)的估計(jì)方法，通過借鑒陣列信號處理理論，證明了欠定條件下高階累積量優(yōu)化流程可以應(yīng)用在信源數(shù)目估計(jì)的問題，并分別討論了信噪比和采樣點(diǎn)數(shù)這兩個參數(shù)的變化對優(yōu)化后算法性能的影響。結(jié)果表明，在不同的信號混合情況下，信源算法估計(jì)的性能會不同，因?yàn)槭苄旁茨Ｐ汀鞑キh(huán)境等多個因素的影響，會造成性能下降。有關(guān)信號模型的多樣性和信源估計(jì)算法的局限性及更多數(shù)目的情況還有待深入研究，解決方法在后續(xù)的修正算法中探討解決。
盲源信號分離(Blind Source Separation，BSS)是指從觀測到的多源混合信號中分離并恢復(fù)出相對獨(dú)立的源信號過程。因?yàn)閷υ葱盘柤盎旌线^程知之甚少，無法直接觀測得到混合信號中的有用信息，只有通過盲信號處理手段將它們從混合信號中分離出來，才能實(shí)現(xiàn)對所需信號的提取。由于該技術(shù)具有在相對寬松的條件實(shí)現(xiàn)有用信號的恢復(fù)等能力，使之在信號處理領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注，并已廣泛應(yīng)用于通信、語音處理、地震勘探、生物醫(yī)學(xué)、圖像處理、雷達(dá)以及經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域。
通常的盲源分離算法都不具備對未知信號源個數(shù)進(jìn)行估計(jì)的能力，只能在假設(shè)信號源的個數(shù)已經(jīng)事先確定的前提下才能進(jìn)行計(jì)算。因此在處理過程中源數(shù)目估計(jì)對盲分離技術(shù)的發(fā)展具有重要意義，也是目前必須予以解決的問題。目前有關(guān)通信偵查中盲分離源數(shù)目估計(jì)的專門研究尚不多見，本文研究優(yōu)化了一種基于累積量算法的源數(shù)估計(jì)算法，可在無先驗(yàn)知識的情況下估計(jì)出欠定條件下信號源個數(shù)。
1信號模型和問題描述
盲源信號分離理論中，混合過程分為線性瞬時混合模型與卷積混合模型兩類。對源信號統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的要求還與所采用的盲分離算法有關(guān)。本文著重討論線性混合盲信號分離問題情況下信號源數(shù)目估計(jì)。
存在n個來自信號源的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立n維的信號矢量s1(t)，s2(t)，…，sn(t)，通過m×n的混合矩陣A，線性瞬時混合后得到的m個觀測信號x1(t)，x2(t)，…，xm(t)。
信號模型為：
式中：aij是混合矩陣系數(shù)；ni為隨機(jī)觀測噪聲；矢量和矩陣表達(dá)式為：
式中：n為m×1噪聲矢量。該模型與標(biāo)準(zhǔn)陣列信號處理的觀測信號模型相似，但在盲信號分離中，信號的混合系數(shù)并沒有類似陣列信號模型中的波達(dá)方向角等先驗(yàn)信息可以利用。
因此信號源盲分離問題可以描述為計(jì)算一個n×m的分離矩陣W，使其輸出y(t)=Wx(t)為對s(t)的一個估計(jì)。由于上式中的混合矩陣A和s(t)都未知，因此無法精確辨識源信號各分量的排列順序和能量，這即是盲信號分離問題存在的不確定性問題，一是排列順序的不確定性，即無法了解所抽取的信號應(yīng)是s(t)中的哪一個分量；二是信號幅度的不確定性，即無法恢復(fù)信號波形的真實(shí)幅值。由于信息主要包含在信號的波形中，所以這兩種不確定性并不影響盲分離技術(shù)的應(yīng)用。但信號源盲分離的大多數(shù)實(shí)際問題中，不僅信號源的波形未知，其數(shù)目也是未知的。這就無法確定分離矩陣W的維數(shù)，從而使計(jì)算根本無法進(jìn)行。故在進(jìn)行盲分離前，須對信號源數(shù)目進(jìn)行估計(jì)。
目前常用的源信號個數(shù)估計(jì)方法多是基于觀測信號y(t)的協(xié)方差矩陣特征分解，易得觀測信號y(t)的協(xié)方差矩陣為：
式中：Rs表示源信號的協(xié)方差矩陣，記協(xié)方差矩陣Rx特征值為λ1≥λ2≥…≥λn。由于A列滿秩，ARSAT的秩等于k，Rx的特征分解后得到k個按降序排列的主特征值Λs=diag(λ1，λ2，…，λk)和(m-k)均等于σ2的噪聲特征值Λn=diag(λk+1，λk+2，…，λn)=σ2。信源個數(shù)就等于k，即m減去相同的最小特征值的個數(shù)，僅由觀察其最小特征值重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)就可以確定源信號個數(shù)。但是通常觀測信號y(t)的協(xié)方差矩陣是未知的，當(dāng)Rx由一組觀測向量估計(jì)得到時，Rx的特征值各不相同的概率幾乎為1，當(dāng)信噪比比較低時，就很難通過僅觀察特征值來估計(jì)源信號個數(shù)。
Wax M和Kailath T提出應(yīng)用信息論中模型AIC和MDL準(zhǔn)則估計(jì)源信號個數(shù)，上述準(zhǔn)則都是在標(biāo)準(zhǔn)陣列信號處理中，基于觀測信號均服從高斯分布這一基本假設(shè)推導(dǎo)得到的，在標(biāo)準(zhǔn)陣列信號處理模型而源信號非高斯的情形下，H T Wu等給出了源信號個數(shù)的啟發(fā)性GDE估計(jì)，許多國內(nèi)學(xué)者也提出很多新的算法。傳統(tǒng)的盲源分離算法都假設(shè)觀測信號數(shù)目大于或者等于源信號數(shù)目，然而在一些實(shí)際應(yīng)用中會發(fā)生觀測信號數(shù)目小于源信號數(shù)目的情況，稱為欠定盲源分離，即過完備盲源分離。由于混合系統(tǒng)是欠定的，此時混合系統(tǒng)不再可逆，從而不能簡單地通過對混合矩陣求逆得到源信號。因?yàn)樵诨旌线^程中有信息丟失，即使混合矩陣A已知，也不能完全恢復(fù)出信號的獨(dú)立成分。
2基于高階累積量的盲信號信源數(shù)目估計(jì)算法
2.1四階累積量的定義
在實(shí)際問題中，一階和二階統(tǒng)計(jì)量并不能完全描述信號的統(tǒng)計(jì)特性，采用高階統(tǒng)計(jì)量的形式不僅可以獲得比二階統(tǒng)計(jì)量更好的性能，而且可以解決二階統(tǒng)計(jì)量不能解決的很多問題。四階統(tǒng)計(jì)量的重要特點(diǎn)是對任何形式下高斯過程的不敏感性，并且在數(shù)學(xué)形式有很多好的性質(zhì)，這是二階矩所不具備的，因此可以有效地從高斯過程中提取出非高斯信號或抑制高斯噪聲。這點(diǎn)對于未知譜特性的高斯噪聲情況顯得尤其重要。由于基于高階累積量的相關(guān)算法對高斯噪聲嚏盲的，不僅在白高斯噪聲下能正確估計(jì)信號源個數(shù)，而且對色高斯噪聲和相關(guān)高斯噪聲均能有效地抑制，仍能給出一致性的估計(jì)。
對于給定隨機(jī)變量x1，x2，x3，x4零均值實(shí)隨機(jī)變量，定義其四階累計(jì)量：
2.2累積量擴(kuò)展矩陣的構(gòu)造
在欠定條件下，傳統(tǒng)信源數(shù)目估計(jì)方法完全失效，通過利用四階累積量的陣列孔徑擴(kuò)展特性，構(gòu)造適當(dāng)?shù)乃碾A累積量矩陣，對協(xié)方差矩陣進(jìn)行擴(kuò)展，使源信號個數(shù)的信息包含于該矩陣中，以估計(jì)出多于觀測信號數(shù)目的非高斯信號源，借以提高估計(jì)算法的性能，突破子空間類算法對入射信號數(shù)的限制。
構(gòu)造的累積量擴(kuò)維矩陣可以用Kronecker乘積表示，易得實(shí)信號模型：
則新信號模型易得：
新的混合矩陣中系數(shù)位置和原有混合矩陣的位置十分類似，但構(gòu)成的新矩陣仍然能保持原有信號的獨(dú)立性，滿足盲信號分離的基本條件。N個信源，M個通道，M>N，則對GX特征分解后，得到N2大特征值和M2-N2個小特征值。
2.3算法提出
通過結(jié)合高階累積量優(yōu)化過程研究cum-奇異值算法。根據(jù)項(xiàng)目條件，在雙通道條件下進(jìn)行盲源數(shù)目的估計(jì)。計(jì)算過程如下：
設(shè)有n個信號(獨(dú)立)經(jīng)過m個通道混合：
(1)采集數(shù)據(jù)x=[x1(n)，x2(n)，…，xm(n)]T；
(2)通過高階累積優(yōu)化構(gòu)造的四階累積量矩陣CX；
(3)對CX運(yùn)用cum-奇異值算法得到m2個特征值，并將這些特征值從大到小排列σ1≥σ2≥…≥σm；
(4)主特征值數(shù)εδ=k0+1，k0的取值為εδ=γ(kmax)的值，γk=σk+1／σk+2即所求信號源個數(shù)。
3仿真實(shí)驗(yàn)
采用2通道3源信號的欠定條件下情形進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真根據(jù)項(xiàng)目背景選取的兩組三個獨(dú)立信號源分別為AM，F(xiàn)M，BPSK為第一組信號；BPSK，QAM，LFM為第二組信號。其中，AM，F(xiàn)M的載頻為20 MHz，帶寬10 MHz；BPSK和QAM信號的載頻為20 MHz，碼速率為5 MHz；線性調(diào)頻信號的初始頻率為20 MHz，帶寬為20 MHz。
3.1實(shí)驗(yàn)一：信源估計(jì)算法性能隨混合信號SNR變化的圖表
任取500點(diǎn)數(shù)據(jù)，SNR線性變化范圍為-10～10 dB，步長為1 dB，每個SNR點(diǎn)做100次蒙特卡洛仿真。目標(biāo)個數(shù)估計(jì)正確率如圖1所示，在欠定條件下優(yōu)化后，cum-奇異值算法不僅可以估計(jì)信源個數(shù)，而且隨SNR的遞增，正確估計(jì)的概率不斷增大，但同其他經(jīng)典算法相比，仍然是用時最短的最穩(wěn)定算法。圖2為第二組信號的正確估計(jì)概率。可以看出，該各個算法的性能均明顯有所下降，說明對于不同的信號模型，算法的性能有所不同。盲分離中信源數(shù)目估計(jì)對模型信號具有一定的要求，不同的混合信號在不同的SNR下正確估計(jì)的概率有很大的區(qū)別，而通用的方法則不是很多。
3.2實(shí)驗(yàn)二：信源估計(jì)算法性能隨混合信號采樣點(diǎn)數(shù)變化的圖表
仿真在SNR為8 dB下，數(shù)據(jù)長度從50～450遞增，步長為50，每個點(diǎn)做100次蒙特卡洛仿真。如圖3所示，四階累積量SVD算法在小樣本條件下性能突出，具有比AIC，MDL算法更高的正確率。但隨快拍數(shù)逐漸增加，基于信息論的算法性能開始好轉(zhuǎn)。圖4說明在同等實(shí)驗(yàn)條件下，不同的信源組合，帶來不同的算法性能。
4結(jié)語
本文從盲信號分離的基本假設(shè)出發(fā)，研究了通信偵查中雙通道盲信號個數(shù)的估計(jì)方法，通過借鑒陣列信號處理理論，證明了欠定條件下高階累積量優(yōu)化流程可以應(yīng)用在信源數(shù)目估計(jì)的問題，并分別討論了信噪比和采樣點(diǎn)數(shù)這兩個參數(shù)的變化對優(yōu)化后算法性能的影響。結(jié)果表明，在不同的信號混合情況下，信源算法估計(jì)的性能會不同，因?yàn)槭苄旁茨Ｐ汀鞑キh(huán)境等多個因素的影響，會造成性能下降。有關(guān)信號模型的多樣性和信源估計(jì)算法的局限性及更多數(shù)目的情況還有待深入研究，解決方法在后續(xù)的修正算法中探討解決。
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