基于Matlab的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法比較及應(yīng)用

0 引言
    數(shù)字濾波器(Digital Filter)是指輸入、輸出都是離散時(shí)間信號(hào)，通過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件。數(shù)字濾波器在數(shù)字信號(hào)處理中起著非常重要的作用，在信號(hào)的過(guò)濾、檢測(cè)與參數(shù)的估計(jì)等方面，是使用最為廣泛的一種線性系統(tǒng)。
    實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器的方法有兩種，一是采用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行，就是把所要完成的工作通過(guò)程序讓計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)；二是設(shè)計(jì)專(zhuān)用的數(shù)字處理硬件。這個(gè)地方主要用到的就是第一種方法。即是用Mafiab提供的信號(hào)處理工具箱來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器。
    Matlab信號(hào)處理工具箱提供了豐富的設(shè)計(jì)方法，可以使得繁瑣的程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)化成函數(shù)的調(diào)用，只要以正確的指標(biāo)參數(shù)調(diào)用函數(shù)，就可以正確快捷地得到設(shè)計(jì)結(jié)果。

1 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法比較
1．1 概述
    IIR數(shù)字濾波器的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了相當(dāng)成熟的技術(shù)和方法，有完整的設(shè)計(jì)公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來(lái)進(jìn)行。
    對(duì)于IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)具體步驟如下：
    (1)按照一定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。
    (2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數(shù))。
    (3)再按照一定的規(guī)則將G(s)轉(zhuǎn)換成H(z)(H(z)是數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù))。若設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是低通的，上述的過(guò)程可以結(jié)束，若設(shè)計(jì)的是高通、帶通或者是帶阻濾波器，那么還需要下面的步驟：
    將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后設(shè)計(jì)出低通G(s)，再將G(s)轉(zhuǎn)換為H(z)。
    Matlab信號(hào)工具箱提供了幾個(gè)直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的函數(shù)，直接調(diào)用這些函數(shù)就可以很方便地對(duì)濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)。這里選取巴特沃斯法、切比雪夫I、切比雪夫Ⅱ、橢圓法四種方法進(jìn)行比較。給出用上述方法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的函數(shù)如下：
      
    其中：Wp表示通帶截止頻率；Ws表示阻帶截止頻率；Rp表示通帶紋波系數(shù)；Rs表示阻帶紋波系數(shù)；N表示濾波器最小階數(shù)；Wn表示截止頻率。b，a分別表示階次為N+1的數(shù)字濾波器系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量；Fs為采樣頻率；n為在區(qū)間[O Fs]頻率范圍內(nèi)選取的頻率點(diǎn)數(shù)；f記錄頻率點(diǎn)數(shù)。n取2的冪次方，可以提高運(yùn)算的速度，因?yàn)閒reqz函數(shù)采用基2的FFT算法。ftype=high時(shí)，為高通濾波器；ftype=bandpass時(shí)，為帶通濾波器；ftype=stop時(shí)，為帶阻濾波器。
   
1．2 四種設(shè)計(jì)方法比較
    (1)在低通濾波器中的比較
    假如：Wp=20 Hz，Ws=50 Hz，F(xiàn)s=200，Rp=1 dB，Rs=30 dB，分別用Butterworth低通濾波器、Chebyshev I型低通濾波器、ChebyshevⅡ型低通濾波器、橢圓低通濾波器四種方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，如圖1所示。

    (2)在高通濾波器中的比較
    假如：Wp=50 Hz，Ws=20 Hz，F(xiàn)s=200，Rp=1 dB，Rs=30 dB，分別用Butterworth高通濾波器、Chebyshev I型高通濾波器、ChebyshevⅡ型高通濾波器、橢圓高通濾波器四種方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，如圖2所示。

    (3)在帶通濾波器中的比較
    假如：Wp=[100，200]，Ws=[50，250]，Rp=3 dB，Rs=30 dB，F(xiàn)s=1 000，分別用Butterworth帶通濾波器、Chebyshev I型帶通濾波器、ChebyshevⅡ型帶通濾波器、橢圓帶通濾波器四種方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，如圖3所示。

    (4)在帶阻濾波器中比較
    假如：Wp=[100，200]，Ws=[50，250]，Rp=3 dB，Rs=30 dB，F(xiàn)s=1 000，分別用Butterworth帶阻濾波器、Chebyshev I型帶阻濾波器、ChebyshevⅡ型帶阻濾波器、橢圓帶阻濾波器四種方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，如圖4所示。

1．3 比較結(jié)果分析
    通過(guò)對(duì)各種類(lèi)型的濾波器通過(guò)不同的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以使一些結(jié)論得到驗(yàn)證。利用Butterworth濾波器、Chebysheve I型濾波器、Che-bysheveⅡ型濾波器、橢圓濾波器都可以進(jìn)行低通、高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)，但是各有特點(diǎn)。Butterworth濾波器通帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線能得到最大限度的平滑，但犧牲了截止頻率的坡度。
    Chebysheve I型濾波器通帶內(nèi)等波紋，阻帶內(nèi)單調(diào)；ChebysheveⅡ型濾波器通帶內(nèi)單調(diào)，然而阻帶內(nèi)等波紋；橢圓濾波器阻帶和通帶內(nèi)都是等波紋的，但下降的坡度更大，而且可以以更低的階數(shù)實(shí)現(xiàn)和其他兩類(lèi)濾波器一樣的性能指標(biāo)。

2 IIR數(shù)字濾波器應(yīng)用
    假定信號(hào)的采樣頻率是600 Hz，輸入信號(hào)的頻率為100 Hz，180 Hz和250 Hz的合成正弦波信號(hào)f(t)=sin(200πt)+sin(360πt)+sin(500πt)，通過(guò)截止頻率是120 Hz的巴特沃斯低通濾波器，通過(guò)濾波前后頻譜的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)通過(guò)濾波器后，兩個(gè)高頻的信號(hào)180 Hz和250 Hz的正弦信號(hào)被濾掉，達(dá)到了濾波的效果。
    圖5和圖6給出了巴特沃斯低通濾波器濾波前后的頻譜圖。

    依然是上述的條件，如果想保留高頻的信號(hào)250 Hz的正弦信號(hào)，可以通過(guò)巴特沃斯高通濾波器，此高通濾波器截止頻率為220 Hz，濾波以后的頻譜如圖7所示，兩個(gè)低頻的信號(hào)100 Hz，180 Hz的正弦波信號(hào)被濾掉；當(dāng)預(yù)保留100 Hz，250 Hz兩個(gè)信號(hào)后可以通過(guò)帶阻濾波器濾掉180 Hz的正弦信號(hào)，如圖8所示；同理如果僅僅保留180 Hz的正弦信號(hào)可以通過(guò)帶通濾波器，而濾掉其他兩個(gè)信號(hào)，如圖9所示。

3 結(jié)語(yǔ)
    濾波是信號(hào)處理的基礎(chǔ)，濾波運(yùn)算是信號(hào)處理中的基本運(yùn)算，濾波器的設(shè)計(jì)也就相應(yīng)成為數(shù)字信號(hào)處理的最基本問(wèn)題之一。信號(hào)帶有噪聲或無(wú)用信號(hào)，濾波器的作用是將這些干擾成分濾除，也就是讓特定頻段的信號(hào)通過(guò)達(dá)到對(duì)信號(hào)篩選的效果。在經(jīng)典的濾波器中，通過(guò)對(duì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)研究，應(yīng)用Butterworth濾波器、Chebysheve I型濾波器、Chebysheve II型濾波器以及橢圓濾波器四種形式分別對(duì)低通、高通、帶通和帶阻四種濾波器形式進(jìn)行比較仿真，得到其不同的仿真特性；選擇三個(gè)不同頻率100 Hz，180Hz和250 Hz的合成正弦波信號(hào)：
    f(t)=sin(200πt)+sin(360πt)+sin(5007πt)
    進(jìn)行疊加，應(yīng)用了Butterworth濾波器實(shí)現(xiàn)了混合信號(hào)頻譜的分離，得到了良好的仿真效果。