控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)

在電子領(lǐng)域，振蕩器是一種能夠產(chǎn)生自激正弦信號(hào)的電路。在多種多樣的配置中，振蕩器的加速過(guò)程牽涉到采用振蕩器的電子電路固有的噪聲。上電時(shí)噪聲等級(jí)上升，此時(shí)開(kāi)始振蕩及自激。此類(lèi)電路可采用圖1所示的構(gòu)成模塊組成。如您所視，此配置看上去非常接近于我們控制系統(tǒng)的配置。

圖1：振蕩器實(shí)質(zhì)上是一種誤差信號(hào)，不會(huì)妨礙輸出信號(hào)變化的控制系統(tǒng)。

在我們的示例中，勵(lì)磁輸入并非噪聲，而是電壓電平Vin，它被注入為輸入變量以啟動(dòng)振蕩器。直接通道由傳遞函數(shù)H(s)構(gòu)成，而返回通道包含G(s)區(qū)塊。要分析此系統(tǒng)，我們首先通過(guò)輸出電壓與輸入變量的變化關(guān)系方程式來(lái)寫(xiě)出其傳遞函數(shù)：

如果我們擴(kuò)充此公式及Vout(s)項(xiàng)，我們就得到

故此類(lèi)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)就是：

在此方程式中，乘積G(s)H(s)稱作環(huán)路增益，其標(biāo)記為T(mén)(s)。要將我們的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為自激振蕩器，則必須存在輸出信號(hào)，即使輸入信號(hào)已消失。為了滿足這樣的目標(biāo)，就必須符合下列條件：

要在Vin消失條件下驗(yàn)證此方程式，商數(shù)(quotient)就必須無(wú)限大。商數(shù)無(wú)限大的條件就是特征方程式D(s)等于0：

要滿足此條件，G(s)H(s)必須等于-1。換句話說(shuō)，環(huán)路增益的大小就必須為1，其符號(hào)應(yīng)當(dāng)改為負(fù)號(hào)。正弦信號(hào)的符號(hào)改變只不過(guò)是相位翻轉(zhuǎn)180°。這兩個(gè)條件能以下面兩個(gè)方程式來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)表述：

圖2：振蕩條件能以波特圖或奈奎斯特圖來(lái)表述。

在滿足這兩個(gè)方程式的條件下，我們就得到穩(wěn)態(tài)振蕩條件。這就是所謂的巴考森(Barkhausen)標(biāo)準(zhǔn)，由德國(guó)物理學(xué)家Barkhause在1921年提出。實(shí)際上講，在一個(gè)控制環(huán)路系統(tǒng)中，它表示修正信號(hào)不再抗拒輸出，而是相位形式返回，振幅恰好與勵(lì)磁信號(hào)相同。方程式(6)和(7) 在波特圖(Bode plot)中表示環(huán)路增益曲線，此曲線穿過(guò)0 dB軸，且恰好在此點(diǎn)受180°相位滯后影響。在奈奎斯特分析中，環(huán)路增益的虛數(shù)及實(shí)數(shù)部份相對(duì)頻率的變化關(guān)系被繪制成圖，此點(diǎn)對(duì)應(yīng)于-1, j0。圖2顯示了滿足振蕩條件的兩個(gè)曲線。如果系統(tǒng)略微偏離這些值(如溫度漂移、增益變化)，輸出振蕩要么會(huì)以指數(shù)形式下降至0，要么振幅發(fā)散，直到達(dá)到較高或較低的電源軌。在振蕩器中，設(shè)計(jì)人員竭力盡可能多地降低增益余量，使振蕩條件在多種工作條件下都能滿足。

穩(wěn)定條件

如您所知，控制系統(tǒng)的目標(biāo)不是構(gòu)建振蕩器。我們希望控制系統(tǒng)提供高速、精確及無(wú)振蕩的響應(yīng)。因此，我們必須避開(kāi)滿足振蕩或發(fā)散條件的配置。一種方式是限制系統(tǒng)會(huì)作出反應(yīng)的頻率范圍。就定義而言，頻率范圍或帶寬，對(duì)應(yīng)于從輸入到輸出之閉合環(huán)路傳輸通道下降3 dB的頻率。閉合環(huán)路系統(tǒng)的帶寬能被視作頻率范圍，在此范圍內(nèi)系統(tǒng)被認(rèn)為會(huì)極佳地響應(yīng)其輸入(即遵循設(shè)定點(diǎn)或有效地抑制擾動(dòng))。我們?cè)诤笪臅?huì)看到，在設(shè)計(jì)階段，我們并不直接控制閉合環(huán)路帶寬，但會(huì)控制交越頻率(crossover frequency) fc——這是一項(xiàng)跟開(kāi)環(huán)路分析有關(guān)的參數(shù)。這兩個(gè)變量通常被概略認(rèn)為相等，但我們會(huì)看到這僅在一種條件下成立。然而，它們相差得也不太遠(yuǎn)，在討論中這兩項(xiàng)能互換。

我們已經(jīng)看到，開(kāi)環(huán)路增益是我們系統(tǒng)中的一項(xiàng)重要參數(shù)。當(dāng)增益存在時(shí)(即|T(s)|>1)，系統(tǒng)以動(dòng)態(tài)閉合環(huán)路工作，能補(bǔ)償輸入的擾動(dòng)或?qū)υO(shè)定點(diǎn)變化作出反應(yīng)。然而，系統(tǒng)反應(yīng)也存在限制：系統(tǒng)必須在擾動(dòng)信號(hào)所涉及的頻率提供增益。如果設(shè)定點(diǎn)變化的擾動(dòng)太快，勵(lì)磁信號(hào)的頻率成分就低于系統(tǒng)帶寬，表示這些頻率缺少增益：系統(tǒng)變慢且不會(huì)作出反應(yīng)，工作狀態(tài)就像環(huán)路對(duì)波形變化沒(méi)有響應(yīng)。那么，是否就要求無(wú)限大的帶寬呢?不是的，因?yàn)樵黾訋捑拖笫峭貙捖┒返闹睆剑耗?dāng)然可以收集到更多信息，并對(duì)輸入振動(dòng)更快地作出反應(yīng)，但系統(tǒng)也將接收到偽信號(hào)(spurious signal)，如轉(zhuǎn)換器在某些情況下自己產(chǎn)生的噪聲及寄生參數(shù)(如開(kāi)關(guān)電源中的輸出漣波)。因此，強(qiáng)制要求將帶寬限制在您應(yīng)用真正要求的范圍。采用的帶寬太寬將削弱系統(tǒng)的抗噪聲性能(如其抑制外部寄生信號(hào)的強(qiáng)固性)。

限制帶寬

我們?cè)鯓酉拗瓶刂葡到y(tǒng)的帶寬?方法就是通過(guò)補(bǔ)償器區(qū)塊G改變環(huán)路增益曲線。此區(qū)塊將確保在一定量的頻率fc后，環(huán)路增益的大小|T(fc)|下降至低于1或0 dB。如同我們所闡述的，一旦環(huán)路閉合，它大致就是您的控制系統(tǒng)的帶寬。發(fā)生此現(xiàn)象時(shí)的頻率稱作交越頻率，標(biāo)作fc。這就是否足夠獲得強(qiáng)健的系統(tǒng)?不是的，我們需要確保另一個(gè)重要參數(shù)：幅值為1的點(diǎn)的相位T(s)必須低于-180°。從我們的實(shí)驗(yàn)來(lái)看，我們已經(jīng)看到當(dāng)環(huán)路增益在交越頻率處低于-180°時(shí)，我們獲得了朝穩(wěn)態(tài)收斂的響應(yīng)。這很明顯是我們控制系統(tǒng)極想要的一種特征。為了確保我們?cè)诮辉綍r(shí)避開(kāi)-180°，補(bǔ)償器G(s)必須在選定的交越頻率處訂制環(huán)路幅角(argument)以構(gòu)建相位余量(phase margin, PM或φm)。相位余量可以被視作一項(xiàng)設(shè)計(jì)或安全限制，確保在即使存在外部擾動(dòng)或不可避免的生產(chǎn)差異范圍(production spread)的情況下，環(huán)路增益的變化不會(huì)破壞穩(wěn)定性。我們?cè)诤笪臅?huì)看到，相位余量還會(huì)影響系統(tǒng)的瞬時(shí)響應(yīng)。因此，相位余量的選擇并不只是取決于穩(wěn)定性考慮因素，還取決于您期望的瞬時(shí)響應(yīng)類(lèi)型。相位余量的數(shù)學(xué)定義如下所示：

其中T代表開(kāi)環(huán)路增益，其中包括分級(jí)的控體H和補(bǔ)償器G增益。

圖3中顯示了經(jīng)典補(bǔ)償?shù)牡湫铜h(huán)路增益曲線，其中顯示交越頻率為6.5 kHz。在此點(diǎn)，T(s)相位為-90°。如果您想在6.5 kHz時(shí)從-180°起步，并正向清點(diǎn)相位度數(shù)直至穿越幅角波形，您在此例中就得到90°的相位余量。這就是一個(gè)極為強(qiáng)健的系統(tǒng)，被認(rèn)為在各種條件下都穩(wěn)定：即使在交越點(diǎn)附近環(huán)路增益有一定程度的變化，也沒(méi)有可能在相位余量太小的頻率交越。所謂的“太小”，我們指的是相位余量接近30°極限，低于此值時(shí)系統(tǒng)就提供不可接受的振鈴(ringing)響應(yīng)。這就是為什么您在上學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)到45°是極限，此值相較于30°而言提供了額外的余量。我們稍后會(huì)看到這些數(shù)字的來(lái)源分析。

圖3. 在此示例中，0 dB交越點(diǎn)位于6.5 kHz，此頻率時(shí)總相位滯后提供了90°的相位余量

增益余量及穩(wěn)定條件

圖4顯示了被補(bǔ)償轉(zhuǎn)換器的另一個(gè)典型頻率響應(yīng)，重點(diǎn)顯示了0 dB交越點(diǎn)及相位余量。我們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知，構(gòu)成轉(zhuǎn)換器的元件在產(chǎn)生生命周期內(nèi)會(huì)再現(xiàn)性能變化。這些變化可能是因正常的生產(chǎn)差異范圍引起的(如電阻或電容遭受逐批次公差不同的影響)。轉(zhuǎn)換器的環(huán)境工作條件也對(duì)元件有影響。在這些變量中，溫度充當(dāng)關(guān)鍵角色，影響被動(dòng)或主動(dòng)元件參數(shù)，如電容或電感等效串列電阻(ESR)、光耦電流傳遞比(CTR)或是雙極晶體管的beta值。這些變量影響環(huán)路增益，使其上升或下降，具體則取決于受影響的參數(shù)。

圖4. 環(huán)路增益會(huì)顯示出對(duì)溫度等外部參數(shù)的敏感性。出現(xiàn)變化時(shí)，相位余量必須始終保持在安全限制范圍內(nèi)。

如果增益曲線出現(xiàn)變化，0 dB交越頻率將過(guò)渡至新的值，為轉(zhuǎn)換器施加不同的帶寬。在這些變化條件下轉(zhuǎn)換器的穩(wěn)定性會(huì)受到怎樣的影響?如果新的交越頻率出現(xiàn)在相位余量較少的點(diǎn)，瞬時(shí)響應(yīng)性能可能下降，使過(guò)沖不再能被接受。因此，身為設(shè)計(jì)人員，你的責(zé)任就是確保這些差量(dispersion)在你接近-180°極限時(shí)不會(huì)突然增大增益。您需要充足的增益余量，其定義如下所示：

它對(duì)應(yīng)于恰好為-180°或弧度的頻率點(diǎn)(圖3中為1 MHz).

圖4描繪了由于所選擇元件生產(chǎn)差異范圍導(dǎo)致的±10 dB典型增益變化。它帶來(lái)了1.5 kHz至30 kHz的交越頻率。在此區(qū)域，相位余量從70°變?yōu)?5°，這些都是理論上的安全數(shù)字。最壞情況是什么?就是新的交越頻率在總相位滯后180°處出現(xiàn)。這條件在1 MHz時(shí)出來(lái)，表示有35 dB的正增益變化。

不太可能有大增益

有利的是，當(dāng)今電子電路中不太可能出現(xiàn)35 dB的增益變化。以前，在變壓器或伺服系統(tǒng)(servomechanism)采用真空管電路驅(qū)動(dòng)的時(shí)候，上電序列期間的準(zhǔn)備(warm-up)時(shí)間可能引起大的環(huán)路增益變化。因此，增益規(guī)定有必要排斥可能存在穩(wěn)定性風(fēng)險(xiǎn)的第二個(gè)點(diǎn)。此總相位滯后達(dá)-180°的頻率處的環(huán)路增益曲線上可見(jiàn)這增益余量，在圖3中被標(biāo)記為GM。在當(dāng)今電子電路中，高于10 dB的增益余量通常就足夠了，除非您的環(huán)路增益對(duì)外部參數(shù)極為敏感。

增益漂移的另一個(gè)示例如圖5所示。圖中顯示另一個(gè)被補(bǔ)償?shù)霓D(zhuǎn)換器在10 kHz時(shí)出現(xiàn)80°的相位余量。根據(jù)前文的討論，我們知道可能會(huì)出現(xiàn)增益變化，致使增益曲線上揚(yáng)或下走。在我們的示例中，我們可以發(fā)現(xiàn)2 kHz附近一個(gè)區(qū)域的相位余量小到只有18°。如果出現(xiàn)20至25 dB的增益下降，你最后得到的控制系統(tǒng)就會(huì)出現(xiàn)相當(dāng)危險(xiǎn)的約2 kHz的低相位余量。這就會(huì)導(dǎo)致振蕩響應(yīng)，很可能超出過(guò)沖規(guī)范。此類(lèi)系統(tǒng)被認(rèn)為是有條件穩(wěn)定。有利的是，如前所述，25 dB的增益變化并不常見(jiàn)，有這等增益余量的系統(tǒng)可被視為強(qiáng)健。然而，我看見(jiàn)過(guò)在一些設(shè)計(jì)案例中，最終使用者(您的客戶)在規(guī)范中清晰標(biāo)明不接受有條件的設(shè)計(jì)，要求在低于交越頻率的所有點(diǎn)提供大于60°的相位余量。在這種情況下，就強(qiáng)制要求補(bǔ)償轉(zhuǎn)換器，使得無(wú)論什么工作條件下，低于交越頻率時(shí)都不存在相位余量降低的區(qū)域。

圖5. 在此示例中，如果增益漂移至低于25 dB，曲線就在相位余量?jī)H為18°的頻率點(diǎn)過(guò)0 dB軸。如此的相位余量將受大的過(guò)問(wèn)影響，提供振蕩極大的響應(yīng)。這就是有條件穩(wěn)定的案例。

穩(wěn)定，或是不穩(wěn)定?

通常認(rèn)為，在交越前相位下降至低于-180°的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的系統(tǒng)。這樣的響應(yīng)如圖6所示。在1 kHz后相位曲線快速下降，并在1.5 kHz之后的數(shù)kHz范圍內(nèi)越過(guò)-180°的極限。然后相位曲線又上揚(yáng)，在10 kHz時(shí)提供50°的相位余量。是的，此系統(tǒng)很穩(wěn)定，只不過(guò)是因?yàn)樵? dB時(shí)我們不滿足方程式(7)。要記住的是，要消除方程式(3)的分母，您必須使增益大小恰好等于1且相位滯后180°或更多。在圖中，我們可以看到任何點(diǎn)都不滿足此條件。然而，值得一提的是，此環(huán)路極具條件相關(guān)性。如果增益減少數(shù)dB，您的相位余量將變得低于45°。增益再下降10 dB，您將進(jìn)入相位余量為0的危險(xiǎn)區(qū)，這時(shí)會(huì)達(dá)到振蕩條件。

圖6. 相位滯後180°，但處?kù)对鲆娲箪兜膮^(qū)域。這並不構(gòu)成問(wèn)題，其回應(yīng)可以接受。