基于DMFT的LFM信號參數(shù)估計(jì)

摘要：線性調(diào)頻信號是低截獲概率雷達(dá)常用的一種信號形式，如何在低信噪比情況下檢測線性調(diào)頻信號一直是人們
研究的焦點(diǎn)之一。在離散匹配傅里葉變換的基礎(chǔ)上對算法進(jìn)行改進(jìn)，并利用改進(jìn)后的算法分別對單分量和多分量線性調(diào)頻信號進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果表明離散匹配傅里葉變換能夠在低信噪比情況下比較準(zhǔn)確地估計(jì)出線性調(diào)頻信號的參數(shù)，不存在交叉項(xiàng)問題。離散匹配傅里葉變換是一種針對線性調(diào)頻信號有效的參數(shù)估計(jì)方法。
關(guān)鍵詞：離散匹配傅里葉變換；線性調(diào)頻；參數(shù)估計(jì)；低信噪比

    線性調(diào)頻(LFM)信號是低截獲概率雷達(dá)常用的一種信號形式，對LFM信號檢測和參數(shù)估計(jì)一直備受人們的關(guān)注。針對該信號的處理方法有短時Fourier變換、Wigner—Ville變換、分?jǐn)?shù)階Fourier、Hough—Wigner等，都存在分辨率不夠高，交叉項(xiàng)嚴(yán)重或者運(yùn)算量太大的問題。而匹配傅里葉變換是一種線性變換，不存在多分量信號交叉項(xiàng)的影響，能在低信噪比條件下檢測信號，而且分辨率很高，是一種針對線性調(diào)頻信號有效地進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的方法。

l LFM信號形式
    LFM信號的復(fù)數(shù)形式表示為：

   
式中，A(t)為信號包絡(luò)函數(shù)，f0為中心頻率，k0=B／T為調(diào)頻斜率，B為調(diào)頻帶寬，T為信號持續(xù)時間。
    對于實(shí)際需要處理的信號，都是經(jīng)過采樣的離散信號。LFM信號的離散形式為：

   
式中，Ts為采樣時間間隔，如果信號持續(xù)時間為T，那么采樣點(diǎn)數(shù)N=T／Ts。

2 DMFT基本原理
    LFM信號t(t)的匹配傅里葉變換有如下兩種形式：

   
    稱式(3)和式(4)分別為二階匹配傅里葉變換和二步匹配傅里葉變換，對應(yīng)其離散形式為：

    由式(5)計(jì)算得到的譜圖可稱為離散二階匹配傅里葉變換譜，其中k不為零，它表示了不同基條件下的匹配傅里葉變換；由式(6)計(jì)算得到的譜圖可稱為離散二步匹配傅里葉變換譜，它表示在不同頻率補(bǔ)償條件下信號的匹配傅里葉變換。
    無論對離散二階匹配傅里葉變換譜還是離散二步匹配傅里葉變換譜，在對應(yīng)于信號(f0，k0)的位置上，信號能量會發(fā)生聚集，在譜上表現(xiàn)為尖峰。在匹配傅里葉變換譜分布圖上進(jìn)行二維搜索，尖峰的坐標(biāo)(f0，k0)即為該LFM信號的線性頻率f0和線性調(diào)頻斜率k0。
    由于離散二階匹配傅里葉變換和離散二步匹配傅里葉變換具有不同的分辨率，通過文獻(xiàn)表明二步匹配傅里葉變換總是有比二階匹配傅里葉變換更高的分辨率，因此下面的分析都采用離散二步匹配傅里葉變換進(jìn)行LFM信號的檢測和參數(shù)估計(jì)。

3 算法改進(jìn)
    對離散匹配傅里葉變換的二維搜索求極大值可以在低信噪比條件下獲得較高精度的信號參數(shù)。但是當(dāng)信號帶寬增加，采樣頻率提高時，采樣點(diǎn)數(shù)增加，運(yùn)算量增大。下面從減少運(yùn)算量的角度進(jìn)行算法改進(jìn)。對離散之后的信號進(jìn)行離散匹配傅里葉變換，借助傅里葉變換的快速算法思想，實(shí)現(xiàn)離散匹配傅里葉變換的快速算法。對于長度為N的線性調(diào)頻信號序列x(n)，其N點(diǎn)離散匹配傅里葉變換定義如下：

   
    其實(shí)質(zhì)是將一個輸入一維時間序列x(n)變換為關(guān)于線性頻率和調(diào)頻斜率的二維序列Xc(f，k)，其中f為線性調(diào)頻信號的初始頻率，k為調(diào)頻斜率。從式(7)可以看出，對于每一個固定的調(diào)頻斜率k來說，{Xc(f，k)}0≤f，k≤N-1是信號x(n)WknN2的DFT；當(dāng)調(diào)頻斜率k=0時式(7)就轉(zhuǎn)變?yōu)镈FT。對式(7)進(jìn)行改進(jìn)得：

   
    {Xc(f，k)}0≤f，k≤N-1的計(jì)算可以通過x(n)WknN2的快速傅里葉變換得到。在式(7)中需要N3次復(fù)數(shù)運(yùn)算，經(jīng)過式(8)變換，運(yùn)算量減小為N2／2log2N，提高了運(yùn)算速度。為了提高該算法的估計(jì)精度，還可以在搜索范圍內(nèi)多次估計(jì)，分為粗估計(jì)和精估計(jì)。即首先在搜索范圍內(nèi)選擇大步長，估計(jì)出信號參數(shù)，然后再在估計(jì)值鄰近的區(qū)域內(nèi)改變搜索步長重新估計(jì)，從而達(dá)到需要的精度要求。

4 仿真實(shí)驗(yàn)
4．1 單分量LFM信號仿真
    先對單分量LFM信號s(t)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，s(t)=exp[j2π(f0t+1／2k0t2)]，經(jīng)過下變頻的信號線性頻率f0=200 MHz，信號時寬T=5μs，以帶寬200 MHz的信號進(jìn)行仿真，比較在不同信噪比條件下信號參數(shù)估計(jì)的結(jié)果，如圖1所示。

    表l為B=200 MHz時不同信噪比情況下初始頻率和調(diào)頻斜率的測量值與其對應(yīng)真值(f0=200 MHz，k0=4．0×1012Hz／s)的絕對誤差。

    從以上結(jié)果可以看出，該方法對信號參數(shù)的估計(jì)有較高的精度，在SNR=一15 dB的情況下還能估計(jì)信號參數(shù)，這是一般的時頻分析方法不能比擬的。SNR低于一15 dB時，參數(shù)估計(jì)絕對誤差將逐步增大，信號經(jīng)過離散匹配傅里葉變換淹沒在隨機(jī)噪聲中，無法正確檢測信號。
4．2 多分量LFM信號仿真
    離散匹配傅里葉變換是一種線性變換，所以在對多分量信號進(jìn)行分析時不會產(chǎn)生交叉項(xiàng)。但是信號中強(qiáng)分量LFM信號的旁瓣可能大于弱信號的主瓣峰值，影響到多分量LFM信號的分辨和參數(shù)估計(jì)。為了解決這個問題，借助“Clean”的思想：首先計(jì)算多分量LFM信號的離散二步匹配傅里葉變換，然后進(jìn)行二維搜索找極大值。并根據(jù)峰值的位置和大小估計(jì)最強(qiáng)LFM信號分量的幅度、初始頻率和調(diào)制斜率，然后由上述參數(shù)重構(gòu)LFM信號并從信號之減去，最后將處理過的信號重復(fù)上述過程估計(jì)下一個LFM信號的參數(shù)。
    多信號的參數(shù)估計(jì)仿真采用如下信號：

    進(jìn)行第一次DMFT之后信號頻譜如圖2所示，只出現(xiàn)強(qiáng)信號分量的一個峰值，弱信號的峰值淹沒在強(qiáng)信號分量的旁瓣中。此時，在圖2中搜索譜峰最大值，得出強(qiáng)信號的分量：f1=2.002x108，k1=4.96x10 13，一個分量s1(t)，得到剩余信號s2(t)，再進(jìn)行一次二步DMFT，對其余LFM信號分量估計(jì)，得到如圖3所示結(jié)果，估計(jì)得到第二個分量的參數(shù)：f2=2．197×108，k2=5．53×1013，a2=1．89。

    上面的仿真結(jié)果表明，離散匹配傅里葉變換結(jié)合“clean"思想是一種檢測多分量LFM信號的有效的方法。仿真進(jìn)一步表明，當(dāng)較小分量的信噪比不小于一15 dB時，LFM信號的參數(shù)估計(jì)能達(dá)到較高的精度。隨著信噪比的進(jìn)一步降低，參數(shù)估計(jì)精度將下降，無法正確估計(jì)信號的參數(shù)。

5 結(jié) 語
    首先介紹了LFM信號的形式以及DMFT的基本原理，然后從減小運(yùn)算量的角度對DMFT算法進(jìn)行改進(jìn)，最后分別對單分量和多分量LFM信號進(jìn)行Matlab仿真，結(jié)果表明，DMFT能夠在低SNR情況下估計(jì)出LFM信號的參數(shù)，不存在多分量信號交叉項(xiàng)問題，而且運(yùn)用本文改進(jìn)的算法運(yùn)算量較小，在對低截獲概率雷達(dá)信號的處理中將有廣闊的應(yīng)用前景。