基于FPGA的CORDIC算法的改進(jìn)及實現(xiàn)

摘 要： 介紹了CORDIC算法的基本原理,分析了其具體計算方法。針對利用CORDIC流水線實現(xiàn)FFT蝶形運算耗費資源多的問題，依據(jù)CORDIC計算迭代系數(shù)的方法改進(jìn)了CORDIC流水線的結(jié)構(gòu)形式，使其適應(yīng)FFT算法。選用 ALTERA 公司CycloneII系列的EP2C35F672C6 來實現(xiàn)整個FFT 處理器，并對設(shè)計進(jìn)行了時序仿真和硬件仿真。通過比較，計算結(jié)果與設(shè)計基本一致。
關(guān)鍵詞： CORDIC；FFT；Cyclone II；流水線

　坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)計算機CORDIC(The Coordinate Rotational Digital Computer)算法是一種用于計算一些常用的基本運算函數(shù)和算術(shù)操作的循環(huán)迭代算法。其基本思想是用一系列與運算基數(shù)相關(guān)的角度的不斷偏擺來逼近所需旋轉(zhuǎn)的角度,從廣義上講它是一個數(shù)值型計算逼近的方法。由于這些固定的角度與計算基數(shù)有關(guān)，運算只有移位和加/減。若用傳統(tǒng)的乘、除等計算方法,需要占用大量的硬件資源，甚至算法是難以實現(xiàn)的，這樣就不能滿足設(shè)計者的要求。CORDIC算法正是由此產(chǎn)生的，它僅在硬件電路上用到了移位和加/減，大大節(jié)約了硬件資源,使得這些算法在硬件上可以得到較好地實現(xiàn),從而滿足設(shè)計者的要求。根據(jù)它的迭代原理，CORDIC單元可以用流水線結(jié)構(gòu)表示，使向量旋轉(zhuǎn)并行處理，大大加快了蝶形運算的速度[1]。但是CORDIC運算單元的多級迭代也占用了大量的芯片資源，尤其是在使用多個蝶形進(jìn)行FFT處理時，使用的資源是非常巨大的，為了盡量降低資源占用，對CORDIC流水線進(jìn)行了結(jié)構(gòu)上的改進(jìn)。
1 CORDIC算法原理
1959年，VOLDER開發(fā)了一類計算三角函數(shù)、雙曲函數(shù)的算法，其中包括指數(shù)和對數(shù)運算。此算法的基本思想是用一系列固定的與運算基數(shù)相關(guān)的角度不斷偏擺從而逼近所需的角度。從廣義上講它是提供一個數(shù)值計算的逼近方法。由于這些固定的角度只與計算基數(shù)有關(guān)，運算只有移位和加減。CORDIC算法雖然可以實現(xiàn)很多基本函數(shù)，但一開始并沒有引起人們很大的注意，只是CAGGETT用它來實現(xiàn)二進(jìn)制和十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換。整個60年代沒什么進(jìn)展，直到1971年WALTHER提出統(tǒng)一的CORDIC算法，加上VLSI技術(shù)的不斷發(fā)展，CORDIC算法才越來越受到人們的重視，并展示出廣泛的應(yīng)用前景[2]。CORDIC算法已被廣泛用作現(xiàn)代信號處理各種算法實現(xiàn)中的運算單元，諸如離散傅里葉變換、矩陣的分解、矩陣特征值的求解、場分解、線性預(yù)測參數(shù)的求解等。
如圖1所示，一對直角坐標(biāo)軸順時針旋轉(zhuǎn)角度A（點M相對于坐標(biāo)軸逆時針旋轉(zhuǎn)），點M的坐標(biāo)從(x0，y0)變?yōu)?x，y)[3-6]。

為了滿足FFT在速度上的要求，CORDIC可以設(shè)計成流水線的形式。將需要旋轉(zhuǎn)的角度加到Z0數(shù)據(jù)通道，通過Z1與固定角度相加減產(chǎn)生所取的值。需要旋轉(zhuǎn)的(x0，y0)向量在各級迭代中旋轉(zhuǎn)方向。Zn通過多次迭代，趨近于零，向量旋轉(zhuǎn)到相應(yīng)角度。如果在FFT的蝶形單元中用CORDIC代替復(fù)乘單元，只需要將數(shù)據(jù)的實部和虛部分別加到x0和y0通道，將復(fù)乘系數(shù)作為角度從Z0處輸入，達(dá)到了乘以的目的。實際應(yīng)用中將FFT使用的角度值存儲在ROM中，由地址發(fā)生器控制，在計算時將相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度讀入CORDIC中即可。使用CORDIC算法可以方便快捷地計算FFT蝶形，但是由于迭代次數(shù)多，導(dǎo)致耗費資源也比較多。
將CORDIC流水線形式進(jìn)行改進(jìn)，如圖3所示，需要旋轉(zhuǎn)的向量的實部和虛部分別加到X0和Y0數(shù)據(jù)通道上，系數(shù)輸入到D觸發(fā)器中與向量保持同步，用來控制向量在各級迭代中旋轉(zhuǎn)的方向。向量經(jīng)多次迭代旋轉(zhuǎn)到相應(yīng)角度[7-8]。

3 CORDIC的旋轉(zhuǎn)系數(shù)
按照改進(jìn)后CORDIC的結(jié)構(gòu)，需要事先求出CORDIC的旋轉(zhuǎn)系數(shù)。根據(jù)CORDIC 算法的迭代原理以及此結(jié)構(gòu)的具體情況，使用 MATLAB 語言編寫程序求出各級旋轉(zhuǎn)系數(shù)，存在ROM中。時序仿真結(jié)果如圖4所示。