一種計算微波電路的并行算法

圖1　媒質(zhì)中反射和透射現(xiàn)象可以用來形象描述兩個微波子電路間的耦合關(guān)系

三、Diakoptics算法的數(shù)學(xué)描述
　　以兩個二端口網(wǎng)絡(luò)的串、并行連接給出Diakoptics算法的數(shù)學(xué)描述.圖2假設(shè)兩個子電路的反射及透射波的沖擊響應(yīng)函數(shù)分別為：gr1(t),gr2(t),gt1(t),gt2(t)和hr1(t),hr2(t),ht1(t),ht2(t),上標(biāo)“r”表示反射波，“t”表示傳輸波，下標(biāo)1表示從輸入?yún)⒖济鎸﹄娐纷骷?，下?biāo)2表示從輸出參考面對電路作激勵.設(shè)f為兩個子電路連接后電路的沖擊響應(yīng)函數(shù).使用串行算法，從f網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济婵慈氲臎_擊響應(yīng)為：

fr1(t)=gr1(t)+gt2(t)*hr1(t)*gt1(t)+gt2(t)*hr1(t)
*gr2(t)*hr1(t)*gt1(t)+…+gt2(t)*(hr1(t)
*gr2(t))n*hr1(t)*gt1(t)+…;　(2)

使用并行算法，從f電路的輸入端口看入的沖擊響應(yīng)函數(shù)fr1(t),ft2(t)以及從f電路的輸出端口看入的沖擊響應(yīng)函數(shù)fr2(t),ft1(t)分別為：

fr1(t)=gr1(t)+gt2(t)*hr1(t)*gt1(t)+gt2(t)*hr1(t)
*gr2(t)*hr1(t)*gt1(t)+…+gt2(t)*(hr1(t)
*gr2(t))n*hr1(t)*gt1(t)+…
ft2(t)=gt2(t)*hr2(t)+gt2(t)*hr1(t)*gr2(t)*ht2(t)+…
+gr2(t)*(hr1(t)*gr2(t))n*hr2(t)+…　(3)
fr2(t)=hr2(t)+ht1(t)*gr2(t)*ht2(t)+ht1(t)*gr2(t)
*hr1(t)*gt2(t)*ht2(t)+…+ht1(t)*(gr2(t)
*hr1(t))n*gr2(t)*ht2(t)+…
ft1(t)=ht1(t)*gt1(t)+ht1(t)*gr2(t)*hr1(t)*gt1(t)+…
+ht1(t)*(gr2(t)*hr1(t))n*gr1(t)+…

其中，*代表時域卷積，上下標(biāo)的含義不變.

圖2　可說明Diakoptics算法的兩個子電路連接示意圖

　　多端口子電路連接時，上述算法依然成立，只是式中各沖擊函數(shù)應(yīng)換為相應(yīng)的子矩陣.例如設(shè)g網(wǎng)絡(luò)為輸入端有M個、輸出端有N個端口的M+N端口網(wǎng)絡(luò)，h網(wǎng)絡(luò)為輸入端有N個、輸出端有L個端口的N+L端口網(wǎng)絡(luò)(g與h相鄰面的端口數(shù)目應(yīng)相同)，g網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫣幍姆瓷洹鬏斪泳仃嚪謩e為：

和

式中下標(biāo)代表參考面，i←j的意思為：i為響應(yīng)所在參考面，j為激勵所在參考面；上標(biāo)代表端口，m←n的意思為：n為輸入端口，m為輸出端口.同理,g網(wǎng)絡(luò)輸出參考面處的反射、傳輸子矩陣分別為：

和

h網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)子矩陣可用同樣方法求得.連接后網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)函數(shù)［f］為：

［fr1(t)］=［gr1(t)］+［gt2(t)］*［hr1(t)］*［gt1(t)］+［gt2(t)］
*［hr1(t)］*［gr2(t)］*［hr1(t)］*［gt1(t)］+…
［ft2(t)］=［gt2(t)］*［ht2(t)］+［gt2(t)］*［hr1(t)］*［gr2(t)］*［ht2(t)］+…
［fr2(t)］=［hr2(t)］+［ht1(t)］*［gr2(t)］*［ht2(t)］+［ht1(t)］
*［gr2(t)］*［hr1(t)］*［gr2(t)］*［ht2(t)］+…
［ft1(t)］=［ht1(t)］*［gt1(t)］+［ht1(t)］*［gr2(t)］*［hr1(t)］*［gt1(t)］+…　(4)
其中［fr1(t)］、［ft1(t)］、［fr2(t)］和［ft2(t)］分別為M×M、L×M、L×L和M×L階子矩陣.下面以［gt2(t)］*［ht2(t)］為例說明如何計算矩陣卷積，并以［gt2(t)］*［ht2(t)］的第一個元素為例，說明其物理意義：

　(5)

g1←11←2*h1←11←2：h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個端口的輸入通過gh連接面第1個端口的耦合在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；g1←21←2*h2←11←2:h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個端口的輸入通過gh交界面第2個端口的耦合在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；g1←N1←2*hN←11←2：h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個端口的輸入通過gh交界面第N個端口的耦合，在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；所以［gt2(t)］*［ht2(t)］的第一個元素描述了h網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個端口上的輸入耦合到g網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济娴谝粋€端口的輸出.

四、Diakoptics算法在微波電路分析中的實現(xiàn)
　　Diakoptics源于網(wǎng)絡(luò)理論，為將其應(yīng)用于微波電路的分析中，首先需要建立適于使用Diakoptics方法的微波電路的等效電路模型.
　　1.微波電路的等效時域網(wǎng)絡(luò)模型
　　建立微波電路等效時域網(wǎng)絡(luò)模型的基本方法是：利用基函數(shù)技術(shù)(或稱時域模技術(shù))將參考面處的場表示為選定的正交基函數(shù)的線性組合，將一個微波網(wǎng)絡(luò)等效為一個多模電路，進而再將多模電路等效為多端口網(wǎng)絡(luò)的方法.
　　選定的基函數(shù)滿足下述條件：只是空間坐標(biāo)的函數(shù)；與時間無關(guān)；構(gòu)成一個完備正交集.且對于給定的微波電路，選定的基函數(shù)應(yīng)能夠有效地描述電路中電磁場的分布規(guī)律.假設(shè)：X-Y平面為電路橫截面所在平面，Z為傳播方向，電路在Dirac-δ函數(shù)激勵下在z=z0處的電場分布為Ei(x,y,z0,t)，{φmn(x,y)}為基函數(shù)族，用φmm(x,y)可將微波電路中t=t0,z=z0處的場表示為：

　(6)

其中amn(z0,t0)為第(m,n)次基函數(shù)的系數(shù)，即幅度，這樣從參考面z=z0看入的微波電路可等效為一個基于基函數(shù)的等效時域多模電路.基函數(shù)的函數(shù)形式既可以是適用于一般電路的正交函數(shù)形式，也可以是特別適用于某類電路的特殊正交函數(shù).一般說來，當(dāng)電路幾何結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，不易根據(jù)電路特性選取特殊的正交函數(shù)作為基函數(shù)時，可以選取矩形脈沖函數(shù)(取網(wǎng)格結(jié)點的值作為整個網(wǎng)格的平均值，故脈沖寬度為一個網(wǎng)格的寬度).但因脈沖函數(shù)描述的只是系統(tǒng)的局部信息，因此要達到足夠的精度，函數(shù)的展開項數(shù)較多.當(dāng)正交函數(shù)可以有效表述電路的全局信息時，通常只需幾項或十幾項，就可以達到所需的精度.例如，對于均勻填充的矩形波導(dǎo)問題，如根據(jù)波導(dǎo)內(nèi)的場的分布特性，把基函數(shù)選為{sin,cos}正交函數(shù)集，通常只需5項就可以滿足要求.相比較之下，至少需要60個脈沖即60個結(jié)點方可較準(zhǔn)確地描述波導(dǎo)系統(tǒng)橫截面上的空間場分布.
　　基函數(shù)的正交性使得每一個基函數(shù)可以被視為一個獨立的端口，因此上述基于基函數(shù)的等效時域多模電路就可以進一步被視為一個多端口網(wǎng)絡(luò).
　　2.等效多端口網(wǎng)絡(luò)特性的計算
　　沖擊函數(shù)的頻譜是無限寬的，因此不能直接使用FDTD算法求解系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)函數(shù).FDTD-Diakoptics使用高斯脈沖調(diào)制波作為激勵，通過加窗Fourier變換技術(shù)，求得有限帶寬微波電路的沖擊響應(yīng)函數(shù).其中，高斯脈沖激勵的調(diào)制頻率為電路工作頻帶的中心頻率，脈沖寬度和脈沖時間采樣間隔取決于頻率分辨率和帶寬.盡管激勵脈沖具有有限帶寬導(dǎo)致FDTD-Diakoptics求得的沖擊響應(yīng)函數(shù)中包含了加窗帶來的影響(稱此時的沖擊響應(yīng)函數(shù)為準(zhǔn)沖擊響應(yīng)函數(shù))，但是只要滿足下述條件：使用FDTD-Diakoptics分析整個電路特性時，各個子電路使用具有相同頻譜特性的激勵脈沖，計入加窗對時域脈沖的展寬效應(yīng)，最終得到的沖擊響應(yīng)函數(shù)的頻域響應(yīng)是足夠準(zhǔn)確的.

五、FDTD-Diakoptics應(yīng)用實例及討論
　　本文以一個波導(dǎo)帶通濾波器的特性分析為例說明該算法的應(yīng)用.圖3為一個具有5個膜片的矩形波導(dǎo)帶通濾波器(WR34).按照本方法首先將該濾波器分為5個部分，使用FDTD對其進行計算，求出在所有連接參考面處(圖中虛線所示)的場分布.FDTD計算中，高斯脈沖調(diào)制函數(shù)為：f(t)=AmaxA(x,y)exp［-((t-t0)/T)2］.sin(2πf0t)，其中調(diào)制頻率f0為WR34-TE10模單模工作頻帶的中心頻率；A(x,y)為激勵幅度空間分布，Diakoptics算法中需計算所有可能存在的基函數(shù)單一激勵時的響應(yīng)，所以A(x,y)依次選為每一個基函數(shù).激勵函數(shù)幅度Amax取決于其沿傳播方向的衰減及計算精度，基本原則是達到不連續(xù)性處和觀察面處的場仍具有足夠大的幅度.T的取值要保證在激勵脈沖的頻譜上截止頻率點處的能量具有足夠小的值.本例中，WR34的單模工作頻帶為：fTE10=17.369GHz,fTE20=34.738GHz，f0=26.0535GHz,T=200(ps),t0=3T,Amax=10，基函數(shù)為φn(x)=sin，相應(yīng)的系數(shù)an(z0,t)如圖4所示(由于文章篇幅原因，只給出一個結(jié)果).圖5為用本文方法得到的濾波器頻率特性，圖中可見該結(jié)果與FDTD結(jié)果吻合很好.

圖3　五膜片WR34波導(dǎo)帶通濾波器示意圖

圖4　本文方法得到的圖3中第一個子電路反射波基函數(shù)的系數(shù)

圖5　圖3所示W(wǎng)R34波導(dǎo)濾波器的頻率特性