∑-△模數(shù)轉(zhuǎn)換器工作原理及簡單分析

摘要：∑-△A／D轉(zhuǎn)換器是一種高精度的模數(shù)轉(zhuǎn)換器，它和傳統(tǒng)的A／D轉(zhuǎn)換器不同，具有高分辨率、高集成度、造價(jià)低和使用方便的特點(diǎn)，并且越來越廣泛地使用在一些高精度儀器儀表和測量設(shè)備中。文章從信號(hào)的過采樣、噪聲整形、數(shù)字抽取濾波等方面分析了∑-△A／D轉(zhuǎn)換器的工作原理，對(duì)人們?nèi)媪私?sum;-△A／D轉(zhuǎn)換器有一定的幫助。
關(guān)鍵詞：∑-△A／D轉(zhuǎn)換器；∑-△調(diào)制器；過采樣；噪聲整形；數(shù)字抽取濾波

    A／D轉(zhuǎn)換器是一種用來將連續(xù)的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成適于數(shù)字處理的二進(jìn)制數(shù)的器件，傳統(tǒng)的A／D轉(zhuǎn)換器有雙積分式、逐位比較式以及并行直接比較式等。但是在人類的科學(xué)技術(shù)發(fā)展中，傳統(tǒng)的A／D轉(zhuǎn)換器精度已經(jīng)無法滿足人們的需求，數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換精度的提高已經(jīng)成了必然的要求。目前16位以上的高分辨率的A／D轉(zhuǎn)換器被人們大量的使用，但是采用傳統(tǒng)的雙積分式或者其他的A／D轉(zhuǎn)換器無法實(shí)現(xiàn)高精度的目標(biāo)，為了提升采集精度，人們采用了∑-△A／D轉(zhuǎn)換器，在∑-△A／D轉(zhuǎn)換器中，轉(zhuǎn)換器的模擬部分對(duì)電路的占用較小，而且電路比較穩(wěn)定，所以被越來越廣泛地應(yīng)用于很多儀器中。在∑-△A／D轉(zhuǎn)換器中最核心的部分是∑-△調(diào)制器，它采用了遠(yuǎn)高于奈奎斯特采樣頻率的采樣技術(shù)，即過采樣技術(shù)，使量化噪聲在頻帶內(nèi)重新分配，從而使量化噪聲在更寬的頻帶內(nèi)分布，這樣可以降低量化噪聲獲得更好的采集信號(hào)，同時(shí)，1位的量化器和噪聲成形技術(shù)也應(yīng)用于∑-△調(diào)制器，進(jìn)一步強(qiáng)化了∑-△調(diào)制器的優(yōu)勢，可以更方便地和數(shù)字電路集成，實(shí)現(xiàn)真正意義上的系統(tǒng)集成。本文主要介紹采用過采樣技術(shù)的∑-△A／D轉(zhuǎn)換器。

1 ∑-△A／D轉(zhuǎn)換器的原理概述
    ∑-△A／D轉(zhuǎn)換器的工作原理，就是將初次轉(zhuǎn)換后的數(shù)字信號(hào)再做信號(hào)除噪處理。模擬量進(jìn)入轉(zhuǎn)換器。要先在∑-△調(diào)制器中做一次求積，同時(shí)將輸入的模擬量轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，在求積以及轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)的同時(shí)，信號(hào)會(huì)夾帶一定的量化噪聲，使結(jié)果產(chǎn)生失真。采用將轉(zhuǎn)換后的數(shù)字量以低頻率一位一位的進(jìn)行輸出，同時(shí)使輸出的數(shù)字量經(jīng)過一個(gè)低通濾波器，將量化噪聲過濾掉后再降頻就可以得到比較精確的輸出結(jié)果了?？傮w來說，∑-△A／D轉(zhuǎn)換器有兩大部分，模擬部分和數(shù)字部分，模擬部分是一個(gè)∑-△調(diào)制器，主要使采用過采樣技術(shù)采樣后信號(hào)經(jīng)過調(diào)制器，使量化噪聲分布更廣，并且輸出一位一位的數(shù)據(jù)位流，數(shù)字部分是一個(gè)數(shù)字濾波器，它對(duì)模擬部分輸出的數(shù)字量進(jìn)行除噪處理，濾除大部分的量化噪聲，并對(duì)調(diào)制器的輸出降頻至奈奎斯特頻率和進(jìn)行進(jìn)一步的量化，最終得到輸出結(jié)果。圖1為∑-△A／D轉(zhuǎn)換器的原理圖。

2 ∑-△調(diào)制器的原理
2．1 過采樣技術(shù)
    過采樣是使用遠(yuǎn)大于奈奎斯特采樣頻率的頻率對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行采樣。設(shè)系統(tǒng)原來的采樣頻率為fa，現(xiàn)在以遠(yuǎn)大于原來采樣頻率的頻率即以N×fa的頻率進(jìn)行采樣，其中，N>1，此時(shí)開始分布在0～fa／2頻帶內(nèi)的量化噪聲分布到0～Nxfa的頻帶內(nèi)，即量化噪聲的頻譜分布發(fā)生了變化，當(dāng)N>>1時(shí)，量化噪聲在系統(tǒng)的頻帶之內(nèi)的量化噪聲就會(huì)減少，這就是過采樣技術(shù)。補(bǔ)充一下系統(tǒng)的信噪比。信噪比即信號(hào)功率與噪聲功率的比值，

    由此式可以看出，信號(hào)功率越大，信噪比越高，另一方面，隨著字長b的增加，信噪比增大，且有A／D變換器的字長b每增加一位，信噪比增加約6 dB。為了改善SNR和更為精確地再現(xiàn)輸入信號(hào)，對(duì)于傳統(tǒng)A／D轉(zhuǎn)換器來講，必須增加位數(shù)。將采樣頻率提高一個(gè)過采樣系數(shù)N，即采樣頻率為Nxfa，再來討論同樣的問題。此時(shí)，大部分噪聲位于數(shù)字濾波器帶寬之外而被濾除。已知一個(gè)1位A／D轉(zhuǎn)換器的SNR為7．78 dB，每2倍過采樣可以使SNR增加3 dB，則SNR每增加3 dB等效于分辨率增加0．5 bit。這樣通過提高過采樣率，時(shí)間來換取精度，從而使高精度的A／D轉(zhuǎn)換器的電路簡單化。但是單單采用過采樣技術(shù)是不行的，例如采用1位A／D轉(zhuǎn)換器進(jìn)行256倍(即28倍)過采樣可以獲得5位分辨率，而要獲得20位分辨率就必須進(jìn)行238倍過采樣，這是不切實(shí)際的。∑-△A／D轉(zhuǎn)換器采用噪聲成形技術(shù)消除了這種局限，使得每2倍過采樣可增加高于3 dB的SNR。
2．2 噪聲整形原理
    量化噪聲是影響轉(zhuǎn)換器精度的最主要的原因，如上述所說僅采用過采樣技術(shù)還不能滿足∑-△A／D轉(zhuǎn)換器對(duì)結(jié)果精確度的要求，為了降低量化噪聲對(duì)結(jié)果的影響，所以人們又采用了噪聲整型原理，利用反饋克服過高取樣所造成的技術(shù)困難并且使量化噪聲在低頻頻帶內(nèi)分布的更少。再者，由于數(shù)字濾波器在工作過程中由于移位等也會(huì)生成一部分噪聲，噪聲整形就可以很好地解決這一問題，噪聲整形處理再量化噪聲，低頻頻帶內(nèi)的噪聲將會(huì)大大減少，大部分的量化噪聲就被推向更高的頻段，這樣在∑-△調(diào)制器后加入低通濾波器，就可以有效地濾除信號(hào)帶寬外的量化噪聲，大大提高了系統(tǒng)性能。與前面的簡單過采樣相比，總的噪聲功率雖未改變，但噪聲的分布發(fā)生了變化。在∑-△調(diào)制器中采用更多的積分與求和環(huán)節(jié)，可以提供更高階數(shù)的量化噪聲成形。
2．3 一階噪聲成型原理
    圖2為一階∑-△調(diào)制器的結(jié)構(gòu)原理圖，分析此結(jié)構(gòu)可以得到以下方程：
    y(kT)=x(kT-T)+e(kT)-e(kT-T)     (3)
    e(kT)=q(kT)-u(kT)               (4)
    對(duì)式(3)(4)進(jìn)行Z變換得到一階調(diào)制器的傳輸函數(shù)為：
    Y(z)=Z-1X(Z)+(1-Z-1)E(Z)        (5)
    這表示一階調(diào)制器的輸入信號(hào)的一個(gè)采樣時(shí)鐘延遲和量化誤差的一階差分。

2．4 二階噪聲成型原理
    圖3顯示二階∑-△調(diào)制器結(jié)構(gòu)原理。2次噪聲整形電路是進(jìn)行2次低頻提升和低頻衰減的電路，即在∑-△調(diào)制方式1 bit量化器的前后，分別加2級(jí)積分器和微分器構(gòu)成的，如同1次噪聲整形簡化方式一樣，2次噪聲整形使噪聲分布斜率更加陡峭，低頻區(qū)量化噪聲得到進(jìn)一步降低。

    根據(jù)線性模型可推出二級(jí)∑-△調(diào)制器的方程為
    y(kT)=x(kT-2T)+e(kT)-2e(kT-T)+e(kT-2T)      (6)
    經(jīng)過Z變換可得
    Y(z)=Z-2(Z)+(1-Z-1)2E(Z)                    (7)
    可以看出由一階調(diào)制器的級(jí)聯(lián)而得到的二階調(diào)制器的輸出包括輸入信號(hào)的2個(gè)采樣周期延遲和量化誤差的2階差分。
    由此可以推理得出L階調(diào)制器的傳輸函數(shù)為：
    Y(z)=Z-Lx(Z)+(1-Z-1)LE(Z)                    (8)
    令Hk(Z)=Z-L，F(xiàn)n(Z)=(1-Z-1)L，則信號(hào)傳輸函數(shù)為Hk(Z)，是L個(gè)延時(shí)(全通函數(shù))，噪聲傳輸函數(shù)為Fn(Z)，是L階整形，即高通函數(shù)，將量化噪聲推向更高的頻域。

    圖4為信噪比隨過采樣率和階數(shù)的變化?？梢钥闯霾蓸宇l率每增加2倍，在L=1時(shí)，信噪比提高9 dB，L=2時(shí)，信噪比提高15 dB，時(shí)，信噪比提高21 dB。過采樣率以及階數(shù)越高，∑-△調(diào)制器的量化信噪比越好。但是過采樣率和調(diào)制器的階數(shù)不會(huì)一直提高，因?yàn)楝F(xiàn)代工藝還未達(dá)到這個(gè)水平，硬件實(shí)現(xiàn)難，而且調(diào)制器的階數(shù)過高會(huì)造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定，不利于結(jié)果的輸出。

3 數(shù)字抽取濾波原理
    ∑-△調(diào)制器的輸出，信號(hào)頻譜分布在基帶內(nèi)，而量化噪聲則分布在基帶之外，所以可以利用數(shù)字信號(hào)低通濾波器來獲得想要的輸出。而在一般情況下，為了方便以后對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行處理，則需要將輸出信號(hào)的頻率將至奈奎斯特頻率。數(shù)字低通濾波器通常分為兩類，有限沖擊響應(yīng)濾波器(FIR)和無限沖擊響應(yīng)濾波器(IIR)，在降頻變換中，通常采用可以獲得精確線性相位的FIR數(shù)字濾波器。

    濾波以后，進(jìn)行對(duì)數(shù)據(jù)的重采樣，它是通過每輸出M個(gè)數(shù)據(jù)抽取1／M個(gè)數(shù)據(jù)完成的，這種方法也叫做輸出速率降為的采樣抽取，即減采樣，最終輸出頻率降至奈奎斯特頻率。通常，減采樣后的離散序列的頻譜將會(huì)出現(xiàn)混迭，為了避免混迭，可在信號(hào)減采樣前用低通濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，如圖5所示，稱該低通濾波器為抽取濾波器。一般的，如果低頻信號(hào)z(n)的頻譜是帶限的，即在區(qū)間[-π，π]范圍內(nèi)有
    
    則M倍減采樣后信號(hào)的頻譜不會(huì)發(fā)生混疊。式稱為序列減采樣不混疊的奈奎斯特條件，即奈奎斯特頻率為π／M(數(shù)字頻率)。
    若信號(hào)x(n)需保留的最高頻率分量為ωm／M(ωm<π)，即減采樣后的信號(hào)在頻譜范圍[0，ωm]內(nèi)無混疊，在頻率范圍[ωm，π]允許存在混疊。則抽取濾波器H(z)的幅度響應(yīng)可為
    
    M倍減采樣濾波系統(tǒng)輸出信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式可寫為
    
    由上式可知在計(jì)算M倍減采樣濾波系統(tǒng)的輸出時(shí)，只需計(jì)算抽取濾波器每M個(gè)輸出中的一個(gè)樣本，所以可以減少系統(tǒng)的計(jì)算量。通過抽取濾波器以后，我們就可以得到想要的結(jié)果了。

4 結(jié)束語
    高精度是∑-△A／D轉(zhuǎn)換器最突出的優(yōu)點(diǎn)，其轉(zhuǎn)換精度一般都在16位以上，在相同精度的模數(shù)轉(zhuǎn)換器中∑-△A／D轉(zhuǎn)換器價(jià)格最低，作為測量系統(tǒng)的核心元件，它會(huì)提升整個(gè)系統(tǒng)的性價(jià)比，而且越來越多的應(yīng)用于數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中。但是這種轉(zhuǎn)換器也是存在著很多制約其發(fā)展的因素，最突出的就是，∑-△A／D轉(zhuǎn)換器以提高采樣時(shí)間換取精度，應(yīng)用于對(duì)時(shí)間要求比較嚴(yán)格的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)比較困難，因此∑-△A／D轉(zhuǎn)換器還有更遠(yuǎn)的路要走。