快速傅里葉變換(FFT)結(jié)果的物理意義是什么？（附Matlab程序）

 FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個(gè)信號(hào)變換到頻域。有些信號(hào)在時(shí)域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號(hào)分析采用FFT變換的原因。另外，F(xiàn)FT可以將一個(gè)信號(hào)的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。

雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結(jié)果是什么意思、如何決定要使用多少點(diǎn)來做FFT。

現(xiàn)在就根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來說說FFT結(jié)果的具體物理意義。一個(gè)模擬信號(hào)，經(jīng)過ADC采樣之后，就變成了數(shù)字信號(hào)。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號(hào)頻率的兩倍，這些我就不在此羅嗦了。

采樣得到的數(shù)字信號(hào)，就可以做FFT變換了。N個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過FFT之后，就可以得到N個(gè)點(diǎn)的FFT結(jié)果。為了方便進(jìn)行FFT運(yùn)算，通常N取2的整數(shù)次方。

假設(shè)采樣頻率為Fs，信號(hào)頻率F，采樣點(diǎn)數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個(gè)為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號(hào)的幅度有什么關(guān)系呢?假設(shè)原始信號(hào)的峰值為A，那么FFT的結(jié)果的每個(gè)點(diǎn)(除了第一個(gè)點(diǎn)直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一個(gè)點(diǎn)就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個(gè)點(diǎn)的相位呢，就是在該頻率下的信號(hào)的相位。第一個(gè)點(diǎn)表示直流分量(即0Hz)，而最后一個(gè)點(diǎn)N的再下一個(gè)點(diǎn)(實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)是不存在的，這里是假設(shè)的第N+1個(gè)點(diǎn)，也可以看做是將第一個(gè)點(diǎn)分做兩半分，另一半移到最后)則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個(gè)點(diǎn)平均分成N等份，每個(gè)點(diǎn)的頻率依次增加。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點(diǎn)，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，則結(jié)果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，則結(jié)果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點(diǎn)數(shù)，也即采樣時(shí)間。頻率分辨率和采樣時(shí)間是倒數(shù)關(guān)系。

假設(shè)FFT之后某點(diǎn)n用復(fù)數(shù)a+bi表示，那么這個(gè)復(fù)數(shù)的模就是An=根號(hào)a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據(jù)以上的結(jié)果，就可以計(jì)算出n點(diǎn)(n≠1，且n<=N/2)對(duì)應(yīng)的信號(hào)的表達(dá)式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對(duì)于n=1點(diǎn)的信號(hào)，是直流分量，幅度即為A1/N。

由于FFT結(jié)果的對(duì)稱性，通常我們只使用前半部分的結(jié)果，即小于采樣頻率一半的結(jié)果。

好了，說了半天，看著公式也暈，下面以一個(gè)實(shí)際的信號(hào)來做說明。

假設(shè)我們有一個(gè)信號(hào)，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號(hào)，以及一個(gè)頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號(hào)。用數(shù)學(xué)表達(dá)式就是如下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos參數(shù)為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對(duì)這個(gè)信號(hào)進(jìn)行采樣，總共采樣256點(diǎn)。按照我們上面的分析，F(xiàn)n=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的間距就是1Hz，第n個(gè)點(diǎn)的頻率就是n-1。我們的信號(hào)有3個(gè)頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應(yīng)該分別在第1個(gè)點(diǎn)、第51個(gè)點(diǎn)、第76個(gè)點(diǎn)上出現(xiàn)峰值，其它各點(diǎn)應(yīng)該接近0。實(shí)際情況如何呢?我們來看看FFT的結(jié)果的模值如圖所示。

FFT的結(jié)果

從圖中我們可以看到，在第1點(diǎn)、第51點(diǎn)、和第76點(diǎn)附近有比較大的值。我們分別將這三個(gè)點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)拿上來細(xì)看：

1點(diǎn)： 512+0i

2點(diǎn)： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i

3點(diǎn)： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50點(diǎn)：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i

51點(diǎn)：332.55 - 192i

52點(diǎn)：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75點(diǎn)：-2.2199E-13 -1.0076E-12i

76點(diǎn)：3.4315E-12 + 192i

77點(diǎn)：-3.0263E-14 +7.5609E-13i

很明顯，1點(diǎn)、51點(diǎn)、76點(diǎn)的值都比較大，它附近的點(diǎn)值都很小，可以認(rèn)為是0，即在那些頻率點(diǎn)上的信號(hào)幅度為0。接著，我們來計(jì)算各點(diǎn)的幅度值。分別計(jì)算這三個(gè)點(diǎn)的模值，結(jié)果如下：

1點(diǎn)： 512

51點(diǎn)：384

76點(diǎn)：192

按照公式，可以計(jì)算出直流分量為：512/N=512/256=2;50Hz信號(hào)的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3;75Hz信號(hào)的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5?？梢?，從頻譜分析出來的幅度是正確的。

然后再來計(jì)算相位信息。直流信號(hào)沒有相位可言，不用管它。先計(jì)算50Hz信號(hào)的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結(jié)果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計(jì)算75Hz信號(hào)的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002?？梢?，相位也是對(duì)的。根據(jù)FFT結(jié)果以及上面的分析計(jì)算，我們就可以寫出信號(hào)的表達(dá)式了，它就是我們開始提供的信號(hào)。

總結(jié)：假設(shè)采樣頻率為Fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N，做FFT之后，某一點(diǎn)n(n從1開始)表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N;該點(diǎn)的模值除以N/2就是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的幅度(對(duì)于直流信號(hào)是除以N);該點(diǎn)的相位即是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的相位。相位的計(jì)算可用函數(shù)atan2(b,a)計(jì)算。atan2(b,a)是求坐標(biāo)為(a,b)點(diǎn)的角度值，范圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要采樣長(zhǎng)度為1/x秒的信號(hào)，并做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點(diǎn)數(shù)，這在一些實(shí)際的應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的，需要在較短的時(shí)間內(nèi)完成分析。解決這個(gè)問題的方法有頻率細(xì)分法，比較簡(jiǎn)單的方法是采樣比較短時(shí)間的信號(hào)，然后在后面補(bǔ)充一定數(shù)量的0，使其長(zhǎng)度達(dá)到需要的點(diǎn)數(shù)，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細(xì)分法可參考相關(guān)文獻(xiàn)。

[附錄：本測(cè)試數(shù)據(jù)使用的matlab程序]

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Adc=2; %直流分量幅度

A1=3; %頻率F1信號(hào)的幅度

A2=1.5; %頻率F2信號(hào)的幅度

F1=50; %信號(hào)1頻率(Hz)

F2=75; %信號(hào)2頻率(Hz)

Fs=256; %采樣頻率(Hz)

P1=-30; %信號(hào)1相位(度)

P2=90; %信號(hào)相位(度)

N=256; %采樣點(diǎn)數(shù)

t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采樣時(shí)刻

%信號(hào)

S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);

%顯示原始信號(hào)

plot(S);

title('原始信號(hào)');

figure;

Y = fft(S,N); %做FFT變換

Ayy = (abs(Y)); %取模

plot(Ayy(1:N)); %顯示原始的FFT模值結(jié)果

title('FFT 模值');

figure;

Ayy=Ayy/(N/2); %換算成實(shí)際的幅度

Ayy(1)=Ayy(1)/2;

F=([1:N]-1)*Fs/N; %換算成實(shí)際的頻率值

plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %顯示換算后的FFT模值結(jié)果

title('幅度-頻率曲線圖');

figure;

Pyy=[1:N/2];

for i="1:N/2"

Pyy(i)=phase(Y(i)); %計(jì)算相位

Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %換算為角度

end;

plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %顯示相位圖

title('相位-頻率曲線圖');