信號(hào)完整性分析基礎(chǔ)之十——串行數(shù)據(jù)測(cè)試的總體抖動(dòng)算法

在高速串行數(shù)據(jù)的測(cè)試中，抖動(dòng)的測(cè)試非常重要。在串行數(shù)據(jù)的抖動(dòng)測(cè)試中，抖動(dòng)定義為信號(hào)的邊沿與其參考時(shí)鐘之間的偏差。對(duì)于抖動(dòng)測(cè)量值的量化，通常有抖動(dòng)的峰峰值和有效值這兩個(gè)參數(shù)。不過(guò)，抖動(dòng)的峰峰值隨著測(cè)量時(shí)間的增加，測(cè)量值不斷變大，不能將抖動(dòng)值與誤碼率直接聯(lián)系起來(lái)，所以對(duì)于抖動(dòng)測(cè)試，抖動(dòng)的峰峰值并不是一個(gè)理想的指標(biāo)來(lái)很衡量器件和系統(tǒng)的性能。
總體抖動(dòng)（Total Jitter，簡(jiǎn)稱Tj）為某誤碼率（Bit Error Ratio，簡(jiǎn)稱BER）下抖動(dòng)的峰峰值，在很多串行數(shù)據(jù)的規(guī)范中通常需要測(cè)量誤碼率為10e-12的Tj，簡(jiǎn)寫(xiě)為T(mén)j@BER=10e-12。對(duì)于BER小于10e-8的Tj的測(cè)量，通常只有誤碼率測(cè)試儀BERT可以直接測(cè)量到。對(duì)于示波器，假設(shè)該高速信號(hào)為2.5Gbps的PCIe，單個(gè)bit的時(shí)長(zhǎng)為Unit interval = 400ps，假設(shè)示波器采樣率為20G采樣率，則1個(gè)bit上包括了400ps/50ps = 8個(gè)采樣點(diǎn)，一次分析1M個(gè)bit需要8M的存儲(chǔ)深度，如果要測(cè)量10個(gè)比特的抖動(dòng)，需要讓示波器在8M的存儲(chǔ)深度下掃描100次，由于示波器在8Mpts時(shí)計(jì)算抖動(dòng)已經(jīng)很耗時(shí)，重復(fù)100次的測(cè)試時(shí)間會(huì)非常長(zhǎng)。所以示波器測(cè)量小于10e-12的誤碼率時(shí)的總體抖動(dòng)必須通過(guò)某些算法來(lái)估算Tj。

圖1：TIE抖動(dòng)圖示與抖動(dòng)概率密度函數(shù)（PDF）

基于示波器求解抖動(dòng)的算法通常在三個(gè)領(lǐng)域觀察和分析，即時(shí)域、頻域、統(tǒng)計(jì)域。比如TIE track即為T(mén)IE抖動(dòng)在時(shí)域的函數(shù)；在頻域分析抖動(dòng)的頻譜，可以計(jì)算周期性抖動(dòng)Pj和隨機(jī)抖動(dòng)Rj；TIE直方圖、Tj的概率密度函數(shù)（Probability Density Function，簡(jiǎn)稱PDF）是在統(tǒng)計(jì)域來(lái)分析抖動(dòng)。
對(duì)于總體抖動(dòng)的計(jì)算，通常從統(tǒng)計(jì)域分析，即分析抖動(dòng)的直方圖、概率密度函數(shù)PDF和累計(jì)分布函數(shù)（Cumulative Distribution Function，簡(jiǎn)稱CDF）。
概率密度函數(shù)PDF的定義為：對(duì)于實(shí)數(shù)隨機(jī)變量X，任何滿足下列條件的函數(shù)
都可以被定義為其概率密度函數(shù) :
在下圖2中簡(jiǎn)要描述了從TIE直方圖生成PDF、CDF、浴盆曲線Bathtub curve的過(guò)程。
在第一步的圖示中，X軸是抖動(dòng)的值，Y軸是某個(gè)抖動(dòng)值上的樣本數(shù)量，示波器測(cè)量每個(gè)信號(hào)每個(gè)邊沿與參考時(shí)鐘的偏差（即TIE），統(tǒng)計(jì)在某個(gè)抖動(dòng)值上邊沿的數(shù)量，得到TIE的直方圖；
第二步中對(duì)直方圖做歸一化，即直方圖中每個(gè)方柱子的數(shù)量除以樣本總數(shù)，得到每個(gè)抖動(dòng)值的發(fā)生概率，在這一步中即可得到TIE的概率密度函數(shù)PDF；

圖2：抖動(dòng)的直方圖與PDF
在第三步中，對(duì)PDF的直方圖從左右兩邊向中央進(jìn)行積分。假定信號(hào)邊沿相對(duì)理想位置超出距離x時(shí)，可能導(dǎo)致誤碼，誤碼率是對(duì)PDF從x到∞或-∞的積分（當(dāng)x大于0時(shí)為∞，小于0時(shí)為-∞）：BER(x) =
=1-CDF(x)。然后，對(duì)Y軸取對(duì)數(shù)后如下圖3中深藍(lán)色直方圖。所示，由于測(cè)試樣本較少，最矮的直方圖的概率（即誤碼率）僅1%=10e-2，要計(jì)算10e-12的BER，需要對(duì)現(xiàn)有的BER直方圖進(jìn)行外插值；
在第四步中（如下圖3中Step4的圖片）顯示了外插值后的BER圖，綠色的柱子是外插值得到的，在圖上測(cè)量10e-12時(shí)拋物線形狀的BER曲線的內(nèi)側(cè)的寬度，即可得到Tj；
第五步中把外插值后的BER圖（類似于拋物線的曲線）以x=0分割成兩條曲線后，設(shè)定橫軸的最大值為0.5UI（Unit interval，即一個(gè)比特的寬度），最小值為-0.5UI，即水平方向正好一個(gè)UI的寬度，把Step4中生成的BER圖左半部分的曲線右移靠最右邊，右半部分的曲線左移靠最左邊，即可得到浴盆曲線Bathtub curve。

圖3：抖動(dòng)的PDF/BER/CDF與浴盆曲線

當(dāng)然，在上述的Tj求解過(guò)程中，除了BER圖中的外插值部分，其他都是基于實(shí)測(cè)結(jié)果計(jì)算的，所以BER圖的外插值是示波器的抖動(dòng)分析算法中最關(guān)鍵的一部分。外插值算法的模型精準(zhǔn)度決定了Tj計(jì)算的精度。由于外插值算法是對(duì)實(shí)測(cè)的BER/CDF圖中尾部進(jìn)行擬合和外插值，在國(guó)外的相關(guān)文獻(xiàn)中稱為tail-fit算法。
在業(yè)界除了對(duì)BER圖進(jìn)行外插值以獲取小誤碼率的Tj這種方法外，另外一種方法是對(duì)PDF進(jìn)行外插值，得到BER<10e-12的PDF，然后積分得到BER/CDF和浴盆曲線，從而算出Tj。兩種算法分別稱為PDF尾部擬合算法（tail-fit method for PDF）和BER/CDF尾部擬合算法（tail-fit method for the BER/CDF）。
下面簡(jiǎn)要介紹一種tail-fit method for PDF方法。如下圖4所示:
第一步統(tǒng)計(jì)TIE分布的直方圖，測(cè)量的樣本數(shù)量越多，推算的Tj越準(zhǔn)確，在下面的TIE直方圖中包括了102.6k個(gè)樣本；
第二步對(duì)TIE直方圖的Y軸（即樣本數(shù)量）取對(duì)數(shù)，把Y坐標(biāo)變?yōu)閷?duì)數(shù)坐標(biāo)，對(duì)數(shù)運(yùn)算后直方圖的輪廓近似為二次方程曲線；
第三步使用最小二乘法對(duì)兩個(gè)尾部進(jìn)行擬合；
第四步對(duì)直方圖的尾部進(jìn)行外插值，歸一化后可得到BER=10e-16 的概率密度函數(shù)；
第五步對(duì)每一個(gè)偏移值x進(jìn)行積分：BER(x) =
=1-CDF，得到BER/CDF曲線；
第六步測(cè)量某誤碼率下CDF曲線的寬度即為總體抖動(dòng)Tj。

圖4：PDF的尾部擬合算法計(jì)算總體抖動(dòng)

在尾部擬合（tail-fit）算法中，前提是測(cè)量的抖動(dòng)樣本足夠多，抖動(dòng)直方圖中包括了很多小概率的抖動(dòng)事件，通常這些小概率的抖動(dòng)樣本分布在直方圖的尾部，在尾部有了足夠的樣本后才可以準(zhǔn)確的進(jìn)行尾部擬合與外插值。
總結(jié)：
本文簡(jiǎn)要介紹了總體抖動(dòng)的直方圖、概率密度函數(shù)、誤碼率BER與累計(jì)分布函數(shù)CDF、浴盆曲線，以及兩種tail-fit算法的處理步驟，后續(xù)的文章將介紹力科獨(dú)特的抖動(dòng)求解算法——NQ-Scale算法以及串行數(shù)據(jù)分析儀SDA中的幾種抖動(dòng)分解方法。
參考文獻(xiàn)：
1, Jitter, Noise, and Signal Integrity at High-Speed, Mike Peng Li
2, Fibre Channel – Method Jitter and Signal Quality Specification – MJSQ, T11.2/Project 1315-DT/Rev 14.1, June 5, 2005.