如何通過(guò)冪律法則對(duì)比特幣的價(jià)格進(jìn)行建模

隨著加密貨幣的日益普及，它的未來(lái)價(jià)格一直是投機(jī)的主題。一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家如Nouriel Roubini預(yù)測(cè)比特幣價(jià)格未來(lái)五年內(nèi)歸零，而 John McAfee則預(yù)測(cè)2020年底每個(gè)比特幣價(jià)格將達(dá)到100萬(wàn)美元。而其他大多數(shù)做出的預(yù)測(cè)都在這個(gè)幅度極大的范圍內(nèi)。

總體來(lái)說(shuō)，比特幣的價(jià)格從2009年誕生以來(lái)上漲迅速，且也受到繁榮和蕭條的影響?？焖偕蠞q和繁榮階段似乎鼓勵(lì)McAfee這樣的人對(duì)未來(lái)價(jià)格作出樂觀預(yù)測(cè)，而蕭條階段則鼓勵(lì)一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家作出歸零的預(yù)測(cè)。

在這篇文章中，我們觀察比特幣的整個(gè)價(jià)格歷史，看到比特幣的價(jià)格演變可以被理解為在一個(gè)走廊內(nèi)移動(dòng)，而這個(gè)走廊由兩個(gè)基于時(shí)間的冪律法則來(lái)定義。盡管使用冪律法則對(duì)比特幣的價(jià)格進(jìn)行建模的想法并不新鮮，但本文對(duì)這一想法作出更多的闡述，并提供一些額外的解釋。

這一模型允許我們對(duì)比特幣的未來(lái)長(zhǎng)期價(jià)格作出更廣泛的預(yù)測(cè)。例如：

· 該模型預(yù)測(cè)比特幣的價(jià)格不會(huì)早于2021年也不遲于2028年達(dá)到10萬(wàn)美元。2028年之后，價(jià)格將永遠(yuǎn)不會(huì)低于10萬(wàn)美元。

· 每個(gè)比特幣價(jià)格不會(huì)早于2028年之前，也不會(huì)遲于2037年之后，比特幣價(jià)格達(dá)到100萬(wàn)美元。2037年之后，價(jià)格永遠(yuǎn)不會(huì)低于100萬(wàn)美元。

此外，價(jià)格走廊可以分為兩個(gè)帶，一個(gè)位于價(jià)格預(yù)測(cè)的更低一端，且相當(dāng)薄；另一個(gè)位于更高一端的預(yù)測(cè)，范圍要大很多。比特幣價(jià)格變化在這兩個(gè)波段都花費(fèi)了相同的時(shí)間。這意味著，大量的泡沫和破滅有可能繼續(xù)存在。上述的預(yù)測(cè)看上去范圍很廣，但它們跟其他很多人的預(yù)測(cè)不同，從這個(gè)角度，也足夠精確。這個(gè)價(jià)格模型還有助于決策進(jìn)入和離開市場(chǎng)的時(shí)間點(diǎn)。

從長(zhǎng)期看，我個(gè)人非常有信心。價(jià)格會(huì)大致按照文章預(yù)測(cè)的方向演化。事實(shí)上，我認(rèn)為這些預(yù)測(cè)更有可能只是過(guò)低而不是過(guò)高：面對(duì)大的外源沖擊時(shí)，我認(rèn)為比特幣有更多的上行空間而不是下行發(fā)展。（藍(lán)狐筆記注：外源沖擊主要是指從外部輸入的影響，而這個(gè)影響一般不受內(nèi)部體系影響。）不過(guò)，考慮到大的外源沖擊，本文并不試圖做任何預(yù)測(cè)。相反，我們會(huì)假設(shè)事情繼續(xù)“像往常一樣”。

看待價(jià)格的不同方式

比特幣價(jià)格最有意思和最讓人驚訝的地方是它在短短幾年內(nèi)經(jīng)歷了許多個(gè)數(shù)量級(jí)的變化。我能找到的第一個(gè)公開上市的價(jià)格是0.05美元，是2010年7月17日Mt Gox交易所上的價(jià)格，但在此之前，很多比特幣以更低的價(jià)格換手，比如2010年5月22日，Laszlo Hanyecz為兩個(gè)比薩餅支付了10，000個(gè)btc，當(dāng)時(shí)價(jià)格大概相當(dāng)于每個(gè)btc0.0025美元。在寫作本文時(shí)，比特幣價(jià)格在10，000美元左右徘徊，這個(gè)價(jià)格大約是Laszlo Hanyecz購(gòu)買比薩餅時(shí)的400多萬(wàn)倍。

對(duì)于金融工具來(lái)說(shuō)，經(jīng)歷如此巨大的數(shù)量級(jí)變化是不同尋常的，并且實(shí)際上，查看按照時(shí)間推移的比特幣價(jià)格變化可能讓人困惑，如果價(jià)格是以線性比例展示。（藍(lán)狐筆記：作者的意思是說(shuō)，比特幣價(jià)格變化圖按照線性比例會(huì)呈現(xiàn)陡峭的變化，圖示讓人難以理解。所以，比特幣價(jià)格變化圖還有一種使用對(duì)數(shù)刻度的呈現(xiàn)。）

下面是比特幣從2010年7月17日到最近的價(jià)格圖。任何列出比特幣價(jià)格的網(wǎng)站上都可以找到類似的圖表。

跟過(guò)去的價(jià)格相比，任何接近現(xiàn)在的價(jià)格都有大幅的變化，似乎過(guò)去的價(jià)格毫無(wú)意義。然而，為了理解長(zhǎng)期價(jià)格趨勢(shì)的意義，所有過(guò)去的價(jià)格都有一定的重要性。產(chǎn)生上述效果的原因是使用線性比例對(duì)于經(jīng)歷如此大數(shù)量級(jí)變化的價(jià)格圖來(lái)說(shuō)是不方便的。

因此，使用對(duì)數(shù)標(biāo)尺比線性標(biāo)尺更有用。對(duì)數(shù)標(biāo)尺給出的是同等的間距，例如從0.01到0.1和從1000到10000是同等的間距。從這個(gè)角度，比特幣價(jià)格演化的更大圖景變得更加清晰：

顯而易見的是，比特幣的價(jià)格增長(zhǎng)率看上去趨于緩慢。價(jià)格從0.1美元到1美元，10倍的漲幅在幾個(gè)月內(nèi)完成。而后續(xù)的10倍增益就趨于緩慢。

上圖中，價(jià)格（y軸）按對(duì)數(shù)比例縮放，而時(shí)間則不是（x軸）。讓我們來(lái)看一下，如果x軸也按照對(duì)數(shù)比例縮放會(huì)發(fā)生什么（在所謂的對(duì)數(shù)—對(duì)數(shù)圖中）：

現(xiàn)在的價(jià)格曲線看起來(lái)非常線性！

線性回歸

既然數(shù)據(jù)看上去如此線性，讓我們嘗試使用線性回歸。這個(gè)想法本身并不新鮮。我在reddit上也發(fā)現(xiàn)過(guò)嘗試這個(gè)方法的帖子。

綠線是線性回歸的結(jié)果。線性回歸給我們提供下列的冪律法則，以預(yù)測(cè)比特幣在特定日期的價(jià)格：

價(jià)格=10^（a + blog10（d））

其中a = -17.01593313，斜率 b = 5.84509376 ，d為2009年以來(lái)的天數(shù)。

注意：我們得到冪律，它是非線性的，因?yàn)槲覀冊(cè)趯?duì)數(shù)空間中進(jìn)行了線性回歸。

從視覺上看，效果很適合。它非常好地回溯到交易所最初上市時(shí)的價(jià)格。令人感興趣的是，reddit上的帖子是發(fā)表于一年前，結(jié)果至今還很相似。此外，確定系數(shù)很高：0.93139763，這給予我們另一個(gè)跡象表明，我們有個(gè)不錯(cuò)的模型擬合。

我們可以觀察確定系數(shù)是如何隨時(shí)間推移而演化的。令人驚訝的是，隨著時(shí)間的推移，模型傾向于更好地?cái)M合數(shù)據(jù)：

x軸代表用于線性回歸模型的數(shù)據(jù)點(diǎn)（天）的數(shù)量，而y軸代表對(duì)擬合程度的衡量。比特幣的價(jià)格越來(lái)越符合冪律法則。

讓我們稍微擴(kuò)展一下。如果我們移動(dòng)上述的擬合線低一些，但不改變斜率，我們發(fā)現(xiàn)支撐線似乎效果很好：除了2010年的一個(gè)實(shí)例，價(jià)格從來(lái)沒有突破這條線：

對(duì)比特幣價(jià)格似乎有一個(gè)基本的支撐，這在歷史上看，它遵循了冪律法則。

我們也可以嘗試僅對(duì)2011、2013、以及2017年三個(gè)峰值執(zhí)行線性回歸。有趣的是，這種擬合效果也很好：所有三個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都非常接近于線：

市場(chǎng)峰值似乎也遵循冪律。如果下一個(gè)市場(chǎng)頂部也遵循冪律，市場(chǎng)頂部將位于這條線上。這一冪律的斜率是5.02927337，而所有數(shù)據(jù)的擬合給予我們稍微更大的斜率5.84509376。

這表明，跟整體趨勢(shì)線相比，比特幣牛市相對(duì)容易控制。這可能是預(yù)期的。隨著市場(chǎng)成熟，訂單簿更有深度，人們可以預(yù)期波動(dòng)性會(huì)更低。

我們現(xiàn)在有兩個(gè)冪律：比特幣價(jià)格變化（較低的支撐線）、以及由三個(gè)市場(chǎng)頂部定義的較高線。

現(xiàn)在，讓我們來(lái)看看哪個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)最適合模型。我們將使用隨機(jī)樣本共識(shí)（RANSAC），它是去除離散值的迭代形式：首先，線性回歸在所有數(shù)據(jù)點(diǎn)上執(zhí)行。然后，去除那些跟數(shù)據(jù)最不符合的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并再次執(zhí)行線性回歸。當(dāng)50%的數(shù)據(jù)點(diǎn)被移除時(shí)，我們停止。該圖顯示結(jié)果：

此圖中突出顯示了由RANSAC選擇的數(shù)據(jù)點(diǎn)。似乎有兩組數(shù)據(jù)點(diǎn)：由RANSAC選擇的數(shù)據(jù)點(diǎn)非常接近于模型擬合。在不是由RANSAC選擇的數(shù)據(jù)點(diǎn)組中，這些值幾乎都高于模型擬合。實(shí)際上，其中有一些比模型擬合更高。這些數(shù)據(jù)點(diǎn)大多數(shù)發(fā)生在牛市中。比特幣價(jià)格似乎遵循兩種模式：

· 正常模式

在此期間的價(jià)格由冪律很好地定義。

· 牛市模式

在此期間，價(jià)格可能遠(yuǎn)高于正常模式，并且其間價(jià)格波動(dòng)更大。

價(jià)格在這兩種模式中的每一種中花費(fèi)同等的時(shí)間。

最后，讓我們將所有上述的模型擬合組合成一個(gè)圖：

我們看到，使用所有數(shù)據(jù)的擬合與RANSAC的結(jié)果有很高相似度的斜率，但偏移略有不同。這是因?yàn)榕Ｊ袃r(jià)格的大多數(shù)都被當(dāng)成離散值被RANSAC（隨機(jī)樣本共識(shí)）排除在外。

模型預(yù)測(cè)

我們現(xiàn)在有各種模型來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的比特幣價(jià)格。我們所要做的是擴(kuò)展此圖表：

該模型預(yù)測(cè)，價(jià)格將在紅色支撐線和藍(lán)色頂部線之間移動(dòng)。紫色的穩(wěn)健擬合/RANSAC線定義“正常模式”的中心。過(guò)去兩次減半以及預(yù)計(jì)未來(lái)的減半都由黑色垂直線標(biāo)記。

我們可以進(jìn)一步將這個(gè)走廊劃分為兩個(gè)帶，一個(gè)對(duì)應(yīng)“正常”模式，一個(gè)對(duì)應(yīng)“牛市”模式。迄今為止，價(jià)格已經(jīng)在較低的“正常模式”帶花費(fèi)了一半時(shí)間，而其余時(shí)間則在較高的“牛市模式”帶中。

解讀

這種冪律模型預(yù)測(cè)比特幣價(jià)格是持續(xù)但緩慢地增長(zhǎng)。它還預(yù)測(cè)未來(lái)會(huì)出現(xiàn)減少的但仍然很大的波動(dòng)。它預(yù)測(cè)價(jià)格在2021年前無(wú)法達(dá)到10萬(wàn)美元，但它也預(yù)測(cè)價(jià)格在2028年后不會(huì)低于10萬(wàn)美元。

它預(yù)測(cè)價(jià)格不會(huì)在2028年前達(dá)到100萬(wàn)美元，但它預(yù)測(cè)價(jià)格在2037年后不會(huì)低于100萬(wàn)美元。該模型預(yù)測(cè)價(jià)格會(huì)不斷上漲，盡管上漲速度越來(lái)越慢。

跟其他的預(yù)測(cè)相比，這些預(yù)測(cè)似乎在一定程度上走的是中間道路。根據(jù)這個(gè)模型，McAfee的著名預(yù)測(cè)過(guò)于樂觀。

價(jià)格走廊很寬泛的事實(shí)和增長(zhǎng)率趨緩的事實(shí)相結(jié)合，它意味著不幸運(yùn)的投資者在安全收回初始投資之前必須等待越來(lái)越長(zhǎng)的時(shí)間。例如，在2011年泡沫峰值購(gòu)買比特幣的投資者只需要等待2年，也就是2013年實(shí)現(xiàn)永久解套。

然而，在2013年泡沫峰值購(gòu)買比特幣的投資者，需要等待4年時(shí)間，也就是直到2017年，才實(shí)現(xiàn)永久解套（從價(jià)格中解套，并保持在該最高價(jià)格之上）。該模型預(yù)測(cè)，2017年泡沫峰值購(gòu)買比特幣的用戶，需要等待6年時(shí)間，也就是2023年底，才能完全解套。

到目前為止，每個(gè)為期四年的減半期都有泡沫，每次價(jià)格都會(huì)被下個(gè)周期的泡沫所超越。由于增長(zhǎng)趨緩和走廊的寬泛，這不能保證未來(lái)也會(huì)持續(xù)出現(xiàn)相同的情況。例如該模型允許如下場(chǎng)景：

· 在2022年初的價(jià)格為15萬(wàn)美元，這是下一個(gè)和第四個(gè)四年周期。

· 價(jià)格低于15萬(wàn)美元，直到2028年中期，即第六個(gè)四年期間。

這種情況會(huì)給予比特幣的批評(píng)者們提供彈藥，但只要做好準(zhǔn)備，這不會(huì)是特別讓人擔(dān)憂的。

為什么比特幣遵循冪律法則，我們應(yīng)該期待它會(huì)一直持續(xù)嗎？關(guān)于比特幣遵循冪律法則的觀察無(wú)疑是自組織的。此外，除了時(shí)間之外，還有其他因素也會(huì)影響比特幣的價(jià)格，例如稀缺性。

然而，比特幣的稀缺性是程序設(shè)計(jì)的，也是基于時(shí)間的?；跁r(shí)間的簡(jiǎn)單模型在未來(lái)持續(xù)發(fā)揮作用并非不可信。就對(duì)數(shù)—對(duì)數(shù)圖中衡量而言，冪律擬合運(yùn)作越來(lái)越好的事實(shí)表明這可能確實(shí)成立。

結(jié)論

本文中，我們提出了簡(jiǎn)單的基于時(shí)間的方程來(lái)模擬比特幣的價(jià)格。值得注意的是，該方程式很簡(jiǎn)單，使用時(shí)間作為唯一變量，但是，在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)效果良好。

這個(gè)模型并不試圖預(yù)測(cè)牛市，但這似乎是定期發(fā)生的。然而，預(yù)計(jì)牛市將落在這個(gè)模式的走廊范圍中。

? ? ? ?來(lái)源： 藍(lán)狐筆記?