本文想借此表達(dá)一下個(gè)人的一個(gè)觀點(diǎn)，做開發(fā)如果遇到無法解決的難題，可以試著從數(shù)序的角度出發(fā)，看能否找到答案。

注：文中配圖只為閱讀輕松一點(diǎn)，本人數(shù)學(xué)也是半吊子，有錯(cuò)誤幫忙指正。

是個(gè)啥坑？

一個(gè)項(xiàng)目中用到一個(gè)傳感器測(cè)量一物理量，這里假定測(cè)量溫度吧。需要判斷其變化趨勢(shì)，利用這個(gè)變化趨勢(shì)去做一些應(yīng)用。

那么要怎么判斷一個(gè)物理量的變化趨勢(shì)呢？我們能自然能想到去求取該隨機(jī)序列的變化率。這里涉及到一些數(shù)序定義。隨機(jī)序列有很多可能的來源，最為常見是我之前在<<模數(shù)轉(zhuǎn)換知多少>>中介紹的模數(shù)采樣。

這樣將S(t)信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散信號(hào)序列S(n)，那么對(duì)于當(dāng)前時(shí)刻其斜率怎么求取呢？(這里忽略中間的過度態(tài)，僅將其看為線段相連，當(dāng)然現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中如果有更高要求，可以做曲線擬合)

但是如果只判斷，斜率極容易誤判，比如下面這樣的情況：

函數(shù)的凹凸性

凹函數(shù)

凹函數(shù)是一個(gè)定義在某個(gè)向量空間的凸集C（區(qū)間）上的實(shí)值函數(shù)f。設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1<x2和任意的實(shí)數(shù)t屬于(0,1),總有,

則稱函數(shù)f為l上凹函數(shù)，有的書上也稱為下凸函數(shù)。

如果把上述條件中的“≥”改成“>”，則叫做嚴(yán)格上凹函數(shù)，或叫做嚴(yán)格下凸函數(shù)。

上面是一維函數(shù)情況，這里來個(gè)2維函數(shù)的圖，剛方便理解

凸函數(shù)

設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1<x2和任意的實(shí)數(shù)t屬于(0,1)，上面不等式變成大于等于，則在該區(qū)間為凸函數(shù)。

可見，凹凸是相對(duì)的，如f(x)在某區(qū)間為凹，則-f(x)則在該區(qū)間為凸。

性質(zhì)

• 若一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間二階可導(dǎo)且大于0，則函數(shù)在該區(qū)間為凹函數(shù)
• 若一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間二階可導(dǎo)且小于0，則函數(shù)在該區(qū)間為凸函數(shù)

證明，這里就不推導(dǎo)了，可以利用拉格朗日中值定理可以推導(dǎo)出上面這個(gè)性質(zhì)。

來看一下會(huì)動(dòng)的圖,加深一下理解:

函數(shù) 從 到 切線為藍(lán)色，曲線向上凹,綠色表示曲線是向下凹的，紅色表示曲線的拐點(diǎn)。

sin(2x)的一階導(dǎo)數(shù)為：

sin(2x)的二階導(dǎo)數(shù)為：

裝逼結(jié)束，也可能沒裝對(duì)～～～

回到坑里

通過上面裝逼，是否可以利用離散序列的求導(dǎo)數(shù)來判斷傳感器的變化趨勢(shì)。啥？導(dǎo)數(shù)？又要開始表演了？

前面說了一階導(dǎo)數(shù)是這樣的：

那么二階導(dǎo)數(shù)是哪樣捏？

化簡(jiǎn)一下：

其中S[n]表示當(dāng)前測(cè)量點(diǎn)，S[n-1]表示前一個(gè)測(cè)量點(diǎn)，S[n-2]表示前第2個(gè)測(cè)量點(diǎn)。

上代碼

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
typedef struct _T_2ND_DRV
{
    float xn1;
    float xn2;
}t_2ND_DRV;
typedef struct _T_1ST_DRV
{
    float xn1;
}t_1ST_DRV;

void init_second_derivative(t_2ND_DRV *pSndDrv)
{
    pSndDrv->xn1 = 0;
    pSndDrv->xn2 = 0;
}

float second_derivative(t_2ND_DRV *pSndDrv, float xn,float T)
{
     float result=0.0f;
     if(T<=0)
         return 0x7FBFFFFF; /*非法數(shù)據(jù)*/
     result = (xn-2*pSndDrv->xn1-pSndDrv->xn2)/T/T;
     pSndDrv->xn2 = pSndDrv->xn1;
     pSndDrv->xn1 = xn;
    
     return result;
}

void init_fisrt_derivative(t_1ST_DRV *p1stDrv)
{
    p1stDrv->xn1 = 0;
}

float fisrt_derivative(t_1ST_DRV *p1stDrv, float xn,float T)
{
     float result=0.0f;
     if(T<=0)
         return 0x7FBFFFFF; /*非法數(shù)據(jù)*/
     result = (xn-p1stDrv->xn1)/T; 
     p1stDrv->xn1 = xn;
    
     return result;
}
#define PI 3.1415f
#define SAMPLE_RATE 500.0f
#define SAMPLE_T (1/SAMPLE_RATE)
#define SAMPLE_SIZE (100)
int main()
{
    float sim1[SAMPLE_SIZE];
    float sim2[SAMPLE_SIZE];
    float out1[SAMPLE_SIZE];
    float out2[SAMPLE_SIZE];
    t_2ND_DRV sndDrv;
    t_1ST_DRV frtDrv;
    init_fisrt_derivative(&frtDrv);
    init_second_derivative(&sndDrv);
    
    FILE *pFile=fopen("./simulationSin.csv","wt+");
    if(pFile==NULL)
    {
        printf("simulationSin.csv opened failed");
        return -1;
    }
    
    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        sim1[i]=10*sin(2*PI*10*i/500);
    } 
    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        out1[i]=fisrt_derivative(&frtDrv,sim1[i],SAMPLE_T);
        out2[i]=second_derivative(&sndDrv,sim1[i],SAMPLE_T);
        fprintf(pFile,"%f,%f,%f\n",sim1[i],out1[i],out2[i]);
    }

    fclose(pFile);

    return 0;
}

利用excel生成曲線：

• 一階導(dǎo)數(shù)為正時(shí)，函數(shù)遞增趨勢(shì)；
• 一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)時(shí)，函數(shù)遞減趨勢(shì)；
• 二階導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，出現(xiàn)拐點(diǎn)，趨勢(shì)改變；此時(shí)如果左右兩側(cè)的一階導(dǎo)符號(hào)相反，則出現(xiàn)極值。
• 二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)時(shí)，其一階導(dǎo)數(shù)也即原函數(shù)斜率規(guī)律單調(diào)減，二階導(dǎo)數(shù)為正時(shí)，其一階導(dǎo)數(shù)也即原函數(shù)斜率規(guī)律單調(diào)增。

再進(jìn)一步：

一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來看，就可以看出測(cè)量值變化趨勢(shì)的趨勢(shì)，比如在前1/4周期，此區(qū)間變換趨勢(shì)為增，也即一階導(dǎo)數(shù)為正，而其二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，也可以看出遞增的趨勢(shì)是逐漸減小到0的。

代碼優(yōu)化

如果只是做定性判斷，上述函數(shù)，完全沒必要與采樣周期做除法，只需要考察其增量即可，代碼可優(yōu)化如下：

typedef struct _T_2ND_DRV
{
    float xn1;
    float xn2;
}t_2ND_DRV;
typedef struct _T_1ST_DRV
{
    float xn1;
}t_1ST_DRV;

void init_second_derivative(t_2ND_DRV *pSndDrv)
{
    pSndDrv->xn1 = 0;
    pSndDrv->xn2 = 0;
}

float second_derivative(t_2ND_DRV *pSndDrv, float xn)
{
     float result=0.0f;
     result = xn-2*pSndDrv->xn1-pSndDrv->xn2;
     pSndDrv->xn2 = pSndDrv->xn1;
     pSndDrv->xn1 = xn;
    
     return result;
}

void init_fisrt_derivative(t_1ST_DRV *p1stDrv)
{
    p1stDrv->xn1 = 0;
}

float fisrt_derivative(t_1ST_DRV *p1stDrv, float xn)
{
     float result=0.0f;
     result = xn-p1stDrv->xn1; 
     p1stDrv->xn1 = xn;
    
     return result;
}

意外收獲

這里意外引入一個(gè)可能很多人沒注意的知識(shí)點(diǎn)NaN，在計(jì)算中，NaN代表非數(shù)字，是數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)類型的成員，可以將其解釋為不確定的或無法表示的值，尤其是在浮點(diǎn)運(yùn)算中。1985年，IEEE 754浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)引入了NaN的系統(tǒng)使用，并表示了其他無限量（如無窮大）。

前述函數(shù)返回0x7FBFFFFF,也就是表示無窮大。

不同的操作系統(tǒng)和編程語言可能具有NaN的不同字符串表示形式：

nan
 NaN
 NaN%
 NAN
 NaNQ
 NaNS
 qNaN
 sNaN
 1.#SNAN
 1.#QNAN
 -1.#IND

實(shí)際上，由于編碼的NaN具有符號(hào)，因此通常也可以在NaN的字符串表示中找到它們，例如：

 -NaN
  NaN12345
 -sNaN12300
 -NaN(s1234)

工程應(yīng)用

這里給出我的建議方案：

將傳感器信號(hào)經(jīng)由電路處理，模數(shù)采樣，在進(jìn)入前級(jí)數(shù)字濾波器，濾除不必要的噪聲，在進(jìn)行一階/二階求導(dǎo)。對(duì)于一階和二階求導(dǎo)再做一級(jí)移動(dòng)平均濾波，最后在按照上面描述進(jìn)行判別變化趨勢(shì)，則個(gè)人認(rèn)為基本就比較健壯了。實(shí)際移動(dòng)均值濾波長度不宜選擇過長，否則響應(yīng)就比較滯后了。不能對(duì)傳感器的變化趨勢(shì)做出實(shí)時(shí)的判別。加了后級(jí)均值濾波器，則會(huì)消除由于波形忽上忽下的隨機(jī)噪聲干擾影響，使得系統(tǒng)判別更為健壯，實(shí)際濾波器長度需根據(jù)不同的場(chǎng)合進(jìn)行調(diào)試優(yōu)化。或者也可以選擇別的IIR/FIR濾波器形式實(shí)現(xiàn)。

-END-