數(shù)學(xué)之美：判定兩個隨機信號序列的相似度

什么是互相關(guān)函數(shù)？

在統(tǒng)計學(xué)中，相關(guān)是描述兩個隨機變量序列或二元數(shù)據(jù)之間的統(tǒng)計關(guān)系，無論是否具有因果關(guān)系。廣義上講，相關(guān)性是統(tǒng)計上的關(guān)聯(lián)程度，它通常指的是兩個變量的線性相關(guān)的程度。比如商品的價格和消費者購買愿意數(shù)量之間的關(guān)系，也即所謂的需求曲線。

相關(guān)性是有用的，因為它們可以描述一種可在實踐中加以利用的預(yù)測作用。例如，根據(jù)電力需求和天氣之間的相關(guān)性，電力公司可能會在天氣涼快時候生產(chǎn)更少的電力。在這個例子中，有一定的因果關(guān)系存在，因為極端天氣導(dǎo)致人們使用更多的電力用于取暖或制冷。然而，一般而言，相關(guān)性的存在并不足以推斷出因果關(guān)系的存在，也就是說相關(guān)性并不意味著因果關(guān)系。

那么，互相關(guān)函數(shù)就是描述在連續(xù)信號或離散序列的相關(guān)程度的一種統(tǒng)計度量。

什么是相關(guān)系數(shù)？

最熟悉的度量兩個量之間的相關(guān)性的方法是皮爾遜乘積矩相關(guān)系數(shù)(PPMCC)，也稱為“皮爾遜相關(guān)系數(shù)”，通常簡稱為“相關(guān)系數(shù)”。在數(shù)學(xué)上，它被定義為對原始數(shù)據(jù)的最小二乘擬合的質(zhì)量（擬合程度或效果）。它是由數(shù)據(jù)集兩個變量的協(xié)方差的比率，歸一化到他們的方差的平方根得到的。數(shù)學(xué)上，兩個變量的協(xié)方差除以標(biāo)準(zhǔn)差的乘積。

皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)試圖通過兩個隨機序列的數(shù)據(jù)集建立一條最佳擬合曲線，實質(zhì)上是通過列出期望和由此產(chǎn)生的皮爾遜相關(guān)系數(shù)表明實際數(shù)據(jù)集離預(yù)期值有多遠(yuǎn)。根據(jù)皮爾遜相關(guān)系數(shù)的符號，如果數(shù)據(jù)集的變量之間存在某種關(guān)系，可以得到負(fù)相關(guān)或正相關(guān)。

為了方便理解，本文就不考察延遲節(jié)拍了。

相關(guān)系數(shù)有啥用？

皮爾遜相關(guān)系數(shù)的絕對值不大于1是Cauchy–Schwarz不等式的推論（有興趣的可以去找書看看）。因此，相關(guān)系數(shù)的值在[-1,1]之間。在理想的增加線性相關(guān)關(guān)系情況下，相關(guān)系數(shù)為+1；在理想的減少（反相關(guān)）線性關(guān)系情況下，相關(guān)系數(shù)為-1；在所有其他取值情況下，表示變量之間的線性相關(guān)程度。當(dāng)它接近零時，更接近于不相關(guān)。系數(shù)越接近-1或1，變量之間的相關(guān)性越強。

故，相關(guān)系數(shù)其值范圍分布在區(qū)間[-1,1]：

• 1表示完全正相關(guān)
• 0表示不相關(guān)
• -1表示完全負(fù)相關(guān)

為了方便理解，假定兩個隨機序列按照下面各類情況分布，下面的數(shù)字為相關(guān)系數(shù)：

程序如何實現(xiàn)呢？

上述公式在實際編程時，當(dāng)然可以直接按照公式編制代碼，如果仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)該公式可以進一步簡化，過程省略。

由這個公式就很容易編程了，干貨在這里，可以拿去稍加改造即可使用:

#include  #include  /* 返回值在區(qū)間： [-1,1]          */ /* 如返回-10，則證明輸入?yún)?shù)無效    */ #define delta 0.0001f double calculate_corss_correlation(double *s1, double *s2,int n) { double sum_s12 = 0.0; double sum_s1  = 0.0; double sum_s2  = 0.0; double sum_s1s1 = 0.0; //s1^2 double sum_s2s2 = 0.0; //s2^2 double pxy = 0.0; double temp1 = 0.0; double temp2 = 0.0; if( s1==NULL || s2==NULL || n<=0) return -10; for(int i=0;i/* 分母不可為0 */ if( (temp1>-delta && temp1-delta && temp20) )
    { return -10;  
    }       
    
    pxy = (n*sum_s12-sum_s1*sum_s2)/sqrt(temp1*temp2); return pxy;
} double s1[30] = { 0.309016989,0.587785244,0.809016985,0.95105651,1,0.951056526, 0.809017016,0.587785287,0.30901704,5.35898E-08,0,0, 0,0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0,0 }; double s2[30] = { 0.343282816,0.686491368,0.874624132,0.99459642,1.008448609, 1.014252458,0.884609221,0.677632906,0.378334666,0.077878732, 0.050711886,0.066417083,0.088759401,0.005440732,0.04225661, 0.035349939,0.0631196,0.007566056,0.053183895,0.073143706, 0.080285063,0.030110227,0.044781145,0.01875573,0.08373928, 0.04550342,0.038880858,0.040611891,0.046116826,0.087670453 }; int main(void) { double pxy; double s3[30];

    pxy = calculate_corss_correlation(s1,s2,30); printf("pxy of s1 and s2:%f\n",pxy);  
    
    pxy = calculate_corss_correlation(s1,s1,30); printf("pxy of s1 and s1:%f\n",pxy); for(int i=0;i-1*s1[i];
    }
    pxy = calculate_corss_correlation(s1,s3,30); printf("pxy of s1 and s3:%f\n",pxy); return 0;
}

運行結(jié)果為：

pxy of s1 and s2:0.997435 pxy of s1 and s1:1.000000 pxy of s1 and s1:-1.000000 

將這三個信號繪制成波形來看看：

由圖看出：

• S1與S2非常相似，其相關(guān)系數(shù)為0.997435，高度相似
• S1與-S1則剛好相位相反，理想反相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)為-1
• S1與S1則理所當(dāng)然是一樣的，其相關(guān)系數(shù)為1

再來一組信號對比一下：

其波形數(shù)據(jù)為：

double s1[30]={ 0.309016989,0.587785244,0.809016985,0.95105651,1, 0.951056526,0.809017016,0.587785287,0.30901704,5.35898E-08, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0 }; double s6[30]={ 0,0,0.187381311,0.368124547,0.535826787, 0.684547097,0.809016985,0.904827044,0.968583156,0.998026727, 0.992114705,0.951056526,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0 }; double s7[30]={ 0.187381311,0.368124547,0.535826787,0.684547097,0.809016985, 0.904827044,0.968583156,0.998026727,0.992114705,0.951056526, 0.876306697,0.770513267,0.637424022,0.481753714,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0 };

利用上述代碼計算S1與S6,S1與S7的相關(guān)系數(shù)：

pxy of s1 and s6:0.402428 pxy of s1 and s7:0.612618 

可見，S6、S7與S1的相關(guān)系數(shù)越來越大，從波形上看相似度也越來越大。

總結(jié)一下

通過相關(guān)系數(shù)可以比較完美的判斷兩個信號序列，或者兩個隨機變量之間的相似度。相關(guān)系數(shù)以及互相關(guān)函數(shù)應(yīng)用很廣，本文僅僅描述了一個工程上應(yīng)用較多的實際栗子。事實上，該數(shù)學(xué)特性有著廣泛的應(yīng)用，有興趣的可以深度學(xué)習(xí)探討一下。

本文授權(quán)轉(zhuǎn)載自公眾號“嵌入式客?！?/span>，作者逸珺

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