浮點(diǎn)數(shù)的秘密

1 前言

我們在學(xué)習(xí) C 語言時，通常認(rèn)為浮點(diǎn)數(shù)和小數(shù)是等價的，并沒有嚴(yán)格區(qū)分它們的概念，這也并沒有影響到我們的學(xué)習(xí)，原因就是浮點(diǎn)數(shù)和小數(shù)是綁定在一起的，只有小數(shù)才使用浮點(diǎn)格式來存儲。

其實(shí)，整數(shù)和小數(shù)可以都使用定點(diǎn)格式來存儲，也可以都使用浮點(diǎn)格式來存儲，但實(shí)際情況卻是，C 語言使用定點(diǎn)格式存儲整數(shù)，使用浮點(diǎn)格式存儲小數(shù)，這是在 “數(shù)值范圍” 和 “數(shù)值精度” 兩項重要指標(biāo)之間追求平衡的結(jié)果。

2 什么是浮點(diǎn)數(shù)？

浮點(diǎn)型簡單講就是實(shí)數(shù)的意思。浮點(diǎn)數(shù)在計算機(jī)中用以近似表示任意某個實(shí)數(shù)。具體的說，這個實(shí)數(shù)由一個整數(shù)或定點(diǎn)數(shù)（即尾數(shù)）乘以某個基數(shù)（計算機(jī)中通常是 2）的整數(shù)次冪得到，這種表示方法類似于基數(shù)為 10 的科學(xué)記數(shù)法。

3 浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中的存儲

首先明確一點(diǎn)，無論是整型、浮點(diǎn)型還是字符等等數(shù)據(jù)類型在計算機(jī)底層都是以二進(jìn)制的方式存儲的。

浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中的存儲和整數(shù)不同，因為整數(shù)都可以轉(zhuǎn)換為一一對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)據(jù)。而浮點(diǎn)數(shù)的存儲是由符號位 (sign) + 指數(shù)位 (exponent) + 小數(shù)位 (fraction) 組成。

int 和 float 同樣占據(jù)四個字節(jié)的內(nèi)存，但是 float 所能表示的最大值比 int 大得多，其根本原因是浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中是以指數(shù)的方式存儲。

浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換到內(nèi)存中存儲的步驟分為如下三步：

• 將浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制
• 用科學(xué)計數(shù)法表示二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)
• 計算指數(shù)偏移后的值

對于第3點(diǎn)：計算指數(shù)時需要加上偏移量（后面有介紹為什么使用偏移量），而偏移量的值與浮點(diǎn)數(shù)的類型有關(guān)( float 偏移量值為 127 ，double 偏移量值為 1023)。比方對于指數(shù) 6，float 與 double 類型偏移后的值分別為：

• float : 127 + 6 = 133
• double：1023 + 6 = 1029

4 實(shí)例

浮點(diǎn)數(shù)19.625用float是如何存儲的：

• 將浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制：10011.101（將 19.625 整數(shù)部分采用除 2 取余，小數(shù)部分采用乘 2 取整法）；
• 用科學(xué)計數(shù)法表示二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)： 1.0011101*2^4；
• 計算指數(shù)偏移后的值：127 + 4 = 131 ?（10000011）；
• 拼接綜上所述，float 類型的 19.625 在內(nèi)存中的值為：0 - 10000011 - 001 1101 0000 0000 0000 0000。

5 float與double范圍和精度

范圍

float和double的范圍是由指數(shù)的位數(shù)來決定的。（因為表示的時候都是1.x * 2^Y的形式，所以忽略了1.x的效果，直接取指數(shù)表示浮點(diǎn)數(shù)的范圍）

• float：

1bit（符號位） 8bits（指數(shù)位） 23bits（尾數(shù)位）

• double：

1bit（符號位） 11bits（指數(shù)位） 52bits（尾數(shù)位）

于是，float的指數(shù)范圍為-127~+128，而double的指數(shù)范圍為-1023~+1024，并且指數(shù)位是按補(bǔ)碼的形式來劃分的。

其中負(fù)指數(shù)決定了浮點(diǎn)數(shù)所能表達(dá)的絕對值最小的非零數(shù)；而正指數(shù)決定了浮點(diǎn)數(shù)所能表達(dá)的絕對值最大的數(shù)，也即決定了浮點(diǎn)數(shù)的取值范圍。

float的范圍為-2^128 ~ +2^128，也即-3.40E+38 ~ +3.40E+38；

double的范圍為-2^1024 ~ +2^1024，也即-1.79E+308 ~ +1.79E+308。

精度

float和double的精度是由尾數(shù)的位數(shù)來決定的，尾數(shù)越多能表示的小數(shù)點(diǎn)后面有效數(shù)字就越多，因此精度就越高。浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中是按科學(xué)計數(shù)法來存儲的，其整數(shù)部分始終是一個隱含著的“1”，由于它是不變的，故不能對精度造成影響。

float：2^23 = 8388608，一共七位，這意味著最多能有 7 位有效數(shù)字，但絕對能保證的為 6 位，也即float的精度為 6~7 位有效數(shù)字；

double：2^52 = 4503599627370496，一共 16 位，同理，double的精度為 15~16 位。

6 解剖：為什么要用偏移量的方式來計算指數(shù)？

如果不采用偏移量的方式：

8 位 2 進(jìn)制數(shù)表示的有符號數(shù)范圍有兩個區(qū)間：0000 0000~0111 1111和1000 0000~1111 1111，分別為0~+127和-127~0。

大家看到這里的問題了吧，有兩個 0 ，一個正 0 和一個負(fù) 0。

如果采用偏移量的方式：

127 轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制是：0111 1111

那么

• 當(dāng)我們要表示 -127，則有 127-127即 0111 1111 - 0111 1111 = 0000 0000
• 當(dāng)我們要表示 -126，則有 127-126即 0111 1111 - 0111 1110 = 0000 0001
• 當(dāng)我們要表示 -2，則有 127-2即 0111 1111 - 0000 0010 = 0111 1101
• 當(dāng)我們要表示 -1，則有 127-1即 0111 1111 - 0000 0001 = 0111 1110
• 當(dāng)我們要表示 0，則有 0+127即 0000 0000 + 0111 1111 = 0111 1111
• 當(dāng)我們要表示 1，則有 1+127即 0000 0001 + 0111 1111 = 1000 0000
• 當(dāng)我們要表示 2，則有 1+127即 0000 0010 + 0111 1111 = 1000 0001

當(dāng)我們要表示128，則有128+127即1000 0000 + 0111 1111 = 1111 1111

由上面的例子，我們可以得出規(guī)律，采用移位存儲技術(shù)，我們可以使用 8 位二進(jìn)制來表示從-127~+128共計 127 個負(fù)數(shù)+零（0）+ 128 個正數(shù)總共 256 個數(shù)，看來使用移位存儲既沒有 +0 和 -0 的問題，又能充分使用新生成的8位二進(jìn)制數(shù)最大限度的表示單精度浮點(diǎn)數(shù)的冪指數(shù)，是非常合理的。

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