一個(gè)關(guān)于卷積的“血腥”例子

作為一名苦逼工科生，《信號(hào)與系統(tǒng)》+《數(shù)字信號(hào)處理》是繞不過(guò)去的坎，各種讓人頭疼的概念與數(shù)學(xué)公式：傅里葉變化、拉普拉斯變化、Z變換、卷積、循環(huán)卷積、自相關(guān)、互相關(guān)、離散傅里葉變化、離散傅里葉時(shí)間變化……

在網(wǎng)上發(fā)現(xiàn)一個(gè)例子，生動(dòng)形象地解釋了卷積的物理意義，且解釋的較為準(zhǔn)確，下面，正文來(lái)了：

比如說(shuō)你的老板命令你干活，你卻到樓下打臺(tái)球去了，后來(lái)被老板發(fā)現(xiàn)，他非常氣憤，扇了你一巴掌（注意，這就是輸入信號(hào)，脈沖），于是你的臉上會(huì)漸漸地（賤賤地）鼓起來(lái)一個(gè)包，你的臉就是一個(gè)系統(tǒng)，而鼓起來(lái)的包就是你的臉對(duì)巴掌的響應(yīng)，好，這樣就和信號(hào)系統(tǒng)建立起來(lái)意義對(duì)應(yīng)的聯(lián)系。

下面還需要一些假設(shè)來(lái)保證論證的嚴(yán)謹(jǐn)：假定你的臉是線性時(shí)不變系統(tǒng)，也就是說(shuō)，無(wú)論什么時(shí)候老板打你一巴掌，打在你臉的同一位置（這似乎要求你的臉足夠光滑，如果你說(shuō)你長(zhǎng)了很多青春痘，甚至整個(gè)臉皮處處連續(xù)處處不可導(dǎo)，那難度太大了，我就無(wú)話可說(shuō)了哈哈），你的臉上總是會(huì)在相同的時(shí)間間隔內(nèi)鼓起來(lái)一個(gè)相同高度的包來(lái)，并且假定以鼓起來(lái)的包的大小作為系統(tǒng)輸出。好了，那么，下面可以進(jìn)入核心內(nèi)容——卷積了！

如果你每天都到地下去打臺(tái)球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不過(guò)當(dāng)老板打你一巴掌后，你5分鐘就消腫了，所以時(shí)間長(zhǎng)了，你甚至就適應(yīng)這種生活了……如果有一天，老板忍無(wú)可忍，以0.5秒的間隔開(kāi)始不間斷的扇你的過(guò)程，這樣問(wèn)題就來(lái)了，第一次扇你鼓起來(lái)的包還沒(méi)消腫，第二個(gè)巴掌就來(lái)了，你臉上的包就可能鼓起來(lái)兩倍高，老板不斷扇你，脈沖不斷作用在你臉上，效果不斷疊加了，這樣這些效果就可以求和了，結(jié)果就是你臉上的包的高度隨時(shí)間變化的一個(gè)函數(shù)了（注意理解）；如果老板再狠一點(diǎn)，頻率越來(lái)越高，以至于你都辨別不清時(shí)間間隔了，那么，求和就變成積分了。

可以這樣理解，在這個(gè)過(guò)程中的某一固定的時(shí)刻，你的臉上的包的鼓起程度和什么有關(guān)呢？和之前每次打你都有關(guān)！但是各次的貢獻(xiàn)是不一樣的，越早打的巴掌，貢獻(xiàn)越小，所以這就是說(shuō)，某一時(shí)刻的輸出是之前很多次輸入乘以各自的衰減系數(shù)之后的疊加而形成某一點(diǎn)的輸出，然后再把不同時(shí)刻的輸出點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)函數(shù)，這就是卷積，卷積之后的函數(shù)就是你臉上的包的大小隨時(shí)間變化的函數(shù)。

本來(lái)你的包幾分鐘就可以消腫，可是如果連續(xù)打，幾個(gè)小時(shí)也消不了腫了，這難道不是一種平滑過(guò)程么？反映到劍橋大學(xué)的公式上，f(a)就是第a個(gè)巴掌，g(x-a)就是第a個(gè)巴掌在x時(shí)刻的作用程度，乘起來(lái)再疊加就ok了，大家說(shuō)是不是這個(gè)道理呢？我想這個(gè)例子已經(jīng)非常形象了，你對(duì)卷積有了更加具體深刻的了解了嗎？

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