通過(guò)一個(gè)故事告訴你：什么是卷積？

引子

很多朋友和我一樣，工科電子類專業(yè)，學(xué)了一堆信號(hào)方面的課，什么都沒(méi)學(xué)懂，背了公式考了試，然后畢業(yè)了。
先說(shuō)"卷積有什么用"這個(gè)問(wèn)題。(有人搶答，"卷積"是為了學(xué)習(xí)"信號(hào)與系統(tǒng)"這門課的后續(xù)章節(jié)而存在的。我大吼一聲，把他拖出去槍斃！)
講一個(gè)故事:
張三剛剛應(yīng)聘到了一個(gè)電子產(chǎn)品公司做測(cè)試人員，他沒(méi)有學(xué)過(guò)"信號(hào)與系統(tǒng)"這門課程。一天，他拿到了一個(gè)產(chǎn)品，開發(fā)人員告訴他，產(chǎn)品有一個(gè)輸入端，有一個(gè)輸出端，有限的輸入信號(hào)只會(huì)產(chǎn)生有限的輸出。
然后，經(jīng)理讓張三測(cè)試當(dāng)輸入sin(t)(t<1秒)信號(hào)的時(shí)候(有信號(hào)發(fā)生器)，該產(chǎn)品輸出什么樣的波形。張三照做了，畫了一個(gè)波形圖。
"很好！"經(jīng)理說(shuō)。然后經(jīng)理給了張三一疊A4紙: "這里有幾千種信號(hào)，都用公式說(shuō)明了，輸入信號(hào)的持續(xù)時(shí)間也是確定的。你分別測(cè)試一下我們產(chǎn)品的輸出波形是什么吧！"
這下張三懵了，他在心想"上帝，幫幫我吧，我怎么畫出這些波形圖呢?"
于是上帝出現(xiàn)了: "張三，你只要做一次測(cè)試，就能用數(shù)學(xué)的方法，畫出所有輸入波形對(duì)應(yīng)的輸出波形"。
上帝接著說(shuō):"給產(chǎn)品一個(gè)脈沖信號(hào)，能量是1焦耳，輸出的波形圖畫出來(lái)！"
張三照辦了，"然后呢?"
上帝又說(shuō)，"對(duì)于某個(gè)輸入波形，你想象把它微分成無(wú)數(shù)個(gè)小的脈沖，輸入給產(chǎn)品，疊加出來(lái)的結(jié)果就是你的輸出波形。你可以想象這些小脈沖排著隊(duì)進(jìn)入你的產(chǎn)品，每個(gè)產(chǎn)生一個(gè)小的輸出，你畫出時(shí)序圖的時(shí)候，輸入信號(hào)的波形好像是反過(guò)來(lái)進(jìn)入系統(tǒng)的。"
張三領(lǐng)悟了:" 哦，輸出的結(jié)果就積分出來(lái)啦！感謝上帝。這個(gè)方法叫什么名字呢?"
上帝說(shuō):"叫卷積！"
從此，張三的工作輕松多了。每次經(jīng)理讓他測(cè)試一些信號(hào)的輸出結(jié)果，張三都只需要在A4紙上做微積分就是提交任務(wù)了！
張三愉快地工作著，直到有一天，平靜的生活被打破。
經(jīng)理拿來(lái)了一個(gè)小的電子設(shè)備，接到示波器上面，對(duì)張三說(shuō): "看，這個(gè)小設(shè)備產(chǎn)生的波形根本沒(méi)法用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)說(shuō)明，而且，它連續(xù)不斷的發(fā)出信號(hào)！不過(guò)幸好，這個(gè)連續(xù)信號(hào)是每隔一段時(shí)間重復(fù)一次的。張三，你來(lái)測(cè)試一下，連到我們的設(shè)備上，會(huì)產(chǎn)生什么輸出波形！"
張三擺擺手:"輸入信號(hào)是無(wú)限時(shí)長(zhǎng)的，難道我要測(cè)試無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間才能得到一個(gè)穩(wěn)定的，重復(fù)的波形輸出嗎?"
經(jīng)理怒了:"反正你給我搞定，否則炒魷魚！"
張三心想:"這次輸入信號(hào)連公式都給出出來(lái)，一個(gè)很混亂的波形；時(shí)間又是無(wú)限長(zhǎng)的，卷積也不行了，怎么辦呢?"
及時(shí)地，上帝又出現(xiàn)了:"把混亂的時(shí)間域信號(hào)映射到另外一個(gè)數(shù)學(xué)域上面，計(jì)算完成以后再映射回來(lái)。"
"宇宙的每一個(gè)原子都在旋轉(zhuǎn)和震蕩，你可以把時(shí)間信號(hào)看成若干個(gè)震蕩疊加的效果，也就是若干個(gè)可以確定的，有固定頻率特性的東西。"
"我給你一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)f，時(shí)間域無(wú)限的輸入信號(hào)在f域有限的。時(shí)間域波形混亂的輸入信號(hào)在f域是整齊的容易看清楚的。這樣你就可以計(jì)算了。"
"同時(shí)，時(shí)間域的卷積在f域是簡(jiǎn)單的相乘關(guān)系，我可以證明給你看看。"
"計(jì)算完有限的程序以后，取f(-1)反變換回時(shí)間域，你就得到了一個(gè)輸出波形，剩下的就是你的數(shù)學(xué)計(jì)算了！"
張三謝過(guò)了上帝，保住了他的工作。后來(lái)他知道了，f域的變換有一個(gè)名字，叫做傅利葉，什么什么... ...
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再后來(lái)，公司開發(fā)了一種新的電子產(chǎn)品，輸出信號(hào)是無(wú)限時(shí)間長(zhǎng)度的。這次，張三開始學(xué)拉普拉斯了......
后記:
不是我們學(xué)的不好，是因?yàn)榻滩牟缓?，老師講的也不好。
很欣賞Google的面試題: 用3句話像老太太講清楚什么是數(shù)據(jù)庫(kù)。

這樣的命題非常好，因?yàn)闆](méi)有深入的理解一個(gè)命題，沒(méi)有仔細(xì)的思考一個(gè)東西的設(shè)計(jì)哲學(xué)，我們就會(huì)陷入細(xì)節(jié)的泥沼: 背公式，數(shù)學(xué)推導(dǎo)，積分，做題；而沒(méi)有時(shí)間來(lái)回答"為什么要這樣"。做大學(xué)老師的做不到"把厚書讀薄"這一點(diǎn)，講不出哲學(xué)層面的道理，一味背書和翻講 ppt，做著枯燥的數(shù)學(xué)證明，然后責(zé)怪"現(xiàn)在的學(xué)生一代不如一代"，有什么意義嗎?