通過一個故事告訴你：什么是卷積？

引子

很多朋友和我一樣，工科電子類專業(yè)，學了一堆信號方面的課，什么都沒學懂，背了公式考了試，然后畢業(yè)了。
先說"卷積有什么用"這個問題。(有人搶答，"卷積"是為了學習"信號與系統(tǒng)"這門課的后續(xù)章節(jié)而存在的。我大吼一聲，把他拖出去槍斃！)
講一個故事:
張三剛剛應聘到了一個電子產(chǎn)品公司做測試人員，他沒有學過"信號與系統(tǒng)"這門課程。一天，他拿到了一個產(chǎn)品，開發(fā)人員告訴他，產(chǎn)品有一個輸入端，有一個輸出端，有限的輸入信號只會產(chǎn)生有限的輸出。
然后，經(jīng)理讓張三測試當輸入sin(t)(t<1秒)信號的時候(有信號發(fā)生器)，該產(chǎn)品輸出什么樣的波形。張三照做了，畫了一個波形圖。
"很好！"經(jīng)理說。然后經(jīng)理給了張三一疊A4紙: "這里有幾千種信號，都用公式說明了，輸入信號的持續(xù)時間也是確定的。你分別測試一下我們產(chǎn)品的輸出波形是什么吧！"
這下張三懵了，他在心想"上帝，幫幫我吧，我怎么畫出這些波形圖呢?"
于是上帝出現(xiàn)了: "張三，你只要做一次測試，就能用數(shù)學的方法，畫出所有輸入波形對應的輸出波形"。
上帝接著說:"給產(chǎn)品一個脈沖信號，能量是1焦耳，輸出的波形圖畫出來！"
張三照辦了，"然后呢?"
上帝又說，"對于某個輸入波形，你想象把它微分成無數(shù)個小的脈沖，輸入給產(chǎn)品，疊加出來的結(jié)果就是你的輸出波形。你可以想象這些小脈沖排著隊進入你的產(chǎn)品，每個產(chǎn)生一個小的輸出，你畫出時序圖的時候，輸入信號的波形好像是反過來進入系統(tǒng)的。"
張三領(lǐng)悟了:" 哦，輸出的結(jié)果就積分出來啦！感謝上帝。這個方法叫什么名字呢?"
上帝說:"叫卷積！"
從此，張三的工作輕松多了。每次經(jīng)理讓他測試一些信號的輸出結(jié)果，張三都只需要在A4紙上做微積分就是提交任務了！
張三愉快地工作著，直到有一天，平靜的生活被打破。
經(jīng)理拿來了一個小的電子設(shè)備，接到示波器上面，對張三說: "看，這個小設(shè)備產(chǎn)生的波形根本沒法用一個簡單的函數(shù)來說明，而且，它連續(xù)不斷的發(fā)出信號！不過幸好，這個連續(xù)信號是每隔一段時間重復一次的。張三，你來測試一下，連到我們的設(shè)備上，會產(chǎn)生什么輸出波形！"
張三擺擺手:"輸入信號是無限時長的，難道我要測試無限長的時間才能得到一個穩(wěn)定的，重復的波形輸出嗎?"
經(jīng)理怒了:"反正你給我搞定，否則炒魷魚！"
張三心想:"這次輸入信號連公式都給出出來，一個很混亂的波形；時間又是無限長的，卷積也不行了，怎么辦呢?"
及時地，上帝又出現(xiàn)了:"把混亂的時間域信號映射到另外一個數(shù)學域上面，計算完成以后再映射回來。"
"宇宙的每一個原子都在旋轉(zhuǎn)和震蕩，你可以把時間信號看成若干個震蕩疊加的效果，也就是若干個可以確定的，有固定頻率特性的東西。"
"我給你一個數(shù)學函數(shù)f，時間域無限的輸入信號在f域有限的。時間域波形混亂的輸入信號在f域是整齊的容易看清楚的。這樣你就可以計算了。"
"同時，時間域的卷積在f域是簡單的相乘關(guān)系，我可以證明給你看看。"
"計算完有限的程序以后，取f(-1)反變換回時間域，你就得到了一個輸出波形，剩下的就是你的數(shù)學計算了！"
張三謝過了上帝，保住了他的工作。后來他知道了，f域的變換有一個名字，叫做傅利葉，什么什么... ...
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再后來，公司開發(fā)了一種新的電子產(chǎn)品，輸出信號是無限時間長度的。這次，張三開始學拉普拉斯了......
后記:
不是我們學的不好，是因為教材不好，老師講的也不好。
很欣賞Google的面試題: 用3句話像老太太講清楚什么是數(shù)據(jù)庫。

這樣的命題非常好，因為沒有深入的理解一個命題，沒有仔細的思考一個東西的設(shè)計哲學，我們就會陷入細節(jié)的泥沼: 背公式，數(shù)學推導，積分，做題；而沒有時間來回答"為什么要這樣"。做大學老師的做不到"把厚書讀薄"這一點，講不出哲學層面的道理，一味背書和翻講 ppt，做著枯燥的數(shù)學證明，然后責怪"現(xiàn)在的學生一代不如一代"，有什么意義嗎?