通過(guò)一個(gè)故事告訴你:什么是卷積?
引子
很多朋友和我一樣,工科電子類專業(yè),學(xué)了一堆信號(hào)方面的課,什么都沒(méi)學(xué)懂,背了公式考了試,然后畢業(yè)了。
先說(shuō)"卷積有什么用"這個(gè)問(wèn)題。(有人搶答,"卷積"是為了學(xué)習(xí)"信號(hào)與系統(tǒng)"這門課的后續(xù)章節(jié)而存在的。我大吼一聲,把他拖出去槍斃!)
講一個(gè)故事:
張三剛剛應(yīng)聘到了一個(gè)電子產(chǎn)品公司做測(cè)試人員,他沒(méi)有學(xué)過(guò)"信號(hào)與系統(tǒng)"這門課程。一天,他拿到了一個(gè)產(chǎn)品,開發(fā)人員告訴他,產(chǎn)品有一個(gè)輸入端,有一個(gè)輸出端,有限的輸入信號(hào)只會(huì)產(chǎn)生有限的輸出。
然后,經(jīng)理讓張三測(cè)試當(dāng)輸入sin(t)(t<1秒)信號(hào)的時(shí)候(有信號(hào)發(fā)生器),該產(chǎn)品輸出什么樣的波形。張三照做了,畫了一個(gè)波形圖。
"很好!"經(jīng)理說(shuō)。然后經(jīng)理給了張三一疊A4紙: "這里有幾千種信號(hào),都用公式說(shuō)明了,輸入信號(hào)的持續(xù)時(shí)間也是確定的。你分別測(cè)試一下我們產(chǎn)品的輸出波形是什么吧!"
這下張三懵了,他在心想"上帝,幫幫我吧,我怎么畫出這些波形圖呢?"
于是上帝出現(xiàn)了: "張三,你只要做一次測(cè)試,就能用數(shù)學(xué)的方法,畫出所有輸入波形對(duì)應(yīng)的輸出波形"。
上帝接著說(shuō):"給產(chǎn)品一個(gè)脈沖信號(hào),能量是1焦耳,輸出的波形圖畫出來(lái)!"
張三照辦了,"然后呢?"
上帝又說(shuō),"對(duì)于某個(gè)輸入波形,你想象把它微分成無(wú)數(shù)個(gè)小的脈沖,輸入給產(chǎn)品,疊加出來(lái)的結(jié)果就是你的輸出波形。你可以想象這些小脈沖排著隊(duì)進(jìn)入你的產(chǎn)品,每個(gè)產(chǎn)生一個(gè)小的輸出,你畫出時(shí)序圖的時(shí)候,輸入信號(hào)的波形好像是反過(guò)來(lái)進(jìn)入系統(tǒng)的。"
張三領(lǐng)悟了:" 哦,輸出的結(jié)果就積分出來(lái)啦!感謝上帝。這個(gè)方法叫什么名字呢?"
上帝說(shuō):"叫卷積!"
從此,張三的工作輕松多了。每次經(jīng)理讓他測(cè)試一些信號(hào)的輸出結(jié)果,張三都只需要在A4紙上做微積分就是提交任務(wù)了!
張三愉快地工作著,直到有一天,平靜的生活被打破。
經(jīng)理拿來(lái)了一個(gè)小的電子設(shè)備,接到示波器上面,對(duì)張三說(shuō): "看,這個(gè)小設(shè)備產(chǎn)生的波形根本沒(méi)法用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)說(shuō)明,而且,它連續(xù)不斷的發(fā)出信號(hào)!不過(guò)幸好,這個(gè)連續(xù)信號(hào)是每隔一段時(shí)間重復(fù)一次的。張三,你來(lái)測(cè)試一下,連到我們的設(shè)備上,會(huì)產(chǎn)生什么輸出波形!"
張三擺擺手:"輸入信號(hào)是無(wú)限時(shí)長(zhǎng)的,難道我要測(cè)試無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間才能得到一個(gè)穩(wěn)定的,重復(fù)的波形輸出嗎?"
經(jīng)理怒了:"反正你給我搞定,否則炒魷魚!"
張三心想:"這次輸入信號(hào)連公式都給出出來(lái),一個(gè)很混亂的波形;時(shí)間又是無(wú)限長(zhǎng)的,卷積也不行了,怎么辦呢?"
及時(shí)地,上帝又出現(xiàn)了:"把混亂的時(shí)間域信號(hào)映射到另外一個(gè)數(shù)學(xué)域上面,計(jì)算完成以后再映射回來(lái)。"
"宇宙的每一個(gè)原子都在旋轉(zhuǎn)和震蕩,你可以把時(shí)間信號(hào)看成若干個(gè)震蕩疊加的效果,也就是若干個(gè)可以確定的,有固定頻率特性的東西。"
"我給你一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)f,時(shí)間域無(wú)限的輸入信號(hào)在f域有限的。時(shí)間域波形混亂的輸入信號(hào)在f域是整齊的容易看清楚的。這樣你就可以計(jì)算了。"
"同時(shí),時(shí)間域的卷積在f域是簡(jiǎn)單的相乘關(guān)系,我可以證明給你看看。"
"計(jì)算完有限的程序以后,取f(-1)反變換回時(shí)間域,你就得到了一個(gè)輸出波形,剩下的就是你的數(shù)學(xué)計(jì)算了!"
張三謝過(guò)了上帝,保住了他的工作。后來(lái)他知道了,f域的變換有一個(gè)名字,叫做傅利葉,什么什么... ...
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再后來(lái),公司開發(fā)了一種新的電子產(chǎn)品,輸出信號(hào)是無(wú)限時(shí)間長(zhǎng)度的。這次,張三開始學(xué)拉普拉斯了......
后記:
不是我們學(xué)的不好,是因?yàn)榻滩牟缓?,老師講的也不好。
很欣賞Google的面試題: 用3句話像老太太講清楚什么是數(shù)據(jù)庫(kù)。
這樣的命題非常好,因?yàn)闆](méi)有深入的理解一個(gè)命題,沒(méi)有仔細(xì)的思考一個(gè)東西的設(shè)計(jì)哲學(xué),我們就會(huì)陷入細(xì)節(jié)的泥沼: 背公式,數(shù)學(xué)推導(dǎo),積分,做題;而沒(méi)有時(shí)間來(lái)回答"為什么要這樣"。做大學(xué)老師的做不到"把厚書讀薄"這一點(diǎn),講不出哲學(xué)層面的道理,一味背書和翻講 ppt,做著枯燥的數(shù)學(xué)證明,然后責(zé)怪"現(xiàn)在的學(xué)生一代不如一代",有什么意義嗎?
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