卡爾曼濾波

卡爾曼濾波(Kalman filtering)是一種利用線性系統(tǒng)狀態(tài)方程，通過(guò)系統(tǒng)輸入輸出觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的算法。由于觀測(cè)數(shù)據(jù)中包括系統(tǒng)中的噪聲和干擾的影響，所以最優(yōu)估計(jì)也可看作是濾波過(guò)程。數(shù)據(jù)濾波是去除噪聲還原真實(shí)數(shù)據(jù)的一種數(shù)據(jù)處理技術(shù)，Kalman濾波在測(cè)量方差已知的情況下能夠從一系列存在測(cè)量噪聲的數(shù)據(jù)中，估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。由于它便于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，并能夠?qū)ΜF(xiàn)場(chǎng)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)的更新和處理，Kalman濾波是目前應(yīng)用最為廣泛的濾波方法，在通信，導(dǎo)航，制導(dǎo)與控制等多領(lǐng)域得到了較好的應(yīng)用。斯坦利·施密特(Stanley Schmidt)首次實(shí)現(xiàn)了卡爾曼濾波器?？柭贜ASA埃姆斯研究中心訪問(wèn)時(shí),發(fā)現(xiàn)他的方法對(duì)于解決阿波羅計(jì)劃的軌道預(yù)測(cè)很有用,后來(lái)阿波羅飛船的導(dǎo)航電腦使用了這種濾波器。關(guān)于這種濾波器的論文由Swerling (1958), Kalman (1960)與 Kalman and Bucy (1961)發(fā)表。

定義 語(yǔ)音傳統(tǒng)的濾波方法，只能是在有用信號(hào)與噪聲具有不同頻帶的條件下才能實(shí)現(xiàn).20世紀(jì)40年代，N.維納和A.H.柯?tīng)柲缌_夫把信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)引進(jìn)了濾波理論，在假設(shè)信號(hào)和噪聲都是平穩(wěn)過(guò)程的條件下，利用最優(yōu)化方法對(duì)信號(hào)真值進(jìn)行估計(jì)，達(dá)到濾波目的，從而在概念上與傳統(tǒng)的濾波方法聯(lián)系起來(lái)，被稱為維納濾波。這種方法要求信號(hào)和噪聲都必須是以平穩(wěn)過(guò)程為條件。60年代初，卡爾曼(R.E.Kalman)和布塞(R. S.Bucy)發(fā)表了一篇重要的論文《線性濾波和預(yù)測(cè) 理論的新成果》，提出了一種新的線性濾波和預(yù)測(cè)理論，被稱之為卡爾曼濾波。特點(diǎn)是在線性狀態(tài)空間表示的基礎(chǔ)上對(duì)有噪聲的輸入和觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行處理，求取系統(tǒng)狀態(tài)或真實(shí)信號(hào)。這種理論是在時(shí)間域上來(lái)表述的，基本的概念是：在線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示基礎(chǔ)上，從輸出和輸入觀測(cè)數(shù)據(jù)求系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)。這里所說(shuō)的系統(tǒng)狀態(tài)，是總結(jié)系統(tǒng)所有過(guò)去的輸入和擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的作用的最小參數(shù)的集合，知道了系統(tǒng)的狀態(tài)就能夠與未來(lái)的輸入與系統(tǒng)的擾動(dòng)一起確定系統(tǒng)的整個(gè)行為?？柭鼮V波不要求信號(hào)和噪聲都是平穩(wěn)過(guò)程的假設(shè)條件。對(duì)于每個(gè)時(shí)刻的系統(tǒng)擾動(dòng)和觀測(cè)誤差(即噪聲)，只要對(duì)它們的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)作某些適當(dāng)?shù)募俣ǎㄟ^(guò)對(duì)含有噪聲的觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行處理，就能在平均的意義上，求得誤差為最小的真實(shí)信號(hào)的估計(jì)值。因此，自從卡爾曼濾波理論問(wèn)世以來(lái)，在通信系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、航空航天、環(huán)境污染控制、工業(yè)控制、雷達(dá)信號(hào)處理等許多部門(mén)都得到了應(yīng)用，取得了許多成功應(yīng)用的成果。例如在圖像處理方面，應(yīng)用卡爾曼濾波對(duì)由于某些噪聲影響而造成模糊的圖像進(jìn)行復(fù)原。在對(duì)噪聲作了某些統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的假定后，就可以用卡爾曼的算法以遞推的方式從模糊圖像中得到均方差最小的真實(shí)圖像，使模糊的圖像得到復(fù)原。

性質(zhì)①卡爾曼濾波是一個(gè)算法，它適用于線性、離散和有限維系統(tǒng)。每一個(gè)有外部變量的自回歸移動(dòng)平均系統(tǒng)(ARMAX)或可用有理傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)都可以轉(zhuǎn)換成用狀態(tài)空間表示的系統(tǒng)，從而能用卡爾曼濾波進(jìn)行計(jì)算。②任何一組觀測(cè)數(shù)據(jù)都無(wú)助于消除x(t)的確定性。增益K(t)也同樣地與觀測(cè)數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)。③當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)和狀態(tài)聯(lián)合服從高斯分布時(shí)用卡爾曼遞歸公式計(jì)算得到的是高斯隨機(jī)變量的條件均值和條件方差，從而卡爾曼濾波公式給出了計(jì)算狀態(tài)的條件概率密度的更新過(guò)程線性最小方差估計(jì)，也就是最小方差估計(jì)。

形式卡爾曼濾波已經(jīng)有很多不同的實(shí)現(xiàn)，卡爾曼最初提出的形式一般稱為簡(jiǎn)單卡爾曼濾波器。除此以外，還有施密特?cái)U(kuò)展濾波器、信息濾波器以及很多Bierman, Thornton 開(kāi)發(fā)的平方根濾波器的變種。最常見(jiàn)的卡爾曼濾波器是鎖相環(huán)，它在收音機(jī)、計(jì)算機(jī)和幾乎任何視頻或通訊設(shè)備中廣泛存在。