節(jié)點(diǎn)法分析電路

一、節(jié)點(diǎn)電壓方程出發(fā)點(diǎn)

進(jìn)一步減少方程數(shù)，用未知的節(jié)點(diǎn)電壓代替未知的支路電壓來(lái)建立方程。

圖3.2-1電路共有4個(gè)節(jié)點(diǎn)、 6條支路(把電流源和電導(dǎo)并聯(lián)的電路看成是一條支路)。用支路電流法計(jì)算，需列寫6個(gè)獨(dú)立的方程

選取節(jié)點(diǎn)d為參考點(diǎn)，d點(diǎn)的電位為

，則節(jié)點(diǎn)a、b、c為獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)，它們與d點(diǎn)之間的電壓稱為各節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓(node voltage)，實(shí)際上就是各點(diǎn)的電位。這樣a、b、c的節(jié)點(diǎn)電壓是。

各電導(dǎo)支路的支路電流也就可用節(jié)點(diǎn)電壓來(lái)表示

結(jié) 論：用3個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓表示了6個(gè)支路電壓。進(jìn)一步減少了方程數(shù)。

1、節(jié)點(diǎn)電壓方程

根據(jù)KCL，可得圖3.2-1電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程

節(jié)點(diǎn)電壓方程的一般形式

自電導(dǎo)×本節(jié)點(diǎn)電壓-Σ(互電導(dǎo)×相鄰節(jié)點(diǎn)電壓)= 流入本節(jié)點(diǎn)的所有電流源的電流的代數(shù)和

自電導(dǎo)(self conductance)是指與每個(gè)節(jié)點(diǎn)相連的所有電導(dǎo)之和，互電導(dǎo)(mutual conductance)是指連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的支路電導(dǎo)。

節(jié)點(diǎn)電壓法分析電路的一般步驟

確定參考節(jié)點(diǎn)，并給其他獨(dú)立節(jié)點(diǎn)編號(hào)。列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程，并求解方程，求得各節(jié)點(diǎn)電壓。由求得的節(jié)點(diǎn)電壓，再求其他的電路變量，如支路電流、電壓等。

例3.2-1 圖3.2-1所示電路中，G1=G2=G3=2S，G4=G5=G6=1S，

，，求各支路電流。

解：1. 電路共有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，選取d為參考點(diǎn)，

。其他三個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓分別為。

2. 列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程

節(jié)點(diǎn)a：

節(jié)點(diǎn)b：

節(jié)點(diǎn)c：

代入?yún)?shù)，并整理，得到

解方程，得

3. 求各支路電流

特 別 注 意：節(jié)點(diǎn)電壓方程的本質(zhì)是KCL，即Σ(流出電流) =Σ(流入電流)，在節(jié)點(diǎn)電壓方程中，方程的左邊是與節(jié)點(diǎn)相連的電導(dǎo)上流出的電流之和，方程的右邊則是與節(jié)點(diǎn)相連的電流源流入該節(jié)點(diǎn)的電流之和。如果某個(gè)電流源上還串聯(lián)有一個(gè)電導(dǎo)，那么該電導(dǎo)就不應(yīng)再計(jì)入自電導(dǎo)和互電導(dǎo)之中，因?yàn)樵撾妼?dǎo)上的電流(與它串聯(lián)的電流源的電流)已經(jīng)計(jì)入方程右邊了。

例3.2-2 圖3.2-2所示電路，試列出它的節(jié)點(diǎn)電壓方程。

解：對(duì)于節(jié)點(diǎn)a，流入的電流源

的支路上還串聯(lián)了一個(gè)電阻R1，在計(jì)算a點(diǎn)的自電導(dǎo)時(shí)，不應(yīng)再把R1計(jì)算進(jìn)去，所以a點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓方程為

b點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓方程為

2、彌爾曼定理

當(dāng)電路只有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，這種電路稱為單節(jié)偶電路(single node-pair circuit)。對(duì)于單節(jié)偶電路，有彌爾曼定理。

彌爾曼定理：對(duì)于只有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的單節(jié)偶電路，節(jié)偶電壓等于流入獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的所有電流源電流的代數(shù)和除以節(jié)偶中所有電導(dǎo)之和。

二、含有電壓源的電路

1、有伴電壓源

結(jié) 論：如果電路中的電壓源是有伴電壓源，將有伴電壓源等效成有伴電流源。

方法一 把電壓源當(dāng)電流源處理

把電壓源當(dāng)作電流源看待，并設(shè)定電壓源的電流，列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程。利用“電壓源的電壓等于其跨接的兩個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓之差”這個(gè)關(guān)系，再補(bǔ)充一個(gè)方程式，聯(lián)立求解。

2、無(wú)伴電壓源

電壓源的一端與參考點(diǎn)相連

結(jié) 論

電壓源一端與參考點(diǎn)相連，另一端的節(jié)點(diǎn)電壓就是電壓源的電壓，節(jié)點(diǎn)電壓方程減少一個(gè)。

方法二 超節(jié)點(diǎn)(super node)方法

虛線框當(dāng)作一個(gè)超節(jié)點(diǎn)處理，列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程。

注 意：列寫這個(gè)超節(jié)點(diǎn)的方程時(shí)，其中的“自電導(dǎo)×本節(jié)點(diǎn)電壓”這一項(xiàng)應(yīng)包括兩個(gè)部分，即組成該超節(jié)點(diǎn)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓與其相應(yīng)的自電導(dǎo)的乘積。

例3.2-3 圖3.2-3所示電路，試列出它的節(jié)點(diǎn)電壓方程，并求出電流I。

解：選取a、b、c為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，由于6V無(wú)伴電壓源的一端與參考點(diǎn)相連，所以c點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓為

(1)

對(duì)于節(jié)點(diǎn)a：

(2)

對(duì)于節(jié)點(diǎn)b：

(3)

將(1)式代入(2)、(3)式，并整理，得到

解得：

所以，

2)電壓源的兩端都不與參考點(diǎn)相連

例3.2-4 圖3.2-4所示電路，

，用節(jié)點(diǎn)電壓法計(jì)算各電阻上的電壓。

解：電路中含有兩個(gè)電壓源，相互之間又無(wú)公共端，所以只有一個(gè)電壓源的一端可以連到參考點(diǎn)，而另一電壓源的兩端都不能與參考點(diǎn)相連。

選取1V電壓源的正極為參考點(diǎn)，并標(biāo)出其他獨(dú)立節(jié)點(diǎn)a、b、c，如圖3.2-5所示。這樣，

(1)

3.6V電壓源的兩端都不與參考點(diǎn)相連，跨接于節(jié)點(diǎn)a、c之間，設(shè)它的電流為I，并把它當(dāng)作電流源處理。

對(duì)于節(jié)點(diǎn)a：

(2)

對(duì)于節(jié)點(diǎn)c：

(3)

代入?yún)?shù)，并整理(1)、(2)、(3)式，得

(4)

再補(bǔ)充電壓源的方程：

(5)

解得：

。

所以，各電阻上的電壓為

利用超節(jié)點(diǎn)的方法計(jì)算例3.2-4。

對(duì)超節(jié)點(diǎn)：

對(duì)節(jié)點(diǎn)b：

另外，對(duì)3.6V的電壓源：

代入?yún)?shù)，并整理，得

解得：