基于壓縮感知的信號(hào)欠采樣和重建研究

引言

傳統(tǒng)的數(shù)字信號(hào)處理以奈奎斯特采樣定理作為基礎(chǔ)，在模擬/數(shù)字信號(hào)的轉(zhuǎn)換過程中，采樣頻率大于信號(hào)最高頻率的2倍，才能從采樣得到的數(shù)字信號(hào)中無失真地恢復(fù)原始信號(hào)。在實(shí)際應(yīng)用中，為保證信號(hào)處理效果一般采樣頻率為信號(hào)最高頻率的3倍以上，采集到的冗余數(shù)據(jù)在后續(xù)處理階段再濾除。然而,隨著當(dāng)前日益增加的信息需求量，信號(hào)頻率越來越高，帶寬越來越寬，在信息獲取中對(duì)采樣速率、處理速度和信息存儲(chǔ)空間等提出越來越高的要求。這將造成對(duì)ADC和處理器的性能要求更高以及數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸?shù)膲毫?。但是，在許多情況下，信號(hào)是稀疏和冗余的，在某些變換域是可壓縮的，在處理過程中冗余信息將被丟棄，多余的數(shù)據(jù)就造成了資源的浪費(fèi)。針對(duì)這個(gè)問題，在過去的幾年，一種新的理論壓縮感知被提出來，它的核心思想是通過很少的非適應(yīng)性，凸優(yōu)化的線性測(cè)量來恢復(fù)稀疏信號(hào)。壓縮感知的理論基礎(chǔ)是建立在以下領(lǐng)域并發(fā)展而來,例如應(yīng)用諧波分析、框架理論、拓?fù)鋷缀巍?yōu)化理論和矩陣分析等［%在該理論下，信號(hào)的采樣速率不再取決于信號(hào)的帶寬,而是取決于信息在信號(hào)中的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容，因此在滿足信號(hào)的可壓縮性以及表示系統(tǒng)與觀測(cè)系統(tǒng)的不相關(guān)性兩大條件下，從低分辨觀測(cè)中恢復(fù)高分辨信號(hào)就成為可能。

壓縮感知理論主要涉及三個(gè)核心問題：一是信號(hào)的稀疏表示；二是非相干測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)；三是信號(hào)重建算法優(yōu)化設(shè)計(jì)。在應(yīng)用研究方面，其影響已經(jīng)涉及很多應(yīng)用科學(xué)，如無線電通信的認(rèn)知無線電方向和信道編碼、陣列信號(hào)處理、雷達(dá)成像、圖形圖像處理、生物傳感、模擬信息轉(zhuǎn)換等。利用壓縮感知理論,模擬信息轉(zhuǎn)換器被設(shè)計(jì)用來在較低速率下獲取樣本，然后在后端DSP成功恢復(fù)感興趣的壓縮信號(hào)。模擬信息轉(zhuǎn)換器可以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的ADC,以較低的速率對(duì)高速模擬信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)采樣，獲取所關(guān)心的信息，有效解決了傳統(tǒng)采樣理論遇到的瓶頸。

壓縮感知理論最初是針對(duì)離散信號(hào)提出來的，把它應(yīng)用到模擬信號(hào)的研究目前處于起步階段，存在很多困難。模擬信息轉(zhuǎn)換需要能夠?qū)崟r(shí)采樣連續(xù)信號(hào)，而不能直接使用離散信號(hào)的測(cè)量矩陣，同時(shí)要求數(shù)字處理器有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，能夠及時(shí)對(duì)高速信號(hào)進(jìn)行感知，硬件實(shí)現(xiàn)困難。因此，該算法的復(fù)雜度優(yōu)化和硬件可實(shí)現(xiàn)性成為壓縮感知應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)之一。

本文首先對(duì)壓縮感知的基本理論進(jìn)行了研究，對(duì)比分析了三種模擬信息轉(zhuǎn)換器，介紹了常用重建算法，并通過仿真驗(yàn)證了模擬信息轉(zhuǎn)換-信號(hào)重建結(jié)構(gòu)的可行性，分析了實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的性能。最后，進(jìn)行了總結(jié)并對(duì)壓縮感知的研究趨勢(shì)進(jìn)行了展望。

1壓縮感知原理

圖1所示是信號(hào)壓縮感知的結(jié)構(gòu)圖。假設(shè)信號(hào)X為我們感興趣的原始信號(hào)長(zhǎng)度為N且具有K稀疏性，即指它們有很少的非零系數(shù)，或用一組基底展開后xw，大多數(shù)系數(shù)為0,或者絕對(duì)值較小?？蓪?duì)信號(hào)X的觀測(cè)抽象為用一MXN的矩陣垂MN)與信號(hào)X進(jìn)行乘積，即可以表示為y=^x或者y=。壓縮感知問題就是在已知測(cè)量值y和測(cè)量矩陣蟲的基礎(chǔ)上，求解欠定方程組y=®x得到原信號(hào)x的過程，該過程需要求解以下最優(yōu)化問題：

x=argmins.t.Ux=y

求解過程就是得到重建信號(hào)x的過程。

壓縮感知理論的提出者Candes,Romberg,Tao[3]和Donoho[4]證明了信號(hào)是K稀疏的或者在一個(gè)基電展開后是可壓縮的就能從少量非自適應(yīng)性線性不相關(guān)測(cè)量值中得到恢復(fù)。

由于上式的求解是個(gè)NP-HARD問題，而該最優(yōu)化問題和信號(hào)的稀疏分解非常相似，所以，從信號(hào)稀疏分解的相關(guān)理論中尋找更有效的求解途徑就成為一些學(xué)者的研究?jī)?nèi)容之一。有文獻(xiàn)表明電，在最小范數(shù)下，在一定條件下和L的最小范數(shù)具有等價(jià)性，它們可得到相同的解。那么上式轉(zhuǎn)化為11最小范數(shù)下的最優(yōu)化問題為：

min|s.t.y=

這個(gè)最優(yōu)化問題又稱為基追蹤(BasisPursuit，BP)。為了克服采用基追蹤算法進(jìn)行信號(hào)重建中出現(xiàn)的計(jì)算速度慢的問題，同時(shí)也為了提高計(jì)算精確度，正交匹配追蹤(OMP)等貪婪算法常被用來重建信號(hào)。

壓縮感知最初只是針對(duì)離散信號(hào)處理應(yīng)用的，但是，很多時(shí)候我們都需要接收處理連續(xù)模擬信號(hào)，因此，有必要把壓縮感知理論擴(kuò)展到模擬信號(hào)領(lǐng)域。于是，基于壓縮感知理論的模擬信息轉(zhuǎn)換器就可以設(shè)計(jì)出來。

2模擬信息轉(zhuǎn)換器

利用基于壓縮采樣原理設(shè)計(jì)的模擬信息轉(zhuǎn)換器能夠降低當(dāng)前超高采樣率對(duì)超速高分辨率ADC器件和數(shù)字處理器帶來的壓力，減少存儲(chǔ)空間。模擬信號(hào)x(t)通過AIC模擬信息轉(zhuǎn)換器完成模擬信號(hào)到信息數(shù)據(jù)的采集，能大大降低數(shù)據(jù)采集量，然后通過數(shù)字信號(hào)處理器完成信號(hào)重建和相關(guān)處理后輸出。典型的模擬信息轉(zhuǎn)換器(AIC)的結(jié)構(gòu)如圖2所示。

文獻(xiàn)[6]提出了一種基于偽隨機(jī)解調(diào)和低速率采樣的實(shí)用AIC結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)的AIC實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，能夠有效采集大部分可壓縮信號(hào)，圖3所示就是偽隨機(jī)解調(diào)結(jié)構(gòu)圖。

模擬輸入信號(hào)x(t)經(jīng)過偽隨機(jī)序列pc(t)解調(diào)后，可用模擬低通濾波器濾波，這樣就可以用低速ADC進(jìn)行采樣而直接得到低速率信息。模擬信號(hào)x(t)僅有有限的信息率，那么,在連續(xù)函數(shù)組成的字典中,x(t)可以表示為：

在a中只有少量的非零值，因此，信號(hào)x是稀疏的。盡管每個(gè)字典原子我也許有比較高的帶寬，但信號(hào)本身只有很少的自由度。因此，在信號(hào)稀疏度水平的若干倍上采樣，而不是用奈奎斯特采樣率。

輸出信號(hào)y[m]可表示為：

模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)將直接影響信號(hào)的重建效果，并且由于各采樣點(diǎn)之間具有較大的相關(guān)性，性能有待提高，因此可以設(shè)計(jì)直接型AIC[7]和分段型AIC[8]。直接型AIC性能最優(yōu)，但是往往需要數(shù)量龐大的相關(guān)積分支路，當(dāng)信號(hào)稀疏度較大時(shí),硬件復(fù)雜，難以實(shí)現(xiàn)；分段型AIC以犧牲隨機(jī)序列的不相關(guān)性為代價(jià)，通過對(duì)等效測(cè)量矩陣的后期擴(kuò)展，可減少相關(guān)積分支路,并能夠以高概率重構(gòu)原始信號(hào)，性能居中。但是，偽隨機(jī)解調(diào)結(jié)構(gòu)AIC結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可節(jié)省硬件資源，因而具有較高的實(shí)用價(jià)值。下面我們通過仿真來分析驗(yàn)證該結(jié)構(gòu)的可行性和信號(hào)恢復(fù)性能。

3仿真分析

下面選用正弦脈沖信號(hào)為輸入信號(hào)，并加入高斯白噪聲,以｝是FFT來設(shè)計(jì)偽隨機(jī)序列發(fā)生器pc(t)，重建算法選取OMP貪婪算法，采用Matlab仿真在不同信噪比下的信息提取和信號(hào)恢復(fù)性能。

3.1信噪比為10dB時(shí)

信噪比為10dB時(shí)的仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4(a)是加入了高斯白噪聲的原始輸入信號(hào)，重建恢復(fù)后的波形如圖4(b)所示，圖4(c)是恢復(fù)波形和原始波形的對(duì)比,可見重建誤差較大，圖4(d)是獲得的線性測(cè)量信息。

3.2信噪比為20dB時(shí)

圖5(a)是加入了高斯白噪聲的原始輸入信號(hào)，重建恢復(fù)后的波形如圖5(b)所示，圖5(c)是恢復(fù)波形和原始波形的對(duì)比,可見重建誤差較小，圖5(d)是獲得的線性測(cè)量信息。

通過以上仿真結(jié)果可以看出：第一，基于壓縮感知理論的信號(hào)欠采樣和重建是可行的；第二，在一定的信噪比條件下,重建誤差在較小范圍內(nèi)；第三，隨著信噪比的下降，系統(tǒng)性能顯著下降。

4結(jié)論

由于現(xiàn)實(shí)環(huán)境中的大部分信號(hào)具有稀疏性或可壓縮性,壓縮感知理論利用信號(hào)稀疏性突破了奈奎斯特采樣定理。事實(shí)上，把從對(duì)數(shù)據(jù)的采集直接轉(zhuǎn)化為對(duì)信息的采集，就能以隨機(jī)采樣的方式，并用更少的數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)來完美地恢復(fù)原始信號(hào)。

本文介紹了壓縮感知的基本理論，分析了壓縮感知在模擬信息轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用，并通過仿真驗(yàn)證了壓縮感知理論的實(shí)際應(yīng)用可行性。在射頻和寬帶無線通信信號(hào)的采樣和信號(hào)檢測(cè)分析中，基于壓縮感知理論的欠采樣系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，能降低對(duì)高速ADC器件的依賴，可在有效減少數(shù)據(jù)量的同時(shí)，保證近乎完美地重建信號(hào)，降低系統(tǒng)資源消耗，提高系統(tǒng)性能。壓縮感知理論在無線通信的頻譜感知、信道編碼、陣列信號(hào)處理等方面都得到了廣泛的研究，從而推動(dòng)了無線通信技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。可見，壓縮感知具有十分重要的應(yīng)用價(jià)值。

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