基于WVD的LFM信號檢測方法研究

引言

線性調頻信號(linear frequency modulation,LFM)被廣泛 應用于通信、雷達、聲吶等系統(tǒng)中，是一種特殊的非平穩(wěn)信號％ 時頻分析是對該類信號進行分析的常用方法。

時頻分析是近年來興起的用于非平穩(wěn)信號分析的重要工 具。時頻分析將一維的時域信號和頻域信號映射到二維時頻 平面上，獲得信號的聯(lián)合時頻分布，在時頻域區(qū)分別提取各 信號分量［2Io魏格納-維爾分布(Wigner-Ville Distribution, WVD)是描述信號時頻分布的一個有力工具，是處理非平穩(wěn) 信號的一種最基本、應用最多的時頻分布。

由于LFM信號的WVD為時頻面上的一條直線，所以在 時頻域中對LFM信號的檢測問題可以等價為圖像處理中的直 線檢測問題。Hough變換是圖像處理中一種常用的直線檢測 方法叫 將WVD與Hough變換相結合，在時頻平面沿LFM信號的WVD能量分布直線進行積分，即得到維格納-霍夫變 換(Wigner-Hough Transformation， WHT)。

本文利用WVD和WHT對單、兩線性調頻信號進行了 檢測，并對這兩種時頻分析方法進行了分析和比較。

1 Wigner-Ville分布及幾種變型

Wigner-Ville分布是一種最基本、也是應用最廣的時頻 分布，它是眾多時頻分析技術的基礎和核心，后續(xù)許多時頻 技術都是對WVD的改善或者說是為克服交叉項而做的各種 努力。信號x(t)的Wigner-Ville分布記為閔:

式 (1) 是信號能量域的時頻表示，以時間 t 和頻率 f 為自變量。實際應用中信號 x(t) 一般是實信號，而實信號的頻譜除了正頻部分，還存在負頻率成分，因此信號在做時頻分析一般將信號轉化為解析形式，比如通過希爾伯特變換。Wigner-Ville 分布的頻域形式記為 ：

Wigner-Ville 分布出現(xiàn)后，在許多領域得到實際應用。人們針對不同的實際需要，對其做了某些改善，從而催生了一系列新的時頻分布。到 20 世紀 60 年代，時頻巨匠 Cohen 經(jīng)過大量研究發(fā)現(xiàn)，眾多的時頻分布只是 Wigner-Ville 分布的變形，它們可以用統(tǒng)一的形式表示，而不同的時頻分布只是體現(xiàn)在核函數(shù) ( 窗函數(shù) ) 不同而已。

Cohen 類時頻分布的統(tǒng)一表達形式 ：

式中，{ x( ,v)稱為核函數(shù)，或者理解為加在原 Wigner-Ville 分布上的窗函數(shù)。當窗函數(shù){ x( ,v) = 1時，式 (3) 就還原為普通的 Wigner-Ville 分布了。當核函數(shù){ x( ,v)取不同的表達式，就可得到眾多不同類型的時頻分布。雖然 Wigner-Ville 分布具有許多期望的優(yōu)良數(shù)學性質而備受學界推崇，但由于本身固有的雙線性特性，造成多分量信號分析時存在交叉項干擾。對核函數(shù)進行特定的設計和約束，就能達到對交叉項的某種程度上的抑制或削弱。

如果直接令核函數(shù)為一個具體的時間函數(shù) ( , ) (){ x v hx=，得到準 Wigner 分布 (Pesudo-Wigner Distribution，PWD)，其形式如下：

Wigner 分布中，時間窗函數(shù)在 Wigner-Ville 分布的頻域方向進行了平滑。若要同時對時域方向進行平滑，則需同時加上一個頻域窗函數(shù)，即令 ( , ) () ( )v hg v{ xx=，得到的是平滑 偽 Wigner 分 布(Smoothly Pesudo-Wigner Distribution，SPWD)：

2WHT 變換檢測方法及性能分析

對于離散的有限圖像來說，Hough 變換核心思想是將所有的線條參數(shù)組成的參數(shù)空間量化為有限的參數(shù)表。Hough變換將笛卡兒坐標系中的觀測數(shù)據(jù) (x,y) 變換到參數(shù)空間中的坐標 (ρ,θ)，即 ：

式 中， i ! [ , 0 180c]。 當 對 信 號 的 Wigner-Ville 分 布 進 行Hough 變換，可以獲得一種新的變換，即為 WHT 變換。WHT 變換與 Wigner-Ville 分布相比，可有效抑制噪聲和交叉項。能量有限信號 x(t) 的 Wigner-Hough 變換記為 ：

其中，“*”表示復共軛，式 (7) 也可表示為 Wigner-Ville 分布Wx(t,v) 的線積分形式 ：

對信號 x(t) 進行 N 點離散采樣，WHT 變換的離散形式為：

當 x(n)為一線性調頻信號時，由式(9)可得其 WHT 的峰值為 N2A2 /2，對應的坐標為 (f0, g0)。因此，可通過檢測信號 WHT 的峰值來實現(xiàn)對 LFM 信號的檢測。對于高斯白噪聲背景下 LFM 信號的 Wigner-Hough 變換檢測方法，其步驟為 ：

(1) 計算接收信號的 Wigner-Ville 分布。

(2) 對 Wigner-Ville 分布的結果，進行 Hough 變換。

(3) 尋找 WHT 的峰值，并與給定的門限進行比較。若超過門限，則認為 LFM 信號存在 ；否則，認為不存在。

LFM 信號 x(t) 經(jīng)過高斯白噪聲信道后，輸出信號為r(t)=x(t)+v(t)，其中 v(t) 為高斯白噪聲。對接收信號進行 N 點采樣后，設 WHT 的離散輸出信噪比為 ：

x(n) 的 WHT 峰值為 N2A2 /2，因此，WHT 輸出信號的功率為 ：

設噪聲 v(t) 的方差為nd2，則LFM 信號經(jīng)過高斯白噪聲信道前的 WHT 信噪比為 ：

含有高斯噪聲的 LFM 信號 r(t) 的離散 WHT 均值為 ：

根據(jù)零均值復高斯隨機變量的矩性質，可得 WHx+v(f0+g0)的二階矩為 ：

3 性能仿真與分析

為驗證該方法的性能，這里在 Matlab 仿真環(huán)境下，使用該方法對 LFM 信號進行了仿真檢測。LFM 信號的歸一化頻率范圍為 [0，0.5]，在信噪比為 1 dB 情況下，單線性調頻信號的 Wigner-Ville 分布的等高線圖與三維圖如圖 1 所示。

由圖 1 可以看出，單線性調頻信號的 Wigner-Ville 分布受噪聲干擾較為嚴重，產(chǎn)生了較為嚴重的交叉項干擾，在三維圖中干擾尤為嚴重。單線性調頻信號 Wigner-Hough 分布的等高線圖與三維圖如圖 2 所示。

通過比較 Wigner-Ville 分布和 Wigne-Hough 變換的仿真結果可見，后者在抑制交叉項方面有明顯效果。從三維圖中可以看出，該信號的 Wigne-Hough 變換在 (ρ, θ) 平面上有一個明顯的峰值，從而實現(xiàn)了 LFM 信號的準確檢測。為進一步分析兩種方法的性能，這里產(chǎn)生了頻率范圍分別為 [0，0.4] 和[0.3，0.5] 的兩線性調頻信號，在信噪比為 1 dB 的情況下，其Wigner-Ville 分布的等高線圖與三維圖如圖 3 所示。

由圖 3 可見，此時交叉項干擾更為嚴重。在圖 3(a) 中，交叉項也構成了一個較為明顯的 LFM 信號項。圖 3(b) 則產(chǎn)生了較多峰值，基本無法實現(xiàn) LFM 信號的檢測。兩線性調頻信號Wigner-Hough 變換的等高線與三維圖分別如圖 4 所示。

由圖 4(b) 可見，信號的 Wigner-Hought 分布在 (ρ, θ) 平面上有兩個明顯的峰值，它分別表征了兩個線性調頻信號。通過對兩種 LFM 信號的處理結果比較可見，Wigner-Hough 變換有限抑制了交叉項的干擾。

4 結 語

對 LFM 信號處理的兩種常用方法 Wigner-Ville 分布和Wigner-Hough 變換進行了總結，推導了 Wigner-Hough 變換前后信號的信噪比公式。在 AWGN 背景下，利用兩種變換分別對單線性調頻信號和兩線性調頻信號進行了檢測，給出了其變換的等高線圖和三維圖。仿真結果表明，與 Wigner-Ville 分布相比，Wigner-Hough 變換在低信噪比和多干擾信號兩種情況下，均具有較好的干擾項抑制性能。

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