埃米·諾特：沒(méi)有你就沒(méi)有守恒定律！

守恒定律(像能量守恒、動(dòng)量守恒)是人類(lèi)理解自然的精華。它反映了自然的美和理性。但守恒定律是從什么地方來(lái)的?它的起源是什么?這是物理學(xué)中非?；镜膯?wèn)題。這一問(wèn)題有一個(gè)非常漂亮的答案：所有守恒定律，都來(lái)自于物理理論中的對(duì)稱(chēng)性。這就是有名的諾特定理。很多學(xué)物理的人都學(xué)過(guò)這個(gè)定理。但是有很多人不知道諾特是一個(gè)女?dāng)?shù)學(xué)家。

諾特是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，她是現(xiàn)代抽象代數(shù)的奠基人之一。作為一個(gè)早期的女?dāng)?shù)學(xué)家，她獲得博士學(xué)位以后，在幾個(gè)大學(xué)教了十幾年的書(shū)，但不能拿工資。后來(lái)拿到一個(gè)教授，還要注明是非終身的和權(quán)益受限的教授。今年4月14日是諾特逝世81周年的日子。我們?cè)诖思o(jì)念這位應(yīng)當(dāng)很有名的數(shù)學(xué)家。

——文小剛

諾特肖像

我們之所以能夠理解世界，是因?yàn)槭澜缟显S多事情是可以預(yù)測(cè)的。比如，我們投出一個(gè)球，就會(huì)知道它只能落下來(lái)，而不能飛上天。如果我們多次從同樣的高度讓球自由下落，也能預(yù)知接下來(lái)的事情——球每次都會(huì)以同樣的速度撞擊地面，然后反彈到同一高度。這種可預(yù)知的重復(fù)性正是物理學(xué)具有現(xiàn)實(shí)意義的重要原因。

投球?qū)嶒?yàn)結(jié)果的重復(fù)性可以用能量守恒定律來(lái)解釋。不過(guò)，這種重復(fù)性還可以有另外一個(gè)解釋——球每一次下落時(shí)，地球重力都是相同的，因此球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是重復(fù)不變的。假如每一次球下落時(shí)，重力都有不同的變化，我們就無(wú)法預(yù)測(cè)球下落后的情況了。這反映了一個(gè)深刻的物理學(xué)規(guī)律——物理學(xué)的守恒定律總是與對(duì)稱(chēng)性一一對(duì)應(yīng)。這個(gè)定律一般人不好理解，簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)就是，空間平移，動(dòng)量守恒;轉(zhuǎn)動(dòng)不變，角動(dòng)量守恒;時(shí)間平移，能量守恒。這一重要規(guī)律被稱(chēng)為諾特定理，物理學(xué)家將其視為“數(shù)學(xué)中的勾股定理”，而其發(fā)現(xiàn)者卻是一位名叫埃米·諾特(Emmy Noether，1882.3.23-1935.4.14)的女性數(shù)學(xué)家。

隱姓埋名的大科學(xué)家很多，但很少有人比得上埃米·諾特這般默默無(wú)聞及與世無(wú)爭(zhēng)。作為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家，諾特本人卻幾乎完全不為人所知。不僅普通大眾如此，許多理科學(xué)生亦是如此。美國(guó)費(fèi)城著名的德雷克塞爾大學(xué)(非常重視女性教育的私立大學(xué))就曾對(duì)物理學(xué)院的一些學(xué)生和老師做了名為“諾特問(wèn)卷”的調(diào)查，結(jié)果很少有人能夠準(zhǔn)確說(shuō)出她是誰(shuí)，以及她為什么重要。

對(duì)于普通大眾，我們很難非常深入地解釋埃米·諾特所做的重要貢獻(xiàn)，因?yàn)槿绻胝嬲私馑哂械母锩?，你很有可能需要獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位才行。但是，我們可以看一下科學(xué)界對(duì)她所作的評(píng)價(jià)，就可了解她了。

按照愛(ài)因斯坦的話(huà)來(lái)說(shuō)：“埃米·諾特是數(shù)學(xué)界的雅典娜，如果沒(méi)有她，現(xiàn)代數(shù)學(xué)和它的教學(xué)將會(huì)是完全不同的。”在愛(ài)因斯坦眼中，“埃米·諾特是數(shù)學(xué)史上最重要的女性”，而她同時(shí)代的數(shù)學(xué)家則傾向于認(rèn)為此評(píng)價(jià)中的“女性”二字應(yīng)該去掉。埃米·諾特一生致力于代數(shù)研究，她的工作在代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何的發(fā)展中有重要的影響，數(shù)學(xué)界稱(chēng)她為“代數(shù)女皇”。她完全重寫(xiě)了許多關(guān)于數(shù)學(xué)的概念，以至于在數(shù)學(xué)不同的領(lǐng)域里都能找到以“諾特”命名的理論。

埃米·諾特不僅僅是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的奠基者，也是物理學(xué)中的革命家。她給出的諾特定理把兩個(gè)物理學(xué)的支柱概念——“對(duì)稱(chēng)性”和“普遍守恒定律”聯(lián)系在一起。許多物理學(xué)家認(rèn)為諾特定理可以跟愛(ài)因斯坦的相對(duì)論并駕齊驅(qū)。直到今天，諾特定理仍然指導(dǎo)著當(dāng)今物理學(xué)的許多先鋒研究，比如對(duì)希格斯玻色子的尋找，比如黑洞的研究。而在天文物理中，月球的一個(gè)隕石以及太陽(yáng)系小行星帶中的一顆小行星也以埃米·諾特的名字命名。

作為一個(gè)在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中取得如此非凡成就的女性，埃米·諾特的數(shù)學(xué)道路起初卻并非一帆風(fēng)順。

1882年，在德國(guó)的埃朗根市，埃米·諾特出生于一個(gè)富足的猶太人家庭，她的母親是猶太商人的女兒，父親是埃朗根大學(xué)的數(shù)學(xué)教授。小時(shí)候，埃米·諾特并沒(méi)有顯示出特別的數(shù)學(xué)天賦，她是從鋼琴、舞蹈、英語(yǔ)和法語(yǔ)開(kāi)始學(xué)習(xí)的——世俗認(rèn)為這些科目更適合女孩。18歲高中畢業(yè)時(shí)，由于具備女性出色的語(yǔ)言才能，她毫不費(fèi)力地考取了語(yǔ)言教師的資格證書(shū)，馬上就可以在學(xué)校教書(shū)了。她的家庭非常高興，因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)，對(duì)一個(gè)像她這樣的女孩來(lái)說(shuō)，這已經(jīng)是比較理想的人生之路了。然而，由于長(zhǎng)期受到父親的影響，埃米·諾特對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣，她希望遵從自己的意志，到大學(xué)去念數(shù)學(xué)。幸運(yùn)的是，她得到了父母的支持。

1916年明信片上的德國(guó)埃朗根市

對(duì)諾特來(lái)說(shuō)，念大學(xué)的這條道路并不好走。當(dāng)時(shí)的德國(guó)不允許女性進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)，德國(guó)的大學(xué)只允許女性在征得教師同意的情況下參加旁聽(tīng)，當(dāng)然還得繳納聽(tīng)課費(fèi)，而如果想要參加考試并取得文憑，則要經(jīng)過(guò)學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)的特別批準(zhǔn)。

但諾特克服種種困難，花了兩年的代價(jià)，終于獲準(zhǔn)在埃朗根大學(xué)旁聽(tīng)，第二年，她被校方批準(zhǔn)參加入學(xué)注冊(cè)考試，很快就以?xún)?yōu)異的成績(jī)通過(guò)了考試，成為正式的大學(xué)生。按當(dāng)時(shí)的慣例，大學(xué)新生需要在另一所大學(xué)學(xué)習(xí)一年。父親推薦她前往對(duì)女性入學(xué)更為開(kāi)明的哥廷根大學(xué)就讀。這時(shí)她有幸直接聽(tīng)到了大衛(wèi)·希爾伯特、菲利克斯·克萊因等著名數(shù)學(xué)家的課程。

1904年，埃米·諾特又回到了埃朗根大學(xué)，成為數(shù)學(xué)系47名學(xué)生中唯一的女生。周?chē)睦蠋熀屯瑢W(xué)，有些對(duì)她比較佩服和尊重，而出于性別的原因，也有些人對(duì)她持有偏見(jiàn)，這使她無(wú)時(shí)無(wú)刻不感受到巨大的精神壓力。于是，她把多數(shù)時(shí)間都用于讀書(shū)和思考，當(dāng)其他同學(xué)外出聚會(huì)或者游玩的時(shí)候她仍然伏案苦讀，她所做的筆記和用掉的草稿紙要比別人多上好幾倍。就這樣，一本本抽象枯燥的數(shù)學(xué)書(shū)籍被她逐一消化吸收，這為她將來(lái)的數(shù)學(xué)生涯下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

這一時(shí)期，數(shù)學(xué)研究的中心課題之一是“不變量”。擅長(zhǎng)代數(shù)不變量理論的數(shù)學(xué)家保羅·哥爾丹正在埃朗根大學(xué)執(zhí)教，他發(fā)現(xiàn)埃米·諾特不僅聰穎而且好學(xué)，于是引導(dǎo)她走上了研究探索的道路。

在哥爾丹的悉心點(diǎn)撥下，在短短的兩年時(shí)間里諾特就取得了重大的研究成果。她對(duì)一類(lèi)重要的不變量的體系結(jié)構(gòu)給予了詳盡的刻畫(huà)，以此為題完成了博士畢業(yè)論文《三元雙二次型不變量的完全系》，并于當(dāng)年年底通過(guò)了論文答辯。1908年，埃爾朗根大學(xué)向埃米·諾特授予了哲學(xué)博士學(xué)位，她成為哥爾丹數(shù)學(xué)生涯中指導(dǎo)過(guò)的唯一一位博士。

埃米·諾特并沒(méi)有停止探索的腳步，在此后的數(shù)年時(shí)間里，她繼續(xù)研究不變量理論，并開(kāi)始研究有理函數(shù)體。到了1915年，她已經(jīng)發(fā)表了《有理函數(shù)體和系》、《有限不變量的有限性定理》、《任意多基本形式系統(tǒng)的不變量的整有理表示》等多篇重要論文，證明了不變量理論中的許多基本定理，還解決了大衛(wèi)·希爾伯特曾經(jīng)提出的數(shù)學(xué)難題。

這引起了希爾伯特和克萊因的注意，他們認(rèn)為，埃米·諾特的研究成果對(duì)于從數(shù)學(xué)角度研究愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論大有幫助。在他倆的協(xié)助下，埃米·諾特于1916年重返哥廷根大學(xué)。不過(guò)，這次她不再是以學(xué)生的身份來(lái)求學(xué)，而是準(zhǔn)備以教師的身份來(lái)工作。在這樣一個(gè)名家匯集、人才濟(jì)濟(jì)的地方，埃米·諾特的學(xué)術(shù)生涯即將迎來(lái)重大的轉(zhuǎn)折。

1915年，愛(ài)因斯坦發(fā)表了他的廣義相對(duì)論，而哥廷根大學(xué)的數(shù)學(xué)系對(duì)廣義相對(duì)論的感覺(jué)卻是“茫然不知所云”。埃米·諾特開(kāi)始應(yīng)用她的不變量研究來(lái)剖析錯(cuò)綜復(fù)雜的廣義相對(duì)論，這一工作激勵(lì)著埃米·諾特，使她構(gòu)想出了屬于自己的理論，這也就是本文開(kāi)端所提到的諾特定理。

這條革命性的理論表述如下：不論在自然界的什么地方發(fā)現(xiàn)了某種對(duì)稱(chēng)性、某種可預(yù)見(jiàn)性，你將發(fā)現(xiàn)對(duì)稱(chēng)平移必然會(huì)產(chǎn)生與其一致的守恒量——動(dòng)量、電荷、能量等等。舉一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，在日常生活中，諾特定理可以告訴我們：騎自行車(chē)不會(huì)摔倒。如果一個(gè)自行車(chē)輪呈現(xiàn)放射狀對(duì)稱(chēng)，也就是說(shuō)如果它可以順著車(chē)軸旋轉(zhuǎn)并且各個(gè)方向看起來(lái)都一樣，那么，車(chē)軸平移肯定會(huì)有對(duì)應(yīng)的守恒量。通過(guò)對(duì)諾特定律所包含原理和計(jì)算的應(yīng)用，你會(huì)明白，這個(gè)守恒量是角動(dòng)量。

可以說(shuō)，諾特定理是“編織”了整個(gè)現(xiàn)代物理的“絲線(xiàn)”。由于現(xiàn)代物理學(xué)家們的研究工作非常依賴(lài)對(duì)稱(chēng)性和守恒定律，不論研究原子尺度的量子物理，還是研究宇宙范圍的物質(zhì)流動(dòng)，所有現(xiàn)代物理學(xué)家都要用到諾特定理，因?yàn)橹Z特定理回答了這樣一些問(wèn)題：如果你在不同的時(shí)間或者不同的地方做同一個(gè)實(shí)驗(yàn)，哪些物理量會(huì)改變，而哪些物理量會(huì)保持不變;你是否可以旋轉(zhuǎn)你的實(shí)驗(yàn)裝置;實(shí)驗(yàn)中粒子的哪些屬性可以改變，而哪些屬性又是不可觸碰的?

而且，伴隨著諾特定理而涌現(xiàn)的一些聯(lián)系是令人震驚的，比如時(shí)間和能量之間的聯(lián)系。諾特定理表明，時(shí)間的對(duì)稱(chēng)性與能量守恒定律直接連系在一起，就像本文開(kāi)頭所舉的例子，不管你是明天向空中拋擲球還是后天向空中拋擲球，這對(duì)球的運(yùn)行軌跡是沒(méi)有影響的，它的軌跡是重復(fù)的。又比如，數(shù)學(xué)中的環(huán)與物理學(xué)中的電荷守恒定律之間的聯(lián)系。根據(jù)電荷守恒定律，“進(jìn)入”一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的電荷總量必須等于從實(shí)驗(yàn)結(jié)果“出來(lái)”的電荷總量，即使粒子的類(lèi)型變了或者物質(zhì)粒子與反物質(zhì)粒子發(fā)生了湮滅。諾特定理能夠通過(guò)環(huán)的對(duì)稱(chēng)性推導(dǎo)出電荷守恒定律，而且還可以根據(jù)環(huán)論推導(dǎo)出電磁學(xué)的理論，比如電流的產(chǎn)生以及原子結(jié)構(gòu)的變化。

近代物理學(xué)家們對(duì)諾特定理評(píng)價(jià)很高，認(rèn)為它是一種關(guān)于宇宙歸宿的表述，它揭示了宇宙基本幾何與質(zhì)量和能量活動(dòng)之間的深層聯(lián)系。

諾特定理的一系列深刻研究結(jié)果為近代物理的發(fā)展起到了奠基的作用，不過(guò)，埃米·諾特并沒(méi)有繼續(xù)深入研究物理學(xué)，她轉(zhuǎn)而研究抽象代數(shù)，回到了數(shù)學(xué)的道路上。當(dāng)埃米·諾特開(kāi)始研究抽象代數(shù)的時(shí)候，其實(shí)它還只是一門(mén)新興的代數(shù)學(xué)科，而諾特的工作推動(dòng)了它的迅速發(fā)展，稱(chēng)為現(xiàn)代抽象代數(shù)的奠基人。不僅如此，她還建立了自己的數(shù)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)，其成員來(lái)自世界各地，經(jīng)她指導(dǎo)，她的團(tuán)隊(duì)取得了許多重要成就，使哥廷根大學(xué)成為了當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的中心。

有時(shí)，諾特在郵政明信片上與她的同事Ernst Fischer討論抽象代數(shù)，這封載有她數(shù)學(xué)討論的明信片上的郵戳?xí)r間為1915年4月10日。

如果認(rèn)為埃米·諾特輝煌的科學(xué)成就必然為她帶來(lái)生活上的一帆風(fēng)順，那將是十分錯(cuò)誤的。實(shí)際上，除了童年時(shí)代，埃米·諾特在她的祖國(guó)就一直生活在逆境之中。在1916年，埃米·諾特受邀回到哥廷根大學(xué)的時(shí)候，就因?yàn)樯頌榕远鵁o(wú)法獲得授課資格。在當(dāng)時(shí)的德國(guó)大學(xué)里，教師的授課資格必須由學(xué)校的全體教授們投票決定，一些頭腦頑固的文科教授根本不去考慮埃米·諾特的學(xué)術(shù)成就和教學(xué)能力，而是以性別作為評(píng)判其授課資格的前提。盡管數(shù)學(xué)教授們竭力保薦，但他們的努力均以失敗告終。直到1919年，埃米·諾特才正式獲得了“非官方講師”的頭銜，但這并沒(méi)有改變她的經(jīng)濟(jì)狀況。

當(dāng)已到而立之年的諾特在數(shù)學(xué)界站穩(wěn)腳跟的時(shí)候，她的生活還十分拮據(jù)。但是，諾特為數(shù)學(xué)而活，她對(duì)自己的財(cái)產(chǎn)毫不在意。關(guān)于諾特，她既沒(méi)有留下什么記錄來(lái)記載自己作為一個(gè)女性來(lái)面對(duì)困難時(shí)的感受，也沒(méi)有記錄自己私人的情感生活。她沒(méi)有結(jié)過(guò)婚，即使有過(guò)愛(ài)情，也未對(duì)別人講過(guò)。但她并不是一個(gè)性情孤僻的人，相反她平易近人，喜歡說(shuō)笑，所以在照片里總是面帶笑容。她從不裝腔作勢(shì)、居高臨下，如果興奮地講話(huà)時(shí)，那一頭不羈的長(zhǎng)發(fā)散開(kāi)的話(huà)，她就讓其散著。學(xué)生們都非常愛(ài)戴她，以至于在哥廷根大學(xué)，當(dāng)?shù)厝藢⑺艺\(chéng)的學(xué)生稱(chēng)為“諾特童子軍”。

1930年的諾特

正當(dāng)埃米·諾特的數(shù)學(xué)生涯進(jìn)入全盛時(shí)期的時(shí)候，德國(guó)傳來(lái)了希特勒上臺(tái)的消息。作為猶太人，迫于無(wú)奈，埃米·諾特在1933年移居美國(guó)。她來(lái)到了賓夕法尼亞州的布林莫爾女子學(xué)院任教，那里距普林斯頓高等研究院很近。從1934年起，埃米·諾特每周去研究院講一次課。這一時(shí)期，她最熱衷于領(lǐng)著學(xué)生散步。埃米·諾特在布林莫爾的時(shí)光是十分愉快的，在這里她終于體會(huì)到了僅在童年時(shí)代才有擁有過(guò)的人際之間的親善情感。埃米·諾特說(shuō)，在這里她感到被深切地尊敬，這是她在德國(guó)從來(lái)沒(méi)有得到過(guò)的。

但不幸的是，快樂(lè)的時(shí)光并沒(méi)持續(xù)太久，在埃米·諾特來(lái)到美國(guó)僅18個(gè)月之后，她進(jìn)行了卵巢囊腫手術(shù)，幾日后突然去世，享年53歲。