ADSP TigerSHARC中利用查找表快速計(jì)算三角函數(shù)

作者Email: batistuta810226@sina.com

摘要：DSP算法中，三角函數(shù)的計(jì)算是一種運(yùn)算量比較大，占用時(shí)間比較長(zhǎng)的運(yùn)算。如果通過直接調(diào)用DSP生產(chǎn)商或者第三方提供的庫(kù)函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，往往需要占用比較多的時(shí)鐘周期。在實(shí)時(shí)性要求比較高的場(chǎng)合，調(diào)用庫(kù)函數(shù)進(jìn)行三角函數(shù)計(jì)算就不能夠達(dá)到實(shí)時(shí)性的要求。在這種情況下，利用查找表的方法來得到三角函數(shù)的值就成為一種可行，并能獲得很高實(shí)時(shí)性的計(jì)算方法。本文給出了一種在TS101中利用查找來實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)計(jì)算的方法，并對(duì)這種算法的誤差和運(yùn)算量進(jìn)行了分析，從結(jié)論可以看出，文中提出的通過查找表計(jì)算三角函數(shù)的方法有效而且運(yùn)行效率比較高。

關(guān)鍵詞：查找表        Tiger SHARC TS101 DSP        實(shí)時(shí)性

1．    概述：

我們知道，在三角函數(shù)的運(yùn)算中，涉及到大量倒數(shù)和平方根的運(yùn)算。TS101的ALU指令中，提供了很方便的求倒數(shù)指令RECIPS和求平方根倒數(shù)指令RSQRTS，在一個(gè)指令周期內(nèi)，可以完成求一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的倒數(shù)或者平方根倒數(shù)的運(yùn)算。但是，在TS101中，倒數(shù)和平方根倒數(shù)指令僅僅提供了8位浮點(diǎn)的近似值，特別在小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)比較多的情況下，誤差比較大。并且，在很多計(jì)算過程中，隨著運(yùn)算步驟的增加，其誤差也不斷擴(kuò)大，最終將會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算的結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離正常的數(shù)值。如果需要提高倒數(shù)和平方根倒數(shù)的運(yùn)算精度，就需要用到收斂算法，這樣就大大增加了運(yùn)算的周期數(shù)，使得運(yùn)算量驟增。在需要大量三角函數(shù)運(yùn)算的場(chǎng)合，這么大的運(yùn)算量就顯得很不合適，大大占用了系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間。在ADSP的集成開發(fā)環(huán)境Visual DSP 3.5++中，生產(chǎn)商雖然提供了進(jìn)行三角函數(shù)計(jì)算的庫(kù)函數(shù)，并具可以得到很高的計(jì)算精度，但是它的運(yùn)算周期卻比較長(zhǎng)，很多情況下并不能滿足我們的要求。

    ADSP TS101中提供了專用的加法器和乘法器，使得高精度的乘加運(yùn)算可以在一個(gè)周期內(nèi)得以完成。如果我們可以利用乘加運(yùn)算代替大運(yùn)算量的求倒數(shù)和求平方根運(yùn)算，那么程序運(yùn)行中就可以大大降低程序的時(shí)間消耗。而且，三角函數(shù)具有一定的周期性，我們可以通過三角函數(shù)周期性的變換，將角度值變換到一個(gè)周期內(nèi)，通過查表的方式來獲得三角函數(shù)的數(shù)值。這種方式直接利用了三角函數(shù)的周期性，其誤差大小決定于查找表的大小，也就是對(duì)一個(gè)周期內(nèi)三角函數(shù)的數(shù)值進(jìn)行采樣的密度。在誤差允許的情況下，可以以很高的運(yùn)算速度得到三角函數(shù)的數(shù)值。

2．    算法理論與DSP實(shí)現(xiàn)：

（1）DSP算法：正弦和余弦函數(shù)是按照2π為周期周期性變化的函數(shù)。對(duì)于 和 形式的函數(shù)，當(dāng)我們知道x的數(shù)值以后，就可以根據(jù)浮點(diǎn)數(shù)x的小數(shù)部分的數(shù)值求得函數(shù)的數(shù)值，而整數(shù)部分可以作為周期循環(huán)的部分不予考慮。所以運(yùn)算的重點(diǎn)在于如何將小數(shù)部分的數(shù)值轉(zhuǎn)變?yōu)椴楸頃r(shí)候所對(duì)應(yīng)的地址單元。我們?nèi)∮嘞液瘮?shù) 區(qū)間上的數(shù)值，在允許的計(jì)算精度范圍內(nèi)首先對(duì)其進(jìn)行采樣。因?yàn)橛嘞液瘮?shù)為偶函數(shù)，所以在整個(gè)自變量變化的范圍內(nèi)的三角函數(shù)運(yùn)算都可以轉(zhuǎn)變到 區(qū)間內(nèi)進(jìn)行。

對(duì)于三角函數(shù) 的數(shù)值的計(jì)算，我們將其自變量x的取值區(qū)間以0為中心分為小于零和大于等于零兩部分。對(duì)于小于零的區(qū)間，首先求出x的絕對(duì)值，然后減去0.5，將得到的結(jié)果用fix指令求整，再用float指令將其表示為浮點(diǎn)數(shù)，將x的絕對(duì)值與用float指令求得的數(shù)值相減就提取出了數(shù)據(jù)的小數(shù)部分。對(duì)于大于零的區(qū)間，我們不用求其絕對(duì)值就可以直接按照上面的步驟提取出其小數(shù)部分。對(duì)于正弦函數(shù) ，由于正弦函數(shù)是奇函數(shù)，情況就相對(duì)比較復(fù)雜一些。這時(shí)需要判斷x的數(shù)值是大于零等于零還是小于零，如果在大于零的情況下，可以直接將小數(shù)部分提取出來，并對(duì)其進(jìn)行查表得到對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)的數(shù)值，而在x的數(shù)值小于零的情況下，我們需要將在 區(qū)間內(nèi)查表得到的數(shù)值再對(duì)其取負(fù)才可以得到相應(yīng)的三角函數(shù)的數(shù)值。我們得到小數(shù)部分的數(shù)值以后，將小數(shù)部分的數(shù)值和采樣的樣本點(diǎn)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算，就可以得到查表所需要的相對(duì)地址。 查表實(shí)現(xiàn)的簡(jiǎn)單的匯編語言算法實(shí)現(xiàn)如下（未優(yōu)化）：

       xr11=0.5;;
       xfr20=abs r19;;
       fr21=r20-r11;;
       xr22=fix fr21;;
       xfr23=float r22;;
xfr4=r20-r23;;
       xfr5=r4*r3;;                //r30        查找表采樣樣本點(diǎn)數(shù)
       xr6=fix fr5;;
       j3=xr6;;
       xr1:0=l[j30+j3];;            //j30        查找表絕對(duì)地址

    （2）查找表樣本制作和復(fù)指數(shù)信號(hào)的查表：在我們進(jìn)行科學(xué)計(jì)算時(shí)，經(jīng)常要碰到 形式的復(fù)指數(shù)運(yùn)算，由歐拉公式我們可以得到 。在我們得到x的值之后，可以對(duì) 和 一起進(jìn)行查表，從而得到相應(yīng)的三角函數(shù)數(shù)值。TS101種，每次可以對(duì)4個(gè)word進(jìn)行尋址操作。所以，我們?cè)谥爸谱鞑檎冶淼臅r(shí)候，對(duì)一個(gè)周期內(nèi)的正弦和余弦函數(shù)采樣之后，可以將正弦和余弦函數(shù)的查找表交叉存放。以64bit為單位，低32bit存放余弦函數(shù)的查找表數(shù)值，高32bit存放正弦函數(shù)的查找表數(shù)值。這樣，在我們每次得到一個(gè)x的小數(shù)位數(shù)值之后就可以直接查找到兩個(gè)函數(shù)的三角函數(shù)值，從而得到 的數(shù)值，極大的方便了復(fù)指數(shù)的運(yùn)算。而且，采用TS101的單周期多指令方式，我們可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)程序循環(huán)內(nèi)并行查找多個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)數(shù)值的操作，從而將速度大大提高。