應(yīng)用傅氏算法的幾個(gè)問題討論

傅氏算法在數(shù)字保護(hù)中得到了廣泛的應(yīng)用，但關(guān)于傅氏算法中余弦正弦系數(shù)a，b是否是信號(hào)相量的實(shí)部和虛部，作者一直感到困惑。通過分析近年發(fā)表相關(guān)傅氏算法的文獻(xiàn)，提出幾個(gè)問題的質(zhì)疑，結(jié)合實(shí)際的工程實(shí)例和信號(hào)的物理意義，認(rèn)為信號(hào)的虛部是-b即相量用表示，才能正確計(jì)算出阻抗、負(fù)序分量等。
    關(guān)鍵詞：傅氏算法；相量表示；分量 

Discussion on the Fourier algorithm application

Yuan yubo, Lu yuping , Tang guoqing

(Electrical Engineering Department of Southeast University Nanjing 210096)

    Abstract:Fourier Algorithm has been deeply applied in digital protection, however it was puzzled about whether coefficients a or b are real or image part of the phasor. After analyzing the document published in recent years, some problems query was put forward. It was concluded that the phasor could represented by form of a-jb and the correctly impedance or negative phase-sequence could be figure out by this form..
    Key words: Fourier Algorithm, Digital Protection

0  引言
    傅氏濾波算法作為故障信號(hào)模值相角提取的方法，在電力系統(tǒng)數(shù)字保護(hù)中廣泛應(yīng)用，但從目前發(fā)表的文獻(xiàn)來看，在概念上還存在一些困惑。
    現(xiàn)將問題闡述如下。計(jì)算連續(xù)周期信號(hào)的基波分量的傅氏算法為：

    文獻(xiàn)[1-4]認(rèn)為a,b分別是基波信號(hào)的實(shí)部和虛部。其實(shí)不然，確切地說，a,b應(yīng)是信號(hào)的余弦和正弦分量系數(shù)。作者在開發(fā)一個(gè)繼電保護(hù)故障信息系統(tǒng)的過程中，利用了高級(jí)語言的復(fù)數(shù)類，發(fā)現(xiàn)根據(jù)a+jb的組合方法來表示相量，計(jì)算出的負(fù)序和正序互相顛倒，且利用電壓電流計(jì)算出的阻抗中的電抗分量為負(fù)數(shù)。如用a-jb的相量表示方法，結(jié)果就正確了。
    分析其中的原因，作者認(rèn)為目前一些文獻(xiàn)都忽視了傅氏算法的概念，擬歸納成以下幾個(gè)問題：
    1) 傅氏算法計(jì)算出來的余弦、正弦幅度系數(shù)a,b是否是基波相量的實(shí)部和虛部。
    2) 連續(xù)周期信號(hào)與離散周期信號(hào)各自計(jì)算出來的是否一樣？相位角分別如何計(jì)算。
    針對(duì)這些問題，在此提出一些個(gè)人見解與同行討論。

1  算例
    以距離保護(hù)中計(jì)算阻抗為例(見圖1)，算法采用(2)式，分別得到電壓電流的余弦正弦系數(shù)U_a,U_b,I_a,I_b，至于如何構(gòu)成相量，有兩種組合方法，在表1中詳細(xì)的表示。

    顯然，采用后面一種才能正確的計(jì)算出Z，相量表示雖然只是相差一個(gè)負(fù)號(hào)，但是物理概念確完全不一樣。
    復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示為^[5]：
 
    在連續(xù)系統(tǒng)中，系數(shù)a,b包含了基波的幅值和相位信息，負(fù)頻率點(diǎn)和正頻率點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)的復(fù)系數(shù)分別為 。電路理論中用相量表示信號(hào)時(shí)，規(guī)定逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎?，正頻率是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的，因此用正頻率點(diǎn)處的復(fù)系數(shù)來表示相量，為反映幅值將它乘以2，即用a-jb來表示基波相量。以上推證相量的實(shí)部和虛部應(yīng)該為a、-b，其實(shí)這個(gè)概念的澄清對(duì)計(jì)算和分析非常重要，否則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的錯(cuò)誤。下面舉例說明，圖2為一單位正弦波，數(shù)據(jù)窗取一個(gè)周波長度，分別取起始位置為1,2,3,4，表2為相應(yīng)的a-jb,a+jb的計(jì)算值，圖2表明隨著數(shù)據(jù)窗的移動(dòng)，相量a-jb是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，而a+jb是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

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    ABC三相超前滯后的關(guān)系是基于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎淖鴺?biāo)系統(tǒng)。如用順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a +jb的相量來表示基波，計(jì)算時(shí)會(huì)導(dǎo)致正序和負(fù)序分量的錯(cuò)位。

2  分析
    連續(xù)系統(tǒng)的傅里葉級(jí)數(shù)是對(duì)周期信號(hào)的分析，系數(shù)a,b是通過積分運(yùn)算得到的，而離散系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于一個(gè)時(shí)間窗截?cái)嗟倪^程，窗外是窗內(nèi)數(shù)據(jù)的周期延拓。理論證明，隨著數(shù)據(jù)窗的移動(dòng)，計(jì)算的a,b值也是正弦交變的，不像周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)a,b是一個(gè)恒定的值。以基波12點(diǎn)采樣為例，隨著采樣數(shù)據(jù)窗的移動(dòng)，a-jb相量在圓上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，數(shù)據(jù)窗每往前移動(dòng)一格，相量就逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°。
    連續(xù)周期系統(tǒng)的相角取決于信號(hào)采用余弦模型還是正弦模型，如采用余弦模型，則連續(xù)系統(tǒng)中信號(hào)的初相角為復(fù)數(shù)a-jb的角度。φ=arctan(-b/a)。而離散系統(tǒng)中計(jì)算出來的相角是有區(qū)別的，隨著數(shù)據(jù)窗的移動(dòng)，它是一個(gè)瞬時(shí)的相位計(jì)算值(ωt+φ)，該相量以角速度ω逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。
    在實(shí)際工程中，也常遇到類似的問題，如認(rèn)為a,b是信號(hào)的實(shí)部和虛部，可能在計(jì)算功率方向時(shí)，明明是正方向短路，可是保護(hù)計(jì)算出來的卻是反方向。有些工程人員的解決手段是在取電壓電流相量時(shí)在虛部前加一個(gè)負(fù)號(hào)，保護(hù)計(jì)算就正確了，確不知道其中的物理含義。
    國內(nèi)外文獻(xiàn)在看待這個(gè)問題時(shí)，有一些混亂，比較容易誤導(dǎo)讀者。如文獻(xiàn)[1-4]直接認(rèn)a,b是信號(hào)的實(shí)部和虛部。文獻(xiàn)[10,12]為同一個(gè)作者寫的兩篇論文，其虛部分量的符號(hào)就不一樣。但I(xiàn)EEE的一篇文獻(xiàn)在b前面加了一個(gè)負(fù)號(hào)^[6]。國內(nèi)也有文獻(xiàn)意識(shí)到了這個(gè)問題，在半波傅氏算法的b前加了一個(gè)負(fù)號(hào)^[7]。最近出版的文獻(xiàn)[8]也加了負(fù)號(hào)。但是目前仍有論文，沒有對(duì)這個(gè)問題引起重視，重復(fù)著這個(gè)筆誤^[4,9]。綜上所述，目前對(duì)該問題的困惑還存在，想當(dāng)然的認(rèn)為a,b就是基波信號(hào)的實(shí)部和虛部，會(huì)引起讀者的誤解，導(dǎo)致對(duì)傅氏算法錯(cuò)誤的理解和使用。可能這些文獻(xiàn)只注重研究濾波器性能，還沒有用來做雙通道的比相或三相序分量的計(jì)算，問題沒有暴露出來。有些文獻(xiàn)用b+ja來表示信號(hào)，也是正確的，這一樣可以仿照表2分析出來。因此，在做信號(hào)的相量表示的時(shí)候，一定要注意向量的旋轉(zhuǎn)方向。

3  應(yīng)用
    1)距離保護(hù)中阻抗的計(jì)算

    2) 序分量的提取
    電力系統(tǒng)中的故障大多數(shù)是不對(duì)稱的，會(huì)出現(xiàn)反應(yīng)不對(duì)稱故障的負(fù)序電壓和負(fù)序電流，數(shù)字保護(hù)應(yīng)能實(shí)時(shí)計(jì)算出負(fù)序分量。由于習(xí)慣上采用逆時(shí)針方向定義超前滯后，α⁰,α¹,α²依次逆時(shí)針方向超前相位120°。各序電流的計(jì)算見式(5)。
 
    注意信號(hào)相量表示應(yīng)取a-jb，如用a+jb會(huì)導(dǎo)致計(jì)算出的正序分量變成負(fù)序分量。
    3) 基于相量方法的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)
    采樣信號(hào)在一個(gè)數(shù)據(jù)窗中的特點(diǎn)是，隨著數(shù)據(jù)窗的移動(dòng)，數(shù)據(jù)窗內(nèi)的每個(gè)采樣點(diǎn)的值也是變化的，單獨(dú)把數(shù)據(jù)窗內(nèi)每個(gè)采樣點(diǎn)從x(1),x(2),...,x(12)作為信號(hào)引出來分析，每一點(diǎn)都是時(shí)域的采樣信號(hào)，它和原信號(hào)是一致的，不過依次超前一個(gè)采樣間隔，因此可以用相量來表示每個(gè)采樣點(diǎn)的信號(hào)。信號(hào)中存在的各次諧波分量如用相量表示時(shí)，除旋轉(zhuǎn)速度不同，反應(yīng)到每個(gè)相量之間的超前滯后的角度也是有區(qū)別的。如每周波12點(diǎn)的采樣系統(tǒng)，基波相量之間相差30°，二次諧波相量相差60°，依次類推，圖3給出了基波信號(hào)的各采樣點(diǎn)相量表示。

    在同一個(gè)平面上，3個(gè)相量必相關(guān)，即對(duì)3個(gè)點(diǎn)的采樣相量，必然可找出系數(shù)使三個(gè)相量的線性組合等于零。通過基于相量方法的設(shè)計(jì)來濾除該次諧波，這在文獻(xiàn)[11]中已經(jīng)有詳細(xì)的論述。

4 結(jié)論
    本文通過研究分析，認(rèn)為傅氏算法計(jì)算出的余弦、正弦分量幅度系數(shù)a和b并非是信號(hào)相量表示的實(shí)部和虛部，在做信號(hào)的相量表示時(shí)，一定要注意向量的旋轉(zhuǎn)方向，應(yīng)選正方向旋轉(zhuǎn)的相量a-jb來表示信號(hào)，這樣符合傳統(tǒng)的電工學(xué)的正方向的規(guī)定。連續(xù)周期系統(tǒng)中計(jì)算出來的a,b是一個(gè)恒定的值，且計(jì)算出來的相角也是信號(hào)的初始相角；而離散系統(tǒng)中計(jì)算出來的a,b卻隨著數(shù)據(jù)窗的移動(dòng)在變化，相角是一個(gè)瞬時(shí)相位角。最后將該理論應(yīng)用于距離保護(hù)中電阻電抗的計(jì)算、序分量的提取，且該物理概念也可以拓廣到基于相量法的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中。文中對(duì)正確的使用傅氏算法具有一定的借鑒作用，提出的個(gè)人見解其正確與否愿與同行討論。