基于Mallat算法的動(dòng)彈性模量測(cè)量研究

動(dòng)彈性模量(Dynamic Young's Modulus)是建筑工程設(shè)計(jì)中混凝土等剛性材料的力學(xué)性能的一個(gè)重要參數(shù),反映了某段時(shí)間內(nèi)材料在外力作用下的細(xì)微形變,因此動(dòng)彈性模量的測(cè)量在建筑工程的質(zhì)量監(jiān)控與評(píng)估中有著重要的意義?；炷恋膹椥阅Ａ渴穷l率的單值函數(shù),該函數(shù)的關(guān)鍵變量是混凝土試件的共振頻率,即由試件的諧振頻率,可推算出其強(qiáng)度來。由此,混凝土的強(qiáng)度測(cè)量可以簡化為先進(jìn)行動(dòng)彈諧振頻率測(cè)量,再計(jì)算動(dòng)彈性模量的過程[1]。

當(dāng)前剛性材料的動(dòng)彈性模量測(cè)量方法有掃頻法、快速傅里葉變換法(FFT)等。在掃頻法中,先由激振器從低頻到高頻依次發(fā)射振動(dòng)波到待測(cè)試件表面,迫使其產(chǎn)生非平穩(wěn)、瞬態(tài)的反饋振動(dòng)波形,通過不同頻率間反饋波形幅值的比較,掃描出諧振頻率點(diǎn)。而FFT法是在數(shù)字電路快速發(fā)展的背景下,由數(shù)字處理器對(duì)反饋波形進(jìn)行快速離散傅里葉變換,計(jì)算出功率譜中的峰值頻率作為諧振頻率。在FFT算法中,消除了掃頻法中激振器在不同頻率下激振波振幅的誤差影響。而FFT算法在有限的采樣點(diǎn)下,其低頻精度較低(頻譜范圍為20 kHz時(shí),誤差在±20 Hz以上)。為此,本文將小波變換中的多分辨分析方法引入到動(dòng)彈性模量的測(cè)量中來,可在現(xiàn)有傳感器硬件電路基礎(chǔ)上,通過在DSP平臺(tái)上的Mallat算法實(shí)現(xiàn)高精度的頻譜計(jì)算,提高諧振頻率測(cè)量精度,消除因傳感器不一致所導(dǎo)致的誤差影響,從而提高動(dòng)彈性模量測(cè)量的準(zhǔn)確度。

1 Mallat算法的頻譜分析原理

1.1 Mallat算法原理及分解過程

Mallat算法是小波信號(hào)處理中最常用的小波快速算法。連續(xù)小波變換是指：把某一被稱為基本小波(亦稱母小波或基波)的函數(shù)Ψ(t)作位移τ后,在不同尺度α下再與待分析信號(hào)x(t)作內(nèi)積[2]。

Mallat算法主要是用基于多分辨分析的多采樣濾波器組來分解信號(hào),可以把信號(hào)分解為離散平滑分量和離散細(xì)節(jié)分量。這些離散分量間的關(guān)系可用濾波器組的形式表現(xiàn)。Mallat算法的小波分解公式：

上式中，Edt為橫向動(dòng)彈性模量,單位為Pa;G是試件質(zhì)量,單位為kg;fmax是在外力作用下試件諧振時(shí)的峰值頻率;l、b、h分別對(duì)應(yīng)試件的長、寬和高,單位為mm;R是取決于試件邊長及泊松比的修正系數(shù),對(duì)于l/h=4、泊松比大約為1/6的混凝土試件,R取1.5。在混凝土等硬質(zhì)材料的動(dòng)彈性模量的測(cè)量中,當(dāng)溫度與濕度等外界環(huán)境因素穩(wěn)定時(shí)，式(8)中其他變量的測(cè)量誤差較小，難點(diǎn)是非平穩(wěn)狀態(tài)的測(cè)試波形的頻譜計(jì)算。每個(gè)試件因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的差異及縫隙的存在,其共振頻率都有若干個(gè),稱其為共振頻率帶,在力學(xué)測(cè)量中,建筑力學(xué)設(shè)計(jì)中的動(dòng)彈性模量測(cè)試只研究其低頻段(≤20 kHz)內(nèi)的共振頻率。

測(cè)量過程硬件框圖如圖2所示,激振器由密封在鋼制圓柱體內(nèi)腔的大功率動(dòng)圈揚(yáng)聲器構(gòu)成,垂直安裝在揚(yáng)聲器錐盆上的鋁制測(cè)桿伸出腔外3 mm。拾振器構(gòu)造與激振器類似,但揚(yáng)聲器由靈敏度較高的壓電陶瓷片替換。在測(cè)量前,首先將激振器正對(duì)混凝土試件側(cè)面的中心位置,拾振器則放置在試件同一面的側(cè)邊沿,保持激振器和拾振器的測(cè)桿都輕輕地接觸在混凝土試件表面上(測(cè)桿與試件的接觸面涂抹一薄層耦合介質(zhì))。

測(cè)量過程中,首先由DSP調(diào)制出PWM信號(hào),通過可編程運(yùn)放(PGA)調(diào)整波形幅度后,再經(jīng)功放電路功率放大后連接到激振器的正負(fù)極。激振器的測(cè)桿將激勵(lì)信號(hào)施加到混凝土試件中間點(diǎn), 試件在外力作用下振動(dòng)。由于壓電效應(yīng),拾振器中的壓電陶瓷片將試件因受迫振動(dòng)而產(chǎn)生的機(jī)械波轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)(Vp-p<1 mV),該非平穩(wěn)電壓信號(hào)經(jīng)低通濾波器濾除高頻干擾后送至由LM833構(gòu)成的單端運(yùn)放電路放大1 000倍,其濾波放大電路如圖3所示。

放大的電壓信號(hào)接入DSP的ADCINA0管腳,DSP以固定的采樣頻率對(duì)該電壓信號(hào)進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換,所得的數(shù)組x(n)作為Mallat算法的原始處理數(shù)據(jù)源(每次算法的采樣點(diǎn)數(shù)N=1 024)。當(dāng)激勵(lì)源的激勵(lì)頻率接近于試件的固有頻率時(shí),產(chǎn)生共振效應(yīng),試件強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅及功率達(dá)到最大,通過算法計(jì)算出的峰值頻率fmax作為試件的共振頻率。

3 Mallat算法測(cè)量諧振頻率過程分析

3.1 DSP中Mallat算法的程序設(shè)計(jì)方法

在動(dòng)彈性模量測(cè)量中, Mallat算法是基于TMS320F2808型32位定點(diǎn)數(shù)字信號(hào)處理器(DSP)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)的?；诠鹂偩€結(jié)構(gòu)的F2808型DSP最高運(yùn)算速度為100 MIPS,其內(nèi)置的12位ADC模塊最小轉(zhuǎn)換時(shí)間為160 ns。針對(duì)剛性材料的共振頻率低頻段分布的特點(diǎn),由Nyquist抽樣定理可知模數(shù)轉(zhuǎn)換單元的最小采樣頻率為40 kHz,但為了減小能量泄漏及幅值失真,采樣頻率fs設(shè)定為采樣點(diǎn)數(shù)N的整數(shù)倍,即fs=40.96 kHz。

程序中設(shè)置16位的ePWM模塊作為激振器的信號(hào)源：首先將來自系統(tǒng)的時(shí)鐘信號(hào)通過PLL (鎖相環(huán))預(yù)分頻到10 kHz,修改周期寄存器TyPR以改變輸出PWM方波的頻率。

在DSP程序設(shè)計(jì)中,為了提高系統(tǒng)運(yùn)算效率,Mallat算法操作通過C語言嵌套匯編語言實(shí)現(xiàn):在C函數(shù)的框架中,匯編語句通過動(dòng)態(tài)參數(shù)傳遞的形式進(jìn)行調(diào)用,并且對(duì)相應(yīng)C語句進(jìn)行優(yōu)化,以減少函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。DSP中,當(dāng)RPT流水線啟動(dòng)后,通過循環(huán)尋址指令間接地在RAM空間構(gòu)造的循環(huán)緩存區(qū)中調(diào)用采樣序列x(n),DSP可在單指令周期內(nèi)通過硬件乘法器實(shí)現(xiàn)快速乘加操作,以便迅速完成卷積、濾波等小波運(yùn)算。

4 試驗(yàn)分析及結(jié)果

為驗(yàn)證測(cè)試系統(tǒng)中算法的精確度,在試驗(yàn)電路中：DSP的PWM周期定時(shí)器設(shè)定值FT從50 Hz~1 kHz范圍內(nèi)以0.25 Hz/ms增加,當(dāng)FT達(dá)到1 kHz后，以1 Hz/ms增加到5 kHz為止;為了減小激振器中電磁線圈的溫漂,將PWM的脈寬調(diào)制為0.3,激振器輸出平均功率PT=5 W;功率譜計(jì)算時(shí)間平均為3.2 ms;圖5是標(biāo)準(zhǔn)試件頻譜圖的打印輸出結(jié)果。

由圖5可知,峰值頻率fmax=1.502 kHz,即該試件的諧振頻率為1.502 kHz,符合一般情況下混凝土的諧振頻率分布。對(duì)于l=400 mm、b=h=100 mm的標(biāo)準(zhǔn)試件,當(dāng)其質(zhì)量G=10.0 kg時(shí),由式(8)計(jì)算出動(dòng)彈性模量Edt為20.90 GPa。

由于通常制備的混凝土試件的共振頻率分布不均勻且難以預(yù)測(cè)[7]。試驗(yàn)中,為了測(cè)試系統(tǒng)的計(jì)量準(zhǔn)確度,使用了函數(shù)信號(hào)發(fā)生器來模擬激振波形：信號(hào)源輸出不同中心頻率下峰值為0.5 mV的sinx/x周期函數(shù)波形,利用DSP硬件平臺(tái)測(cè)試FFT算法與Mallat算法在同樣采樣點(diǎn)數(shù)下的諧振頻率測(cè)量的相對(duì)誤差,結(jié)果如表1所示。

由表1可知,測(cè)試平臺(tái)在20 kHz量程時(shí),FFT算法的低頻段相對(duì)誤差較大,在高頻段與Mallat算法相同,而Mallat算法測(cè)量頻譜的相對(duì)誤差始終小于0.3%。所以,兩種算法相對(duì)于量程的精度相同,而由于Mallat算法的多尺度分析等特點(diǎn),其在低頻段內(nèi)諧振頻率測(cè)量值的可信度更高,相對(duì)于常規(guī)FFT算法有效提高了動(dòng)彈性模量的測(cè)量精度。

本文通過在DSP平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)Mallat算法,運(yùn)用離散小波變換的多分辨率分析方法對(duì)非平穩(wěn)的諧振波形進(jìn)行頻譜分析。利用其多尺度測(cè)量由粗至細(xì)提取出激振信號(hào)的局部頻域特征,再通過小波改進(jìn)算法去除頻率混淆,可快速準(zhǔn)確地掃描出其中的功率峰值點(diǎn)以作混凝土等剛性材料的動(dòng)彈性模量計(jì)算。

通過Mallat算法的多分辨率分析方法,保證了測(cè)試系統(tǒng)在20 kHz量程內(nèi)相對(duì)誤差小于0.3%,重復(fù)性誤差小于0.5%,滿足了建筑工程設(shè)計(jì)中混凝土動(dòng)彈性模量測(cè)量的精度需求。在利用Mallat算法研究聲信號(hào)頻譜的基礎(chǔ)上,可通過超聲波定位精度高、穿透能力強(qiáng)等特點(diǎn)來進(jìn)行混凝土結(jié)構(gòu)件的探傷定位等無損檢測(cè)研究。

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