Logistic-Map混沌序列的單片機(jī)實(shí)現(xiàn)

　　摘 要： 混沌序列的產(chǎn)生是混沌理論應(yīng)用于保密通信領(lǐng)域的一個重要問題。通過對Logistic映射進(jìn)行變換處理，利用整數(shù)運(yùn)算代替小數(shù)運(yùn)算，使程序便于在MCS-51系列單片機(jī)平臺上運(yùn)行，由此產(chǎn)生Logistic-Map混沌序列。
關(guān)鍵詞： 混沌序列；Logistic-Map；單片機(jī)

　　混沌及其應(yīng)用是近年來非線性科學(xué)研究領(lǐng)域的一個熱點(diǎn)課題。自Pecora和Carroll提出了混沌同步概念，使混沌應(yīng)用于保密通信技術(shù)領(lǐng)域成為可能。但要進(jìn)行有效的混沌通信，首先必須產(chǎn)生穩(wěn)定的混沌序列信號。
混沌序列信號發(fā)生器最初是利用分立模擬電子元件來實(shí)現(xiàn)的，這種方法能有效地產(chǎn)生混沌信號，但降低了集成度，增大了體積，且在通信應(yīng)用時，因為元件參數(shù)較大的離散性，容易造成收發(fā)系統(tǒng)之間的電路參數(shù)失配。相比而言，用數(shù)字元件實(shí)現(xiàn)，能簡化系統(tǒng)并提高抗干擾能力，例如，在DSP和FPGA等數(shù)字平臺上產(chǎn)生混沌序列，是一種較為有效的方法。
對于產(chǎn)生形式簡單并且應(yīng)用廣泛的Logistic-Map混沌序列[1]信號，可在速度較慢、資源有限的51系列單片機(jī)硬件平臺[2]上實(shí)現(xiàn)。由于Logistic映射中產(chǎn)生的迭代數(shù)據(jù)全是小數(shù)，而單片機(jī)處理浮點(diǎn)數(shù)的能力較差，故需對Logistic-Map方程進(jìn)行映射變換，以便于在單片機(jī)上運(yùn)行實(shí)現(xiàn)。
1 Logistic方程的變換處理
Logistic方程是目前應(yīng)用較為廣泛的一種混沌映射，其迭代方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

由于單片機(jī)并不適合于處理小數(shù)，故為了方便于單片機(jī)的運(yùn)行處理，系數(shù)盡可能地選擇整數(shù)，這里選取參數(shù)μ=4，其時域仿真波形如圖3所示。

Logistic方程中，x(n)的值均為0～1之間的小數(shù)，而x(n)值的精確度對系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)有一定的影響，精度過低會將混沌系統(tǒng)強(qiáng)制性帶出混沌。理論上，x(n)值的精確度越大越好，但實(shí)際上不可能選取無窮精度。在Matlab仿真時，軟件采用雙精度浮點(diǎn)的形式進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算。
考慮到單片機(jī)處理浮點(diǎn)數(shù)的能力較差，通過線性映射：
　　

　　將x(n)∈(0，1)的值映射到X(n)∈(0，65 536)的區(qū)間上，而這屬于一個無符號整型變量的表數(shù)范圍。通過該映射，就能在保證變換前的數(shù)值精確到小數(shù)點(diǎn)后4位的情況下，用無符號整型變量代替雙精度浮點(diǎn)型變量的運(yùn)算，并且能在一定程度上反映小數(shù)點(diǎn)后第5位的情況。
　　經(jīng)過映射變換后的Logistic映射方程變?yōu)椋?br />　　
　　式中X(n)∈(0，65 536)。數(shù)值仿真結(jié)果如圖4所示。由此可知，變換只改變了x(n)值的幅度，并沒有改變系統(tǒng)的性質(zhì)。

2 硬件設(shè)計
在硬件設(shè)計中，選用了51系列中的增強(qiáng)型單片機(jī)AT89S52。這款單片機(jī)內(nèi)置了8 KB的Flash，8個256 bit的片內(nèi)RAM，對于存儲程序和臨時數(shù)據(jù)值有足夠的空間，因此可采用單片工作模式，不需擴(kuò)展外圍存儲器。
圖5為Logistic混沌信號發(fā)生器的硬件電路圖。單片機(jī)的P1.6、P1.7分別輸出轉(zhuǎn)換控制信號和控制時鐘信號；P1.4、P1.5則將Logistic方程的迭代結(jié)果串行地送入數(shù)模轉(zhuǎn)換器。

要較好地將單片機(jī)計算結(jié)果還原成模擬信號并在示波器上顯示出來，對D/A轉(zhuǎn)換器的精度有一定的要求[5]。數(shù)模轉(zhuǎn)換器的精度過低，會使許多不同的計算結(jié)果被轉(zhuǎn)換為相同的模擬電壓值，導(dǎo)致波形質(zhì)量的嚴(yán)重下降。這里選用了廉價高速的12位精度數(shù)模轉(zhuǎn)換器MAX538[2，6]。這款D/A轉(zhuǎn)換器是電壓輸出型，串行輸入方式，由單5 V電源供電。它采用菊花鏈結(jié)構(gòu)，1次接收16位的數(shù)據(jù)，其中只有低12位有效，而高四位只在構(gòu)成菊花鏈時使用。圖6為MAX538的時序圖，當(dāng)轉(zhuǎn)換控制信號為高電平時，D/A轉(zhuǎn)換器不接收新值，而將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換成模擬信號，輸出的模擬信號電壓值：
　　

　　式中，V_REF為基準(zhǔn)電壓，取為2.5 V；當(dāng)其為低點(diǎn)平時，每來1個控制時鐘脈沖就讀入1位值。

3 軟件流程設(shè)計
根據(jù)(3)式可知，程序中涉及到了減法、乘法和除法運(yùn)算。在單片機(jī)指令系統(tǒng)中，這3種運(yùn)算指令均為多周期指令，會占用較多的運(yùn)行時間，尤其是除法運(yùn)算。相對而言，賦值指令、移位指令與邏輯運(yùn)算指令則較為快速，因此，在保證準(zhǔn)確性的前提下，可用移位運(yùn)算代替乘、除運(yùn)算[7]。
在設(shè)計程序時，利用循環(huán)迭代，使單片機(jī)不斷地計算出Logistic方程的當(dāng)前值。程序流程圖如圖7所示。在整個循環(huán)體內(nèi)，通過以下幾個步驟完成1次迭代運(yùn)算：

(1)將公式(3)中的減法運(yùn)算[65536－X(n)]用“異或”運(yùn)算[X(n)⊕0xFFFF]代替，所得值送入變量y所指向的存儲空間；
(2)將y的值與x相乘，實(shí)現(xiàn)[X(n)[65536－X(n)]]，而這個乘法運(yùn)算的結(jié)果是一個32位的值，因此賦予長整型變量M32；
(3)乘法運(yùn)算結(jié)果要除以65 536，該值是2的16次方(65 536=216)，故可通過將M32的值右移16位來替換除法運(yùn)算；
(4)在單片機(jī)指令系統(tǒng)中，除法運(yùn)算的結(jié)果是個16位的值，但移位運(yùn)算并不會改變變量的數(shù)據(jù)類型，故仍為32位的數(shù)據(jù)。所以，要令M32和0xFFFF相“與”，取出M32的低16位值存入與整型變量相對應(yīng)的存儲空間；
(5)用y的值左移2位替代乘以系數(shù)μ=4的運(yùn)算，計算出Logistic方程的當(dāng)前值；
(6)將計算結(jié)果送入數(shù)模轉(zhuǎn)換器。
數(shù)模轉(zhuǎn)換芯片MAX538是串行輸入的，上述步驟計算的結(jié)果是一個整型數(shù)值，不能1次送入D/A芯片，要將數(shù)值按權(quán)位的高低逐個取出并傳送。并且MAX538是12位的D/A芯片，只有低12數(shù)據(jù)有效。計算結(jié)果的16位數(shù)據(jù)中，對信號幅度影響較大的是高12位數(shù)據(jù)，故要將x(n)的值右移4位，將高4位無效位清零，而把有效值保存在低12位。根據(jù)MAX538的信號時序，可得如圖8所示的流程圖。

混沌系統(tǒng)方程中，均為小數(shù)形式的運(yùn)算，增加了產(chǎn)生混沌信號時的硬件復(fù)雜程度。因此，通過對Logistic方程進(jìn)行線性變換，采用整數(shù)運(yùn)算替代浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，可以在保證一定數(shù)值精度的情況下，提高程序的運(yùn)行速度，為利用51系列單片機(jī)產(chǎn)生混沌序列信號提供了一種實(shí)際可行的實(shí)現(xiàn)方法。

參考文獻(xiàn)
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