有源濾波器中的相位關(guān)系考察

在使用濾波器的應(yīng)用中，通常人們對幅值響應(yīng)的興趣要比對相位響應(yīng)的興趣更濃厚。但是，在某些應(yīng)用中，濾波器的相位響應(yīng)也很重要。一個實例是 濾波器用于過程控制環(huán)路中的情形。這里，人們關(guān)心的是總的相移量，因為它影響到環(huán)路的穩(wěn)定性。用來搭建濾波器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是否會造成在某些頻率點處符號出現(xiàn) 相反，是非常重要的。

　　將有源濾波器視為兩個級聯(lián)的濾波器是一個有用的方法。如圖1所示，其中一個濾波器是理想的濾波器，用于體現(xiàn)傳遞函 數(shù);另一個是構(gòu)成濾波器的放大器。在閉環(huán)的負(fù)反饋環(huán)路中所采用的放大器可以被視為一個具有一階響應(yīng)的、簡單的低通濾波器。當(dāng)頻率超過某一點后，增益將隨著 頻率的增長而出現(xiàn)滾降現(xiàn)象。此外，如果放大器使用反相放大結(jié)構(gòu)的話，則所有頻率點上還將出現(xiàn)附加的180°相移。

　　圖1. 以兩個級聯(lián)的傳遞函數(shù)的形式表示的濾波器

　　濾 波器設(shè)計過程可分為兩步。首先選定濾波器的響應(yīng)特性，接下來選出適當(dāng)?shù)碾娐方Y(jié)構(gòu)來實現(xiàn)它。濾波器的響應(yīng)是指衰減曲線的形狀，這常?？梢詺w為經(jīng)典的響應(yīng)特性 中的一種，如Butterworth、Bessel或者某種Chebyshev型。雖然這些響應(yīng)特性的選擇往往會影響幅值響應(yīng)特性，但它們也會影響相位響 應(yīng)特性的形狀。在本文中，為了進(jìn)行比較，忽略幅值響應(yīng)，認(rèn)為其幾乎不變。

　　濾波器的復(fù)雜性往往通過濾波器的“階數(shù)”來定義，該參數(shù)與儲能元 件(電感和電容)的數(shù)量有關(guān)。濾波器傳遞函數(shù)分母的階數(shù)定義了隨著頻率的上升而呈現(xiàn)的衰減速率。漸近線型的濾波器滾降速率為-6ndB/倍頻程，或者 -20ndB/十倍頻程，其中n是極點的數(shù)量。倍頻程是指頻率的二倍或者一半，十倍頻程是頻率的十倍增長或者縮減。因此，一個一階(或者單極點)濾波器的 滾降速率為-6dB/倍頻程或者-20dB/十倍頻程。類似的，一個二階(或者2極點)濾波器的滾降速率為-12dB/倍頻程或者-40dB/十倍頻程。 更高階次的濾波器往往是由級聯(lián)的一階和二階基本單元所構(gòu)成的。自然，我們可以利用單個有源放大電路級來構(gòu)建三階、甚至四階濾波器，但是對于元件值的敏感， 以及元件之間的相互作用對頻率響應(yīng)所造成影響的大幅度上升，會使這些選擇不那么具有吸引力。

　　傳遞函數(shù)

　　首先，我們考察一下傳遞函數(shù)的相位響應(yīng)。對于同樣階數(shù)的濾波器選項來說，它們的傳遞函數(shù)的相移特性都相同。

　　對于單極點、低通的情形，傳遞函數(shù)的相移為φ，由下式給出。

(1)

　　式中：ω = 頻率(弧度/秒)

　　ω0 = 中心頻率(弧度/秒)

　　以弧度/秒為單位的頻率等于2π乘以以Hz為單位的頻率，這是因為每個360°周期對應(yīng)著2π弧度。由于上面的表達(dá)式是一個無量綱的比值，故f和ω都可以采用。

　　中 心頻率還可以被稱為截止頻率(即該單極點、低通濾波器的幅值響應(yīng)特性下降3dB——約30%——的頻率點)。在相位關(guān)系方面，中心頻率是相移量達(dá)到其最終 值-–90°(在這個例子中)的50%時的頻率點。圖2是一幅半對數(shù)圖，描述了公式1所表述的相位響應(yīng)關(guān)系，其頻率范圍是中心頻率以下的兩個十倍頻程至中 心頻率以上的兩個十倍頻程。中心頻率(=1)處的相位移動為–45°。

　　圖2. 一個單極點、低通濾波器在中心頻率附近的相位響應(yīng)(同相，左軸;反相響應(yīng)，右軸) 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle(in-phase)——相角(同相)，Phase Angle(inverted)——相角(反相)

　　 類似的，一個單極點的高通濾波器可以由下式給出：

(2)

　　圖3描繪了公式2所表示的、在中心頻率以下兩個十倍頻程至中心頻率以上兩個十倍頻程這一范圍內(nèi)的響應(yīng)特性。其歸一化的中心頻率(=1)處的相移為+45°。

　　顯然，高通和低通特性類似，只是相互間存在90°的相位差(π/2 radians)

　　圖3. 一個單極點、低通濾波器在中心頻率 1 附近的相位響應(yīng)(同相，左軸;反相響應(yīng)，右軸) 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle(in-phase)——相角(同相)，Phase Angle(inverted)——相角(反相)

　　對于二階、低通的情形，傳遞函數(shù)的相移可以由下式近似表示為

(3)

　　式 中α是濾波器的阻尼比。它將決定幅值響應(yīng)曲線上的峰值以及相位曲線過渡段的陡峭程度。它是電路的Q值的倒數(shù)，這也決定了幅值滾降或相位偏移的陡峭程度。 Butterworth響應(yīng)的α為1.414(Q=0.707)，可以產(chǎn)生最大平坦度響應(yīng)特性。更低的α會使幅值響應(yīng)特性曲線上出現(xiàn)尖峰。

　　圖4. 一個雙極點、低通濾波器的中心頻率 1 附近的相位響應(yīng)(同相，左軸;反相響應(yīng)，右軸) 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle(in-phase)——相角(同相)，Phase Angle(inverted)——相角(反相)

　　圖4描繪了該式所表示的(α=1.414)、在中心頻率以下兩個十倍頻程至中心頻率以上兩個十倍頻程這一范圍內(nèi)的響應(yīng)特性。這里，中心頻率(=1)處出現(xiàn)的相位偏移為–90°。一個2極點、高通濾波器的相位特性響應(yīng)可以由下式近似表示

(4)

　　圖5描繪了該式所表示的響應(yīng)特性(同樣有α=1.414)，其范圍是中心頻率(=1)以下兩個十倍頻程至中心頻率以上兩個十倍頻程，相應(yīng)的相移為

　　圖5. 一個雙極點、高通濾波器的中心頻率 1 附近的相位響應(yīng)(同相，左軸;反相響應(yīng)，右軸) 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle(in-phase)——相角(同相)，Phase Angle(inverted)——相角(反相)

　　同樣的，顯然高通和低通相位響應(yīng)是類似的，僅僅存在180°的相位偏移(π弧度)。在更 高階數(shù)的濾波器中， 每個附加段的相位響應(yīng)都累加到總的相移量之上。這一特性將在下面進(jìn)一步予以討論。為了與通常的實踐保持一致，所示出的相移被限制為±180°的范圍之內(nèi)。 例如，–181° 事實上等價于 +179°，360°等價于0°，依此類推。

　　一階濾波器段

　　一階濾波器段可以以多種方式來構(gòu)建。 圖6示出最簡單的一種結(jié)構(gòu)，即使用無源的R-C架構(gòu)。該濾波器的中心頻率為1/(2πRC)。它之后往往接一個同相的緩沖放大器，以防止濾波器之后的電路 對其產(chǎn)生負(fù)載效應(yīng)，負(fù)載會改變?yōu)V波器的響應(yīng)特性。此外，緩沖器還可以提供一定的驅(qū)動能力。相位響應(yīng)如圖2所示，即在中心頻率點處產(chǎn)生45°的相移，正如傳 遞函數(shù)所預(yù)測的那樣，這是因為沒有另外的元件改變相移特性。這種響應(yīng)特性將被稱為同相、一階、低通響應(yīng)特性。只要緩沖器的帶寬顯著高于濾波器，那么緩沖器 就不會帶來相移。

　　圖6. 無源低通濾波器

　　請記住，這些圖中的頻率值是歸一化的，即相對于中心頻率的比值。例如，若中心頻率是5kHz，則這些圖將展示50Hz到500kHz范圍內(nèi)的相位響應(yīng)特性。

　　圖 7示出另外一種結(jié)構(gòu)。該電路增加了一個并聯(lián)電阻，對積分電容進(jìn)行連續(xù)放電，從根本上來說它是一個有損耗的積分器。其中心頻率同樣是1/(2πRC)。因為 該放大器是以反相模式工作的，故反相模式將在相移特性上引入附加的180°相位。圖2示出了輸入-輸出的相位差隨頻率的變化，其中包括了放大器引入的反相 (右軸)。該響應(yīng)特性將被稱為反相的、一階、低通響應(yīng)。

　　圖7. 利用工作在反相模式的運(yùn)放搭建的有源、單極點、低通濾波器

　　上面所示的電路可以衰減高頻分量而通過低頻分量，均屬于低通濾波器。可以通過高頻分量的電路則與之類似。圖8示出一個無源的一階、高通濾波器電路結(jié)構(gòu)，其相位隨著歸一化頻率的變化特性則示于圖3中(同相響應(yīng))。

　　圖8. 無源高通濾波器

　　圖3(左軸)的曲線被稱為同相、一階、高通響應(yīng)特性。該高通濾波器的有源電路示于圖9中。其相位隨頻率的變化示于圖3中(右軸)。這將被稱為反相、一階、高通響應(yīng)。

　　圖9. 有源、單極點、高通濾波器二階濾波器段

　　二階濾波器有各式各樣的電路結(jié)構(gòu)。這里要討論的是Sallen-Key、多路反饋、狀態(tài)變量結(jié)構(gòu)，及其類似的雙二階濾波結(jié)構(gòu)。它們是最常見的結(jié)構(gòu)，而且與本文的內(nèi)容相關(guān)。關(guān)于各種不同結(jié)構(gòu)的更為完整的信息可參見文后的參考文獻(xiàn)。

　　Sallen-Key低通濾波器

　　廣 泛使用的Sallen-Key結(jié)構(gòu)也被稱為電壓控制電壓源(VCVS)型，是MIT的林肯實驗室(參見文獻(xiàn)3)的R.P. Sallen和 E.L. Key于1955年提出的結(jié)構(gòu)。圖10示出了一個Sallen-Key二階低通濾波器的電路原理圖。這一結(jié)構(gòu)受到廣泛歡迎的一個原因是它的性能基本與運(yùn)放 的性能無關(guān)，因為放大器主要作為一個緩沖器來使用。由于在基本的Sallen-Key電路中，連接成跟隨器的運(yùn)放并不用于產(chǎn)生電壓增益，故對它的增益-帶 寬要求并不重要。這意味著，對于給定的運(yùn)放帶寬而言，與運(yùn)放的動態(tài)特性受到可變反饋環(huán)路特性影響的那些電路結(jié)構(gòu)相比，利用這一固定的(單位)增益可以設(shè)計 出頻率更高的濾波器。通過濾波器后，信號的相位保持不變(同相結(jié)構(gòu))。圖4示出一個Q=0.707(或者，阻尼比α=1/Q=1.414—— Butterworth響應(yīng)特性)的Sallen-Key低通濾波器的相移-頻率關(guān)系圖。為了簡化比較，這將作為下面所考慮的二階濾波器段的性能標(biāo)準(zhǔn)。

　　圖10. 2極點、Sallen-Key低通濾波器

　　Sallen-Key高通濾波器

　　通過互換決定頻率網(wǎng)絡(luò)上的電容和電阻的位置，可將Sallan-Key低通電路變換為高通結(jié)構(gòu)，正如圖11所示的那樣，而且同樣采用單位增益的緩沖器。其相移-頻率關(guān)系示于圖5中(左軸)。這是同相、二階、高通響應(yīng)。

　　圖11. 2極點、Sallen-Key高通濾波器

　　Sallen-Key濾波器的放大器增益可以通過在運(yùn)放反相輸入上連接一個電阻衰減器組成的反饋網(wǎng)絡(luò)來提高。不過，改變增益將影響到?jīng)Q定頻率網(wǎng)絡(luò)的表達(dá)式，而且需要重新計算元件的值。該放大器的動態(tài)特性也需要更嚴(yán)格的考察，因為它們在環(huán)路中引入了增益。

　　多路反饋(Multiple-Feedback，MFB)低通濾波器

　　多 路反饋濾波器是一種單放大器電路結(jié)構(gòu)，反饋環(huán)路是基于運(yùn)放的積分器(反相配置)，如圖12所示。因此，運(yùn)放參數(shù)對傳遞函數(shù)之間的影響要大于 Sallen-Key的實現(xiàn)方案。要產(chǎn)生一個高Q、高頻電路是很困難的，因為運(yùn)放在高頻段的開環(huán)增益有限。一條指導(dǎo)方針是，運(yùn)放的開環(huán)增益應(yīng)該至少比諧振 (或者截止)頻率處的幅值響應(yīng)高出20dB(即10倍于之)，包括濾波器的Q值造成的峰值。由于Q值而造成的尖峰將具有如下的幅值

(5)

　　式中：H是電路的增益。

　　圖12. 2極點、多路反饋(MFB)、低通濾波器

　　該 多路反饋濾波器會使信號反相。這等價于讓濾波器自身的相移增加了180°。圖4示出了相位-頻率變化關(guān)系(右軸)。這將被稱為反相、二階、低通響應(yīng)。值得 注意的是，在得到給定響應(yīng)特性的條件下，多路反饋結(jié)構(gòu)中的最大和最小元件值之間的差異要大于Sallen-Key實現(xiàn)方案中的。

　　多路反饋(MFB)、高通濾波器

　　上面關(guān)于多路反饋、低通濾波器的評述也適用于高通的情形。圖13示出一個多路反饋、高通濾波器的原理圖，其理想的相移-濾波特性則示于圖5中(右軸)。這被稱為反相、二階、高通響應(yīng)特性。

　　圖13. 2極點、多路反饋(MFB)高通濾波器

　　要保證這種濾波器的具體電路實現(xiàn)在高頻情況下的穩(wěn)定性是十分困難的，因為它是在一個微分器的基礎(chǔ)上構(gòu)建的，與所有的微分器電路所類似的是，它在更高的頻率上閉環(huán)增益更大，因此會對噪聲產(chǎn)生放大作用。

　　狀態(tài)變量型濾波器

　　圖14示出了一種狀態(tài)變量實現(xiàn)方案。該結(jié)構(gòu)是最靈活和最精確的實現(xiàn)方案，付出的代價是電路元件的數(shù)量大大增加，其中包括了3個運(yùn)放。所有3個主要的參數(shù)(增益、Q和ω0)都可以獨(dú)立調(diào)節(jié)，而且可以同時提供低通、高通和帶通輸出。該濾波器的增益也是獨(dú)立的變量。

　　由于狀態(tài)變量濾波器的所有參數(shù)都可以獨(dú)立調(diào)節(jié)，故其元件值的散布變得很小。而且由于溫度和元件公差所帶來的失配也可以最小化。與上面的多路反饋電路類似的是，積分器部分所使用的運(yùn)放的增益帶寬積也成為電路的限制條件。

　　圖14. 2極點、狀態(tài)變量濾波器

　　其中低通濾波段的相移-頻率特性屬于一個反相的二階型響應(yīng)(參見圖4，右軸)，高通段電路將具有反相高通響應(yīng)(參見圖5，右軸)。

　　雙二階(biquad)

　　狀 態(tài)變量濾波器的一個近親是雙二階型(參見圖15)。該電路的名稱最早是由J. Tow于1968年使用的(見參考文獻(xiàn)6)，后來由L.C. Thomas 于1971年使用(見文獻(xiàn)5)，其工作是基于如下的事實：傳遞函數(shù)是兩個二階項之比。該電路與狀態(tài)變量電路之間存在輕微的區(qū)別。在這一結(jié)構(gòu)中，不能提供單 獨(dú)的高通輸出。不過它具有兩路低通輸出，其中一路是同相的(LOWPASS1)，另一路是反相的(LOWPASS2)。

　　圖15. 標(biāo)準(zhǔn)的雙二階2極點電路

　　由于添加了第四個放大器電路，故可以實現(xiàn)高通、陷波(低通、標(biāo)準(zhǔn)和高通)以及全通型濾波器。圖16示出一個帶有高通電路的雙二階電路的原理圖。

　　圖16. 2極點雙二階濾波器(帶有高通段)

　　其中LOWPASS1段的相移-頻率特性屬于同相、二階、低通型響應(yīng)(參見圖4的左軸)。LOWPASS2段將具有反相的二階型響應(yīng)(參見圖4，右軸)。HIGHPASS段的相移特性屬于反相特性(參見圖5，右軸)。結(jié)論

　　我們已經(jīng)看到用于構(gòu)建一個濾波器的拓?fù)鋵⒂绊懫鋵嶋H的相位響應(yīng)。這會是確定所用的拓?fù)鋾r需要考慮的一個因素。表1對本文中討論的各種低通濾波器結(jié)構(gòu)的相移范圍進(jìn)行了比較。

　　相移特性隨Q的變化特性

　　上述的2階響應(yīng)的Q值都是0.707。圖17示出了Q的變化對低通濾波器的相位響應(yīng)的影響(對高通濾波器的影響也 類似)。圖中繪出了Q = 0.1，0.5，0.707，1，2，5，10和20時的相位響應(yīng)曲線。值得注意的是，Q值較低的情況下，在遠(yuǎn)低于截止頻率的頻率上相位就開始發(fā)生變化。

　　圖17. 相移隨Q值的變化特性

　　雖然幅值響應(yīng)隨Q值的變化并非本文的主題，但也是一個令人感興趣的問題。圖18示出了Q值在上述范圍內(nèi)變化時一個2階濾波器的幅值響應(yīng)特性。

　　當(dāng) 高Q電路應(yīng)用于多級濾波器時，高Q電路的響應(yīng)特性的尖峰現(xiàn)象也是令人感興趣的問題。雖然在理論上這些電路段以何種順序來級聯(lián)并無差異，而在實踐中，把Q值 較低的電路段置于高Q電路段之前將更為有利，這是為了讓尖峰現(xiàn)象不致于超出濾波器的動態(tài)范圍。雖然該圖是針對低通段的，但高通響應(yīng)也存在類似的尖峰。

　　圖18. 隨著Q值的變化，2極點濾波器的幅值尖峰特性的變化