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[導(dǎo)讀]N為合數(shù)的FFT算法

上面討論的以2為基(即N=2M)的時(shí)間抽選和頻率抽選FFT算法,由于具有程序簡單、 計(jì)算效率高、對存儲量要求不很高等優(yōu)點(diǎn),因而在實(shí)際中得到了最廣泛的應(yīng)用。如果N不等于 2的冪2M,通常有兩種處理辦法:
(1)用補(bǔ)零的辦法將x(n)延長為2M。例如N=60,可在序列x(n)的末尾填補(bǔ)4個(gè)0,即 令x(60)=x(61) =x(62)=x(63)=0,使N達(dá)到26=64,這樣就可使用基2FFT算法。有限長序列補(bǔ)零以后,只是頻譜的取樣點(diǎn)有所增加而不會影響它的頻譜X(ejω)的形狀。
(2)采用以任意數(shù)為基數(shù)的FFT算法。
設(shè)N等于兩個(gè)整數(shù)p和q 的乘積,即N=p·q,則可將N點(diǎn)DFT分解成p個(gè)q點(diǎn)DFT或q個(gè)p點(diǎn)DFT來計(jì)算。為此,首先將x(n) 分為p組,每組長為q,即

從而說明:一個(gè)N=p·q點(diǎn)的DFT可以用p個(gè)q點(diǎn)DFT來組成,如下圖所示。

在最一般的情況下,設(shè)
     N=p1p2···pm,其中p1~pm是m個(gè)素因子。首先把N分解為兩個(gè)因子,即N=p1q1,其中q1=p2p3···pm,并用以上討論的方法將DFT分解為p1個(gè)q1點(diǎn)DFT; 然后,將q1分解為q1=p2q2,其中q2=p3p4···pm,即將每一個(gè)q1點(diǎn)DFT分解為p2個(gè)q2 點(diǎn)DFT;這樣,通過m次分解,最后達(dá)到pm點(diǎn) DFT。這種算法可以使DFT的運(yùn)算獲得最高效率。

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