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[導讀]列表化簡邏輯函數(shù)技術(shù)

1、概述

在設計邏輯電路圖時,由真值表直接得到的函數(shù)往往比較復雜。代數(shù)法和卡諾圖法等方法對于變量數(shù)目較多的邏輯函數(shù)則效果不佳,本文介紹一種可以化簡復雜邏輯函數(shù)的方法──表格法,該方法可以對變量數(shù)目較多的邏輯函數(shù)也可以進行化簡。

2、原理

在介紹化減法之前,先說明三個概念:

蘊涵項──在函數(shù)的任何積之和式中,每個乘積項稱為該函數(shù)的蘊涵項。對應于卡諾圖中的任一標1單元(最小項)以及2m個相鄰單元所形成的圈都是函數(shù)的蘊涵項。

素項──若函數(shù)的一個蘊涵項不是該函數(shù)中其它蘊涵項的一個子集,則此蘊涵項稱為素蘊涵項,簡稱素項。

實質(zhì)素項──若函數(shù)的一個素項所包含的某一最小項,不包括在該函數(shù)的其它任何素項中則此素項稱為實質(zhì)素蘊涵項,簡稱實質(zhì)素項。

列表化簡法的基本原理是利用邏輯函數(shù)的最小項,通過對相鄰最小項的合并,消去多余變量因子,獲得邏輯函數(shù)的最簡式的。列表化簡法的思路是先找出給定函數(shù)F的全部素項,然后找出其中的實質(zhì)素項;若實質(zhì)素項不能覆蓋F的所有最小項,則進一步找出所需素項,以構(gòu)成F的最簡素項集。

下面用列表化簡法將下列函數(shù)化簡為最簡與或表達式。

F(A,B,C,D)=Σ(0,3,4,5,6,7,8,10,11)

3、建立素項表

首先,找出給定函數(shù)的全部素項。

(1)先將每個最小項所對應的二進制數(shù)按其“1”的個數(shù)分組得表1;

表1 最小項

組號

項號

二進制數(shù)

0

0

0000

1

4

8

0100

1000

2

3

5

6

10

0011

0101

0110

1010

3

7

11

0111

1011

(2)將表1中的相鄰兩個組之間二進制數(shù)進行比較、合并得到一次化簡結(jié)果,稱為一次乘積項,其項號記為i(j-i),其中i為最小項中的小項號,j為最小項中的大項號,得表2;

表2 一次乘積項

組號

項號

二進制數(shù)

0

a0(4)

b0(8)

0-00

-000

1

4(1)

4(2)

c8(2)

010-

01-0

10-0

2

d3(4)

e3(8)

5(2)

6(1)

f10(1)

0-11

-011

01-1

011-

101-

(3)再將表2中的相鄰兩組內(nèi)的二進制數(shù)進行比較、合并、便得到第二次化簡結(jié)果,稱為二次乘積項,其項號記為i(n,m),其中i為兩個一次乘積項中的小項號,n為原最小項的項號差,m為一次乘積項的項號差,得表3;

表3 二次乘積項

組號

項號

二進制數(shù)

1

g4(1,2)

4(2,1)

01--

01--

不能與其它一次乘積項合并的一次乘積項是素項,分別以a,b,c,d,e,f記之,不能合并的二次乘積項也是素項,以g記之。

4、實質(zhì)素項

建立實質(zhì)素項產(chǎn)生表,找出實質(zhì)素項。

先用×標出每個素項覆蓋最小項的情況,再找出實質(zhì)最小項5、6,在×上標括號以示區(qū)別,可找出對應實質(zhì)素項g,在其前標*,最后一行用“V”標出實質(zhì)素項覆蓋最小項的情況,可看出還有最小項0、3、8、10、11未被覆蓋。如表4所示。

表4實質(zhì)素項產(chǎn)生式

最小項

素項

0

3

4

5

6

7

8

10

11

a0(4)

X

 

X

           

b0(8)

X

         

X

   

c8(2)

           

X

X

 

d3(4)

 

X

     

X

     

e3(8)

 

X

           

X

f10(1)

             

X

X

*g4(1,2)

   

X

X

X

X

     

覆蓋情況

   

V

V

V

V

     

5、素項產(chǎn)生式

第三步:建立所需素項產(chǎn)生表,找出所需素項,所需素項集應覆蓋所有未被實質(zhì)素項覆蓋的最小項,得表5。再用行列消去法來找,選優(yōu)勢行b0(8),e3(8),劃去劣勢行a0(4)及d3(4)得表6,再選最小項為0、3的劣勢列,劃去最小項為8,11的優(yōu)勢列,得表7。找出新的實質(zhì)素項b,e,取該兩項作為所需素項后,尚有最小項10未被覆蓋,可選取c或f求得所需素項集為(b,e,c)或(b,e,f),

表5

最小項

素項

0

3

8

10

11

a0(4)

       

b0(8)

 

   

c8(2)

   

 

d3(4)

 

     

e3(8)

 

   

f10(1)

     

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表6

最小項

素項

0

3

8

10

11

b0(8)

X

 

X

   

c8(2)

   

X

X

 

e3(8)

 

X

   

X

f10(1)

     

X

X

 表7

最小項

素項

0

3

10

**b0(8)

(X)

   

c8(2)

   

X

**e3(8)

 

(X)

 

f10(1)

   

X

得F=g+b+c+e=AB+BCD+ABD+BCD

或F=g+b+e+f=AB+BCD+BCD+ABC

6、結(jié)論

通過上面介紹可以看出,邏輯化簡能否以最快的速度進行,從而得到最簡的邏輯表達式,與化簡者的經(jīng)驗和對公式、方法掌握與運用的熟練程度有密切關(guān)系;而列表化簡法思路清晰、準確,有規(guī)律可循,可得到多種可能答案,但化簡過程比較繁瑣,適宜于用微機處理并實現(xiàn)。

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