二階濾波器響應(yīng)

二階濾波器的重要性不僅僅是在于他們本身，而且還在于他們是構(gòu)造高階濾波器的重要組成部分，因此本篇主要學(xué)習(xí)關(guān)于二階濾波器的理論及其響應(yīng)的特性。

對(duì)于二階濾波器都可以表示成如下的標(biāo)準(zhǔn)形式，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)于下面討論二階濾波器的響應(yīng)是很有理解作用的，其中式中 ω0 為無(wú)阻尼自然頻率，N(s)為一個(gè)m≤2的多項(xiàng)式。

H(s)的分母函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)可以計(jì)算出來(lái)為

關(guān)于ξ的函數(shù)，根軌跡如下圖所示，其中有下面的四種情況

1.當(dāng)ξ>1，極點(diǎn)為實(shí)數(shù)并且為負(fù)數(shù)，自然響應(yīng)是由兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)組成，這別稱作為過(guò)阻尼。

2.當(dāng)0<ξ<1，極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)根，可以表示為p1,2=-ξω0±jω0sqr(1-ξ^2),這些極點(diǎn)都位于左半平面，此時(shí)稱為欠阻尼，欠阻尼狀態(tài)也是二階濾波器中經(jīng)常要保證的狀態(tài)。

3.當(dāng)ξ=0，p1,2=±jω0這表明這兩個(gè)極點(diǎn)恰好都在虛軸上，自然響應(yīng)式一個(gè)恒定不變的未受衰減的正弦信號(hào)，他的頻率為ω0這也是ω0名稱的由來(lái)。

4.當(dāng)ξ<0,極點(diǎn)位于右半平面，響應(yīng)為發(fā)散的，因此濾波器為了保持穩(wěn)定必須有ξ>0.

s→jω0可以得到如下的頻率響應(yīng)，其中的Q值將會(huì)在濾波器的特性中起到關(guān)鍵性的作用。

二階響應(yīng)，可以高頻漸進(jìn)線的陡峭程度增加了兩倍斜率，還能對(duì)w/w0=1附近頻域的幅度形狀調(diào)節(jié)增加了自由度，在實(shí)際應(yīng)用中，Q值的范圍為0.5~100，對(duì)于不同的Q值幅度如下圖所示，對(duì)于低Q值而言，從一條漸近線到另一條的過(guò)度時(shí)平緩的，對(duì)于高Q值，在w/w0=1的附近頻帶內(nèi)有|Hlp|>1，這種現(xiàn)象稱為峰化?？梢宰C明，在出現(xiàn)峰化之前，Q的最大值是Q=0.707.他響應(yīng)曲線稱為最大平伏或者稱為巴特沃茲響應(yīng)，在巴特沃茲響應(yīng)中w0的意義與一階響應(yīng)情況一致，都代表了-3dB頻率，也稱作截止頻率。

N(s)對(duì)于濾波器的影響是濾波器的性質(zhì)，下面的幾個(gè)式子分別為幾種不同特性的濾波器的表達(dá)式

低通濾波器

高通濾波器

帶通濾波器

帶阻濾波器

全通濾波器