時變磁場中的電路分析

歐姆定律和Kirchhoff電壓定律(KVL)是進行常規(guī)電路分析(網(wǎng)格分析)的強有力的工具。然而，如果電路中存在時變磁場，則必須采用法拉第定律。為了計算時變磁場導(dǎo)致的額外電流，必須在歐姆定律和KVL中增加一項。將法拉第定律引入電路分析等式將導(dǎo)致意想不到的異?，F(xiàn)象：電路的兩個結(jié)點之間看似同時存在兩個電壓，并且電壓似乎取決于電壓表探針的位置。

非時變磁場中的電路分析(回顧)

不存在磁場時，通常用KVL和歐姆定律基于網(wǎng)格技術(shù)進行電路分析。如一般課本中所述，KVL指出閉合回路中各段電壓的代數(shù)和等于零(式1)。

考慮圖1所示電路磁場關(guān)閉時的情況。如果用電壓表測量回路中任一元件兩端的電壓，則所有電壓的總和等于零，和KVL (式2)所指出的一致。(注意：如果以順時針為計算參考方向，則電阻兩端電壓為負。)

圖1. 為說明隨時間變化磁場的影響，考慮一個簡單的閉合回路(由一個電池和兩個電阻器組成)在有或無磁場時的響應(yīng)。

可用歐姆定律和KVL求出圖1中的參數(shù)值。首先，將式3和4代入式2，得到計算回路電流的等式。 然后根據(jù)式5計算出電流。

注意：KVL可以寫成積分形式。電磁理論課本中將電壓定義為電場(E)沿路徑(dl) (如圖1中結(jié)點A到結(jié)點C)的向量積分(式6)。不存在磁場時，從結(jié)點A沿C到E再回到A的圍線積分等于零(式7)。因此，Kirchhoff電壓定律可以寫成積分形式：電場的圍線積分等于零。

時變磁場中的電路分析

現(xiàn)在，打開圖1中的磁場。該磁場隨時間變化，將在回路中產(chǎn)生電流，這種情況下要使用法拉第定律。法拉第定律的定義為：感應(yīng)電動勢沿閉合回路切向方向的積分等于穿過該閉合回路的磁通量的變化率(式8)：

其中B是磁場，A是該閉合回路的截面積，F(xiàn)是通過該區(qū)域的總磁通量。電感電流的方向取決于磁場方向。如圖1所示，如果變化的磁場方向是指向頁面外，則產(chǎn)生的電流為順時針方向。這時的總電流是電池電流(I_U1)和磁感應(yīng)電流(I_MAG)的總和：

此時必須對歐姆定律進行修改(擴展)，以計算額外的電流：

KVL也必須擴展。比較式1、式7和式8可以看出，在式1的右側(cè)增加一個-d/dt項即可擴展KVL：

重新整理等式2至5，使之包括隨時變磁場的分量：

這樣一來，等式1至5已擴展為等式11至15，可以用來計算磁場產(chǎn)生的電流。等式11是擴展后的KVL定律，等式15是擴展后的歐姆定律，d/dt項的符號表示電流的方向。這些等式看似很簡單，但描述的現(xiàn)象似乎互相矛盾。

使用等式12至15， 考慮分析圖1所示帶有時變磁場的電路。 電壓U₁ (結(jié)點A-F)為V_AF = U₁。 但是，V_AF也等于回路電流乘以兩個電阻的阻值：

結(jié)點A-F現(xiàn)在有兩種可能的電壓。實際上，圖1中包含一個元件的每對結(jié)點都有兩種可能的電壓。參見等式16至25。為進行簡單的比較，任意設(shè)置U₁ = 2V， d/dt = 1V， R₁ = 2k， R₂ = 4k . 那么，由等式15可得回路電流為0.5mA.

結(jié)點B-C需特別關(guān)注，因為通過R₁的電流是非零的，然而其兩端的電壓可以為零。與之類似，結(jié)點E-F是一根短接線(零歐姆)，然而其上的電壓卻是非零的。那么究竟哪個電壓正確？根據(jù)數(shù)學理論可以得到答案。這兩個電壓同時存在! 從數(shù)學上來說，得到的電壓取決于測量時采用的積分路徑。切記電壓是電場沿特定路徑的向量積分。如果存在一個時變磁場，則積分是由路徑而定的。簡而言之，電壓取決于測量電路(電壓表)與結(jié)點的連接方式。

如圖2所示，用電壓表#1在左側(cè)測量結(jié)點A-F，測得U₁ = 2V。相反，用電壓表#2在右側(cè)測量結(jié)點A-F (B-E同A-F一樣)，結(jié)果如下：

圖2. 用兩個電壓表測量同一對結(jié)點，但測得的電壓不同。電壓表#1測得的是U₁中電場的積分，電壓表#2測得的是R₁和R₂中電場的積分。

與常見誤解相反的是，產(chǎn)生的電壓并非分布在連接電阻器的導(dǎo)線中，而是在電阻器之內(nèi)。導(dǎo)線中的電場積分是零，因此導(dǎo)線兩端電壓為零。將電壓表#1探針的接觸點從A滑向B，實驗證明連接導(dǎo)線上的電壓降為零。因此，電壓表#1的電壓不變。同樣，探針接觸點從F滑向E時電壓表#1電壓不變。對電壓表#2進行同樣的操作：探針觸點從B到A或從E到F時讀數(shù)不變。注意電壓表探針位置應(yīng)合適，使磁場干擾減到最小。

測得的電壓看似取決于探針位置。電壓表#1的作用像一個電場積分器，對電池U₁的電場進行積分。電壓表#2對R₁和R₂中的電場進行積分。選擇不同的積分路徑，測量出的電壓也不同。

可以用另一個例子來證明電壓對位置的這種依賴性。考慮圖3所示電路，當音頻信號(1kHz正弦波)被音量控制電位器(R₁)衰減并饋送到音頻放大器時，用頻譜分析儀分析其輸出。旁邊的一個電動機會在由R₁和音頻信號源形成的回路中產(chǎn)生磁場干擾。為簡化電路，R₁用串聯(lián)的1k和10k電阻器替換; 磁通量穿過的回路面積被有意擴大至一平方英寸。對以下兩種物理布局進行了測試(圖4)。

圖3. 用來演示電磁干擾如何降低音頻質(zhì)量的音頻應(yīng)用電路。

圖4. 從10k電阻器附近引出地線(a)或在回路頂層設(shè)置地線(b)，音量控制電路的物理布局對電磁干擾有影響。

圖5a和5b給出了音頻放大器的輸出頻譜曲線。兩種情況下使用同一個1kHz音頻測試信號，但300Hz電機干擾的振幅僅取決于地線連接方式。采用圖4a所示連接時電磁干擾最嚴重(-62dBc)，這時音頻放大器接收的干擾電壓來自10k電阻器(圖5a)。音頻放大器等效為電場積分器，對10k電阻器中的電場進行積分。另一方面，圖5b (在圖4b基礎(chǔ)上的輸出頻譜)顯示的是來自1k電阻器的干擾電壓。該曲線的干擾較小(-78.5dBc)，表明有16.5dB的改善。(期望的干擾差值是20dB，因為電阻器比是10:1。然而，音頻放大器輸入阻抗的負載效用降低了干擾振幅，如圖5a。)

圖5a. 圖4a電路中來自電動機的電磁干擾導(dǎo)致300Hz處出現(xiàn)一個峰值，低于音頻測試信號約62dBc。

圖5b. 圖4b電路中來自電動機的電磁干擾導(dǎo)致300Hz處出現(xiàn)一個峰值，低于音頻測試信號約78.5dBc - 比圖5a電路減小了16.5dB。

這一現(xiàn)象以實驗的方式驗證了附錄A中兩個電壓的數(shù)學推導(dǎo)過程。注意兩個結(jié)點之間的電壓并無明確定義;它可以是兩電壓之一，具體取決于導(dǎo)線的排布。該實驗表明，兩結(jié)點之間的電壓不再是一個簡單的代數(shù)表達式，而是沿一個給定路徑對電場向量的積分。由于積分取決于路徑或位置，因此沿不同積分路徑將產(chǎn)生不同的電壓。上文中所述的等式9至15不能清楚地揭示出電壓對位置的依賴性，使用時必須謹慎。

存在電磁干擾時的PCB布局

重申上文結(jié)論，來自某些元件(如電動機和開關(guān)電源中的功率電感)的電磁干擾可能導(dǎo)致系統(tǒng)噪聲。良好的PCB布局可使這種干擾減到最小。

規(guī)則#1: 使磁性元件遠離噪聲敏感電路。規(guī)則#2: 將回路中的電子元件(IC，電阻器，電容器等)布局在一起，以使回路面積減到最小。規(guī)則#3: 用經(jīng)過上文分析確認能將電磁干擾降至最低的的方式連接地線。規(guī)則#4: 如果規(guī)則#3中地線的連接方式不容易被確認，則改為使用大面積地平面。實驗表明，大面積地平面可降低電磁干擾。

結(jié)束語

如果不存在時變磁場，則可以放心地用Kirchhoff電壓定律和歐姆定律進行電路分析。但如果存在這樣的磁場，則必須借助法拉第定律擴展KVL和歐姆定律。如上文所述，時變磁場可導(dǎo)致一對結(jié)點之間同時出現(xiàn)兩個電壓。雙電壓的影響似乎取決于電壓表探針的位置，這使得該“電壓”很不確定。兩結(jié)點之間的電壓不再單純以代數(shù)或數(shù)字形式表達，而是一個復(fù)合向量積分，還和路徑相關(guān)。因此，了解磁場如何導(dǎo)致電路中的噪聲可幫助PCB設(shè)計人員更好的放置元件以使電磁干擾減到最小。

附錄A

為簡單起見，我們設(shè)置圖1中的U₁為零。(然而，在以下討論中U₁可以不必為零。)根據(jù)圖1重新畫出圖A1，圖中帶有電壓表并存在一個時變磁場。

圖A1. 該電路顯示時變磁場如何導(dǎo)致結(jié)點A-B之間出現(xiàn)兩個不同電壓，如兩個電壓表測量所示。

圖A1中電阻器兩端電壓可以用法拉第定律和歐姆定律得出。我們將電壓定義為電場強度(E)沿路徑dl (從結(jié)點A到B，沿路徑C)的向量積分的內(nèi)積。根據(jù)圖A1，從等式A1和A2可以求出V₁和V₂。

從V₁減去V₂得到等式A3。將該等式右側(cè)項的積分路徑改為從B到A (而不是從A到B)，同時該項的符號也跟著改變，等式A3變?yōu)榈仁紸4。

等式A4的右側(cè)是電場圍繞包含磁場的閉合回路一周的圍線積分(用磁通量密度B表示)。根據(jù)法拉第定律，等式A5與等式A4是等效的。

因此可以得出下式：

其中A是回路面積，是通過該區(qū)域的總磁通量。為簡單起見，假設(shè)磁場隨時間線性增加，則d/dt = 。

流過兩個電阻器的電流是相同的，并且等式A7通過歐姆定律給出了電壓降與電流的關(guān)系。注意其方向與電流的積分方向一致。將等式A7兩邊的積分路徑都改為從結(jié)點A到B，并給R₁項增加一個負號，重新整理后得到等式A8。

由于C1和C1'形成的閉合回路不包括磁場，因此沿路徑C1的積分與沿C1'積分相同。同樣，C2'可以用C2替換。然后將V₁和V₂的表達式(等式A₁和A₂)代入等式A8，得到等式A9。最后得出聯(lián)立等式A6和A9，從而得到我們想要的電壓V₁和V₂的表達式(等式A10和A11)。

注意V₁和V₂的極性是相反的。 另外，電阻器兩端電壓是電場沿某路徑的積分。如果d/dt 0，則積分值與路徑相關(guān)。這種效果是非守恒電場所導(dǎo)致的。從結(jié)點A到B沿路徑C1對電場積分(圖A1)，可以得到一個與沿路徑C2積分不同的值。因此，測得的電壓取決于電壓表所監(jiān)測的路徑。

參考文獻

¹Robert H. Romer, "What do 'Voltmeters' Measure? Faraday's Law in a Multiply-Connected Region," American Journal of Physics. Vol. 50, No. 12 (Dec. 1982), pp. 1089-1093.