DFT概述

離散傅里葉變換(DFT)，是傅里葉變換在時(shí)域和頻域上都呈現(xiàn)離散的形式，將時(shí)域信號(hào)的采樣變換為在離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)頻域的采樣。在形式上，變換兩端(時(shí)域和頻域上)的序列是有限長(zhǎng)的，而實(shí)際上這兩組序列都應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是離散周期信號(hào)的主值序列。即使對(duì)有限長(zhǎng)的離散信號(hào)作DFT，也應(yīng)當(dāng)將其看作經(jīng)過(guò)周期延拓成為周期信號(hào)再作變換。在實(shí)際應(yīng)用中通常采用快速傅里葉變換以高效計(jì)算DFT。

DFT的一個(gè)重要特點(diǎn)就是隱含的周期性,從表面上看,離散傅里葉變換在時(shí)域和頻域都是非周期的,有限長(zhǎng)的序列,但實(shí)質(zhì)上DFT是從DFS引申出來(lái)的,它們的本質(zhì)是一致的,因此DTS的周期性決定DFT具有隱含的周期性?？梢詮囊韵氯齻€(gè)不同的角度去理解這種隱含的周期性(1)從序列DFT與序列FT之間的關(guān)系考慮X(k)是對(duì)頻譜X(ejω)在[0,2π]上的N點(diǎn)等間隔采樣，當(dāng)不限定k的取值范圍在[0,N-1]時(shí)，那么k的取值就在[0,2π]以外，從而形成了對(duì)頻譜X(ejω)的等間隔采樣。由于X(ejω)是周期的，這種采樣就必然形成一個(gè)周期序列(2)從DFT與DFS之間的關(guān)系考慮。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) WNexp^nk，當(dāng)不限定N時(shí)，具有周期性(3)從WN來(lái)考慮，當(dāng)不限定N時(shí)，具有周期性

OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)即正交頻分復(fù)用技術(shù)，實(shí)際上OFDM是MCM(Multi Carrier Modulation)，多載波調(diào)制的一種。通過(guò)頻分復(fù)用實(shí)現(xiàn)高速串行數(shù)據(jù)的并行傳輸, 它具有較好的抗多徑衰弱的能力，能夠支持多用戶(hù)接入。OFDM技術(shù)由MCM(Multi-Carrier Modulation，多載波調(diào)制)發(fā)展而來(lái)。OFDM技術(shù)是多載波傳輸方案的實(shí)現(xiàn)方式之一，它的調(diào)制和解調(diào)是分別基于IFFT和FFT來(lái)實(shí)現(xiàn)的，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度最低、應(yīng)用最廣的一種多載波傳輸方案。

(1)時(shí)域和頻域混疊根據(jù)采樣定理，只有當(dāng)采樣頻率大于信號(hào)最高頻率的兩倍時(shí)，才能避免頻域混疊。實(shí)際信號(hào)的持續(xù)時(shí)間是有限的，因而從理論上來(lái)說(shuō)，其頻譜寬度是無(wú)限的，無(wú)論多 大的采樣頻率也不能滿(mǎn)足采樣定理。但是超過(guò)一定范圍的高頻分量對(duì)信號(hào)已沒(méi)有多大的影響，因而在工程上總是對(duì)信號(hào)先進(jìn)行低通濾波另一方面，DFT得到的頻率函數(shù)也是離散的，其頻域抽樣間隔為F0，即頻率分辨力。為了對(duì)全部信號(hào)進(jìn)行采樣，必須是抽樣點(diǎn)數(shù)N滿(mǎn)足條件N=T0/T=fs/F0從以上兩個(gè)公式來(lái)看，信號(hào)最高頻率分量fc和頻率分辨力F0有矛盾。若要fc增加，則抽樣間隔T就要減小，而FS就要增加，若在抽樣點(diǎn)數(shù)N不變的情況下，必然是F0增加，分辨力下降。唯一有效的方法是增加記錄長(zhǎng)度內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N，在fc和F0給定的條件下，N必須滿(mǎn)足N>2fc/F0(2)截?cái)嘈?yīng)在實(shí)際中遇到的序列x(n)，其長(zhǎng)度往往是有限長(zhǎng)，甚至是無(wú)限長(zhǎng)，用DFT對(duì)其進(jìn)行譜分析時(shí)，必須將其截?cái)酁殚L(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列Y(n)=x(n).RN(n)根據(jù)頻率卷積定理Y(e)=1/2Πx(e)*H(e)|ω|<2π/N叫做主瓣，其余部分叫做旁瓣

(3)頻譜泄露原序列x(n)的頻譜是離散譜線(xiàn)，經(jīng)截?cái)嗪笫姑扛V線(xiàn)都帶上一個(gè)辛格譜，就好像使譜線(xiàn)向兩邊延申，通常將這種是遇上的截?cái)鄬?dǎo)致頻譜展寬成為泄露，泄露使得頻譜變得模糊，分辨率降低(4)譜間干擾因截?cái)嗍怪髯V線(xiàn)兩邊形成許多旁瓣，引起不同分量間的干擾，成為譜間干擾，這不僅影響頻譜分辨率，嚴(yán)重時(shí)強(qiáng)信號(hào)的旁瓣可能湮滅弱信號(hào)的主譜線(xiàn)。截?cái)嘈?yīng)是無(wú)法完全消除的，只能根據(jù)要求折中選擇有關(guān)參量。(5)柵欄效應(yīng)N點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間[0,2π]上對(duì)信號(hào)的頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，得到的是若干個(gè)離散點(diǎn)X(k)，且它們之限制為基頻F0的整數(shù)倍，這部好像在柵欄的一邊通過(guò)縫隙看另一邊的景象，只能在離散點(diǎn)的地方看到真實(shí)的景象，其余部分頻譜成分被遮攔，所以稱(chēng)為柵欄效應(yīng)。減小柵欄效應(yīng)，可以在時(shí)域數(shù)據(jù)末端增加一些零值點(diǎn)，是一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn)數(shù)增加(6)信號(hào)長(zhǎng)度的選擇在時(shí)域內(nèi)對(duì)信號(hào)長(zhǎng)度的選擇會(huì)影響DFT運(yùn)算的正確性。實(shí)際的信號(hào)往往是隨機(jī)的，沒(méi)有確定的周期，因此在實(shí)際中，應(yīng)經(jīng)可能估計(jì)出幾個(gè)典型的、帶有一定周期性的信號(hào)區(qū)域進(jìn)行頻譜分析，然后在取其平均值，從而得到合理的結(jié)果。