濾波器從廣義上來說對特定的頻點或頻點以外的頻率進行有效濾波的電路，這種電路保留輸入信號中的有用信息，濾除不需要的信息，從而達到信號的檢測、提取、識別等不同的目的。如果處理的信號是時域離散信號，那么相應的處理系統(tǒng)就稱為數(shù)字濾波器，由于在實際工作中被處理的信號都是幅度量化的數(shù)字信號，因此，數(shù)字濾波器實際上是用有限精度的算法實現(xiàn)一個線性時不變的時域離散系統(tǒng)。目前，數(shù)字濾波器的應用越來越廣泛，它已深入到很多領域，如圖象處理、醫(yī)學生物信息處理、地質信號處理和模式識別處理等。
數(shù)字濾波器的種類很多，分類方法也不同，可以從功能上分類，也可以從實現(xiàn)方法上及設計方法上來分類等等。濾波器在功能上總的可分為四類，即低通(LP)、高通(HP)、帶通(BP)、帶阻(BS)濾波器等，從實現(xiàn)方法上，由有限長沖激響應的數(shù)字濾波器被稱為FIR濾波器，具有無限長沖激響應的數(shù)字濾波器稱作IIR濾波器。
1 IIR濾波器的設計
1．1 雙線性變換法的基本原理
本文中用的是雙線性變換法，因此這里簡單介紹一下。雙線性變換法的S域與Z域間的變換關系為：
由式(1)可以看出，z和s之間可以直接代換，由于這是一非線性變換，需考察一下是否能把jΩ映射成單位圓，以及是否能將s域左半平面映射到單位圓內部。
對于5平面上的虛軸jΩ，用s=jΩ代入式(1)得：
可見：
上式表明S平面與Z平面一一單值對應，S平面的虛軸(整個jΩ)經(jīng)映射后確已成為z平面上的單位圓，但Ω與為非線性關系，因此，通過雙線性變換后兩個濾波器的頻率特性形狀不能保持相同，雙線性變換不存在混迭效應。
對于s域的左半平面，用s=σ+jΩ入式(1)，得到：
此式表明，當σ<0，有|z|<1，因而s平面的左半平面被映射在單位圓內部，這意味著穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換可以映射成穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。
1．2 IIR濾波器的設計
IIR數(shù)字濾波器的設計借助模擬濾波器原型，再將模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器，這些過程已經(jīng)成為一整套成熟的設計程序。模擬濾波器的設計已經(jīng)有了一套相當成熟的方法，它不但有完整的公式，而且還有較為完整的圖表查詢，因此，充分利用這些已有的資源將會給數(shù)字濾波器的設計帶來很大的方便。
已知數(shù)字低通濾波器的設計要求wp，ws，Rp和As，首先設計一個等效的模擬濾波器，然后再將它映射為所期望的數(shù)字濾波器來確定H(z)。對這個過程所要求的步驟是：
1)選取T并確定模擬頻率：利用設計參數(shù)Ωp，Ωs，Rp和As，設計一個模擬濾波器Ha(s)；這可以利用模擬濾波器的原型來完成；3)再將(1)代入Ha(s)，求出H(z)。
本文給定數(shù)字濾波器特性為：
對于幅度衰減指標，模擬和數(shù)字是一樣的。綜上（1）、（2），模擬濾波器特性如下：
現(xiàn)在可以開始設計模擬濾波器，進而確定數(shù)字濾波器。下面給出Butterth濾波器逼近的方法。
首先確定階數(shù)N和截止角頻率，根據(jù)指標要求列出：
2 IIR濾波器的MATLAB實現(xiàn)
模擬型濾波器的設計過程，步驟繁瑣，計算量大。在MATLAB中，我們可以直接根據(jù)所給定的數(shù)字濾波器指標調用特定的函數(shù)來確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。具體實現(xiàn)過程如下(程序的主要部分，且只返回數(shù)字濾波器的階數(shù)和截止
頻率)：
為調用階數(shù)選擇函數(shù)，下面的指標已經(jīng)把Wp和Ws對π進行了歸一化，且函數(shù)中返回的頻率也是歸一化頻率。
同理可實現(xiàn)ChebyshevI、ChebyshevII、ellipSe數(shù)字濾波器。Butterworth型和ellipke型系統(tǒng)的幅頻和相頻特性如圖l；ChebyshevI與ChebyshevII系統(tǒng)的幅頻和相頻特性如圖2(頻率為對π歸一化頻率)。
3 結論
從圖中我們可以看出，ButterWorth濾波器的頻率特性是平坦的，沒有出現(xiàn)波動，即幅度隨著頻率單調遞減，它的相頻特性接近于分段特性。而橢圓濾波器幅頻特性存在著波紋(圖中由于坐標比例的關系，只能畫出通帶波紋，阻帶波紋則無法顯示)；同時，它不具備線性相位特性。兩種契比雪夫濾波器的頻率特性如圖所示。從中可知道，這兩種濾波器的幅頻特性都有著波動(其中，由于CII型濾波器是在阻帶中出現(xiàn)等波動，因此無法表示出來)，它們不具備線性相位特性。
為了比較這四種濾波器的性能高低，我們比較了實現(xiàn)相同的指標所需的最低濾波器階數(shù)：Nbutt=14；Nchebl=8；Ncheb2=8；Nelli=6。
這樣可以清楚地看出：ButterWorth濾波器需要最高的階數(shù)14；兩種契比雪夫濾波器所需要的階數(shù)是一樣的8階，說明它們具有相同的性能；而橢圓濾波器具有最小的階數(shù)4，說明它的性能在這個意義上是最優(yōu)的。
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