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[導(dǎo)讀]給出了用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法,并通過(guò)用MATLAB語(yǔ)言來(lái)實(shí)現(xiàn)。雙線性法可以使系統(tǒng)經(jīng)變換后仍保持原有特性,而且這種方法是S域和Z域的單值一一對(duì)應(yīng),克服了頻率交疊產(chǎn)生的混疊效應(yīng);最后使用MATLAB語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)了滿足要求的低通IIR濾波器,從而證明了橢圓濾波器具有最優(yōu)特性。

O 引言
    濾波器從廣義上來(lái)說(shuō)對(duì)特定的頻點(diǎn)或頻點(diǎn)以外的頻率進(jìn)行有效濾波的電路,這種電路保留輸入信號(hào)中的有用信息,濾除不需要的信息,從而達(dá)到信號(hào)的檢測(cè)、提取、識(shí)別等不同的目的。如果處理的信號(hào)是時(shí)域離散信號(hào),那么相應(yīng)的處理系統(tǒng)就稱為數(shù)字濾波器,由于在實(shí)際工作中被處理的信號(hào)都是幅度量化的數(shù)字信號(hào),因此,數(shù)字濾波器實(shí)際上是用有限精度的算法實(shí)現(xiàn)一個(gè)線性時(shí)不變的時(shí)域離散系統(tǒng)。目前,數(shù)字濾波器的應(yīng)用越來(lái)越廣泛,它已深入到很多領(lǐng)域,如圖象處理、醫(yī)學(xué)生物信息處理、地質(zhì)信號(hào)處理和模式識(shí)別處理等。
    數(shù)字濾波器的種類很多,分類方法也不同,可以從功能上分類,也可以從實(shí)現(xiàn)方法上及設(shè)計(jì)方法上來(lái)分類等等。濾波器在功能上總的可分為四類,即低通(LP)、高通(HP)、帶通(BP)、帶阻(BS)濾波器等,從實(shí)現(xiàn)方法上,由有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)的數(shù)字濾波器被稱為FIR濾波器,具有無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)的數(shù)字濾波器稱作IIR濾波器

1 IIR濾波器的設(shè)計(jì)
1.1 雙線性變換法的基本原理

    本文中用的是雙線性變換法,因此這里簡(jiǎn)單介紹一下。雙線性變換法的S域與Z域間的變換關(guān)系為:

   
    由式(1)可以看出,z和s之間可以直接代換,由于這是一非線性變換,需考察一下是否能把jΩ映射成單位圓,以及是否能將s域左半平面映射到單位圓內(nèi)部。
    對(duì)于5平面上的虛軸jΩ,用s=jΩ代入式(1)得:

   

    可見:
    上式表明S平面與Z平面一一單值對(duì)應(yīng),S平面的虛軸(整個(gè)jΩ)經(jīng)映射后確已成為z平面上的單位圓,但Ω與為非線性關(guān)系,因此,通過(guò)雙線性變換后兩個(gè)濾波器的頻率特性形狀不能保持相同,雙線性變換不存在混迭效應(yīng)。
    對(duì)于s域的左半平面,用s=σ+jΩ入式(1),得到:


    此式表明,當(dāng)σ<0,有|z|<1,因而s平面的左半平面被映射在單位圓內(nèi)部,這意味著穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換可以映射成穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。
1.2 IIR濾波器的設(shè)計(jì)
    IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)借助模擬濾波器原型,再將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器,這些過(guò)程已經(jīng)成為一整套成熟的設(shè)計(jì)程序。模擬濾波器的設(shè)計(jì)已經(jīng)有了一套相當(dāng)成熟的方法,它不但有完整的公式,而且還有較為完整的圖表查詢,因此,充分利用這些已有的資源將會(huì)給數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)帶來(lái)很大的方便。
    已知數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)要求wp,ws,Rp和As,首先設(shè)計(jì)一個(gè)等效的模擬濾波器,然后再將它映射為所期望的數(shù)字濾波器來(lái)確定H(z)。對(duì)這個(gè)過(guò)程所要求的步驟是:
1)選取T并確定模擬頻率:利用設(shè)計(jì)參數(shù)Ωp,Ωs,Rp和As,設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器Ha(s);這可以利用模擬濾波器的原型來(lái)完成;3)再將(1)代入Ha(s),求出H(z)。
    本文給定數(shù)字濾波器特性為:

   
    對(duì)于幅度衰減指標(biāo),模擬和數(shù)字是一樣的。綜上(1)、(2),模擬濾波器特性如下:

   

    現(xiàn)在可以開始設(shè)計(jì)模擬濾波器,進(jìn)而確定數(shù)字濾波器。下面給出Butterth濾波器逼近的方法。
    首先確定階數(shù)N和截止角頻率,根據(jù)指標(biāo)要求列出:


2 IIR濾波器的MATLAB實(shí)現(xiàn)
    模擬型濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程,步驟繁瑣,計(jì)算量大。在MATLAB中,我們可以直接根據(jù)所給定的數(shù)字濾波器指標(biāo)調(diào)用特定的函數(shù)來(lái)確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下(程序的主要部分,且只返回?cái)?shù)字濾波器的階數(shù)和截止
頻率):
    為調(diào)用階數(shù)選擇函數(shù),下面的指標(biāo)已經(jīng)把Wp和Ws對(duì)π進(jìn)行了歸一化,且函數(shù)中返回的頻率也是歸一化頻率。


    同理可實(shí)現(xiàn)ChebyshevI、ChebyshevII、ellipSe數(shù)字濾波器。Butterworth型和ellipke型系統(tǒng)的幅頻和相頻特性如圖l;ChebyshevI與ChebyshevII系統(tǒng)的幅頻和相頻特性如圖2(頻率為對(duì)π歸一化頻率)。

3 結(jié)論
   
從圖中我們可以看出,ButterWorth濾波器的頻率特性是平坦的,沒有出現(xiàn)波動(dòng),即幅度隨著頻率單調(diào)遞減,它的相頻特性接近于分段特性。而橢圓濾波器幅頻特性存在著波紋(圖中由于坐標(biāo)比例的關(guān)系,只能畫出通帶波紋,阻帶波紋則無(wú)法顯示);同時(shí),它不具備線性相位特性。兩種契比雪夫?yàn)V波器的頻率特性如圖所示。從中可知道,這兩種濾波器的幅頻特性都有著波動(dòng)(其中,由于CII型濾波器是在阻帶中出現(xiàn)等波動(dòng),因此無(wú)法表示出來(lái)),它們不具備線性相位特性。
    為了比較這四種濾波器的性能高低,我們比較了實(shí)現(xiàn)相同的指標(biāo)所需的最低濾波器階數(shù):Nbutt=14;Nchebl=8;Ncheb2=8;Nelli=6。
    這樣可以清楚地看出:ButterWorth濾波器需要最高的階數(shù)14;兩種契比雪夫?yàn)V波器所需要的階數(shù)是一樣的8階,說(shuō)明它們具有相同的性能;而橢圓濾波器具有最小的階數(shù)4,說(shuō)明它的性能在這個(gè)意義上是最優(yōu)的。

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