用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器

O 引言
    濾波器從廣義上來(lái)說(shuō)對(duì)特定的頻點(diǎn)或頻點(diǎn)以外的頻率進(jìn)行有效濾波的電路，這種電路保留輸入信號(hào)中的有用信息，濾除不需要的信息，從而達(dá)到信號(hào)的檢測(cè)、提取、識(shí)別等不同的目的。如果處理的信號(hào)是時(shí)域離散信號(hào)，那么相應(yīng)的處理系統(tǒng)就稱為數(shù)字濾波器，由于在實(shí)際工作中被處理的信號(hào)都是幅度量化的數(shù)字信號(hào)，因此，數(shù)字濾波器實(shí)際上是用有限精度的算法實(shí)現(xiàn)一個(gè)線性時(shí)不變的時(shí)域離散系統(tǒng)。目前，數(shù)字濾波器的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，它已深入到很多領(lǐng)域，如圖象處理、醫(yī)學(xué)生物信息處理、地質(zhì)信號(hào)處理和模式識(shí)別處理等。
    數(shù)字濾波器的種類很多，分類方法也不同，可以從功能上分類，也可以從實(shí)現(xiàn)方法上及設(shè)計(jì)方法上來(lái)分類等等。濾波器在功能上總的可分為四類，即低通(LP)、高通(HP)、帶通(BP)、帶阻(BS)濾波器等，從實(shí)現(xiàn)方法上，由有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)的數(shù)字濾波器被稱為FIR濾波器，具有無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)的數(shù)字濾波器稱作IIR濾波器。

1 IIR濾波器的設(shè)計(jì)
1．1 雙線性變換法的基本原理
    本文中用的是雙線性變換法，因此這里簡(jiǎn)單介紹一下。雙線性變換法的S域與Z域間的變換關(guān)系為：

   
    由式(1)可以看出，z和s之間可以直接代換，由于這是一非線性變換，需考察一下是否能把jΩ映射成單位圓，以及是否能將s域左半平面映射到單位圓內(nèi)部。
    對(duì)于5平面上的虛軸jΩ，用s=jΩ代入式(1)得：

   

    可見：
    上式表明S平面與Z平面一一單值對(duì)應(yīng)，S平面的虛軸(整個(gè)jΩ)經(jīng)映射后確已成為z平面上的單位圓，但Ω與為非線性關(guān)系，因此，通過(guò)雙線性變換后兩個(gè)濾波器的頻率特性形狀不能保持相同，雙線性變換不存在混迭效應(yīng)。
    對(duì)于s域的左半平面，用s=σ+jΩ入式(1)，得到：

    此式表明，當(dāng)σ<0，有|z|<1，因而s平面的左半平面被映射在單位圓內(nèi)部，這意味著穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換可以映射成穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。
1．2 IIR濾波器的設(shè)計(jì)
    IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)借助模擬濾波器原型，再將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，這些過(guò)程已經(jīng)成為一整套成熟的設(shè)計(jì)程序。模擬濾波器的設(shè)計(jì)已經(jīng)有了一套相當(dāng)成熟的方法，它不但有完整的公式，而且還有較為完整的圖表查詢，因此，充分利用這些已有的資源將會(huì)給數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)帶來(lái)很大的方便。
    已知數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)要求wp，ws，Rp和As，首先設(shè)計(jì)一個(gè)等效的模擬濾波器，然后再將它映射為所期望的數(shù)字濾波器來(lái)確定H(z)。對(duì)這個(gè)過(guò)程所要求的步驟是：
1)選取T并確定模擬頻率：利用設(shè)計(jì)參數(shù)Ωp，Ωs，Rp和As，設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器Ha(s)；這可以利用模擬濾波器的原型來(lái)完成；3)再將(1)代入Ha(s)，求出H(z)。
    本文給定數(shù)字濾波器特性為：

   
    對(duì)于幅度衰減指標(biāo)，模擬和數(shù)字是一樣的。綜上（1）、（2），模擬濾波器特性如下：

   

    現(xiàn)在可以開始設(shè)計(jì)模擬濾波器，進(jìn)而確定數(shù)字濾波器。下面給出Butterth濾波器逼近的方法。
    首先確定階數(shù)N和截止角頻率，根據(jù)指標(biāo)要求列出：

2 IIR濾波器的MATLAB實(shí)現(xiàn)
    模擬型濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程，步驟繁瑣，計(jì)算量大。在MATLAB中，我們可以直接根據(jù)所給定的數(shù)字濾波器指標(biāo)調(diào)用特定的函數(shù)來(lái)確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下(程序的主要部分，且只返回?cái)?shù)字濾波器的階數(shù)和截止
頻率)：
    為調(diào)用階數(shù)選擇函數(shù)，下面的指標(biāo)已經(jīng)把Wp和Ws對(duì)π進(jìn)行了歸一化，且函數(shù)中返回的頻率也是歸一化頻率。

    同理可實(shí)現(xiàn)ChebyshevI、ChebyshevII、ellipSe數(shù)字濾波器。Butterworth型和ellipke型系統(tǒng)的幅頻和相頻特性如圖l；ChebyshevI與ChebyshevII系統(tǒng)的幅頻和相頻特性如圖2(頻率為對(duì)π歸一化頻率)。

3 結(jié)論
    從圖中我們可以看出，ButterWorth濾波器的頻率特性是平坦的，沒有出現(xiàn)波動(dòng)，即幅度隨著頻率單調(diào)遞減，它的相頻特性接近于分段特性。而橢圓濾波器幅頻特性存在著波紋(圖中由于坐標(biāo)比例的關(guān)系，只能畫出通帶波紋，阻帶波紋則無(wú)法顯示)；同時(shí)，它不具備線性相位特性。兩種契比雪夫?yàn)V波器的頻率特性如圖所示。從中可知道，這兩種濾波器的幅頻特性都有著波動(dòng)(其中，由于CII型濾波器是在阻帶中出現(xiàn)等波動(dòng)，因此無(wú)法表示出來(lái))，它們不具備線性相位特性。
    為了比較這四種濾波器的性能高低，我們比較了實(shí)現(xiàn)相同的指標(biāo)所需的最低濾波器階數(shù)：Nbutt=14；Nchebl=8；Ncheb2=8；Nelli=6。
    這樣可以清楚地看出：ButterWorth濾波器需要最高的階數(shù)14；兩種契比雪夫?yàn)V波器所需要的階數(shù)是一樣的8階，說(shuō)明它們具有相同的性能；而橢圓濾波器具有最小的階數(shù)4，說(shuō)明它的性能在這個(gè)意義上是最優(yōu)的。