用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器

有限長脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器由于設(shè)計(jì)靈活，濾波效果好以及過渡帶寬易控制，因此在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。FIR數(shù)字濾波器的典型設(shè)計(jì)方法主要有窗函數(shù)法和頻率采樣法。正確理解和掌握這兩種設(shè)計(jì)方法是學(xué)習(xí)FIR數(shù)字濾波器的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。用窗函數(shù)法進(jìn)行FIR濾波器設(shè)計(jì)的相關(guān)問題，目前的教材講解較為細(xì)致，這里不再贅述。本文主要探討用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的相關(guān)問題，主要包括設(shè)計(jì)原理、性能分析、線性相位條件及設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的問題等幾個(gè)方面。

1 設(shè)計(jì)原理及濾波器性能分析
    頻率采樣法是從頻域出發(fā)，對給定的理想濾波器的頻響進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，即，然后以此Hd(k)作為實(shí)際FIR濾波器的頻率特性采樣值H(k)，即令：
   
    由DFT定義，可以用這N個(gè)頻域的采樣值H(k)來惟一確定FIR的單位脈沖響應(yīng)h(n)，即：
   
    下面對設(shè)計(jì)出的濾波器頻率響應(yīng)特性進(jìn)行分析。由頻域采樣定理中的內(nèi)插公式可以知道，利用這N個(gè)頻域采樣值H(k)同樣可以求得FIR濾波器的頻率響應(yīng)，這個(gè)將逼近理想濾波器的頻響。的內(nèi)插公式為：
   
    從式(5)可以看到，在各頻率采樣點(diǎn)上，設(shè)計(jì)的濾波器，實(shí)際的頻率響應(yīng)嚴(yán)格地與理想濾波器的頻率響應(yīng)數(shù)值相等，即。但是在采樣點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)是由各采樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)疊加而形成的，因而有一定的逼近誤差。該誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)的形狀，理想頻響特性變化越平緩，內(nèi)插值越接近理想值，逼近誤差越?。环粗?，如果采樣點(diǎn)之間的理想頻響特性變化越陡，則內(nèi)插值與理想值之間的誤差越大，因而在理想濾波器不連續(xù)點(diǎn)的兩邊，就會(huì)產(chǎn)生尖峰，而在通帶和阻帶就會(huì)產(chǎn)生波紋。用頻率采樣法設(shè)計(jì)的實(shí)際濾波器頻率響應(yīng)如圖1所示。由圖1可知，實(shí)際濾波器的阻帶衰減取決于內(nèi)插函數(shù)第一旁瓣幅度值的大小，其大小決定了所設(shè)計(jì)的濾波器的阻帶性能。

2 線性相位條件
    FIR濾波器的最大優(yōu)點(diǎn)是嚴(yán)格的線性相位特性。下面討論為實(shí)現(xiàn)線性相位，在頻域內(nèi)采樣得到的Hd(k)應(yīng)滿足什么條件。FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)是實(shí)序列，且滿足h(n)=±h(N-1-n)，即h(n)關(guān)于對稱，其中N為濾波器的長度。以第一類線性相位條件h(n)=h(N-1-n)(偶對稱)為基礎(chǔ)來推導(dǎo)頻域采樣Hd(k)滿足的條件。
    理想濾波器的頻率響應(yīng)可以表示為：
   
    為實(shí)現(xiàn)第一類線性相位條件，相位函數(shù)θ(ω)和幅度函數(shù)Hg(ω)應(yīng)分別滿足：
   
          
    式(10)和式(11)就是頻率采樣值Hd(k)滿足第一類線性相位的條件。關(guān)于第二類線性相位的條件這里就不再推導(dǎo)，具體公式可參閱相關(guān)的教科書。

3 設(shè)計(jì)實(shí)例及性能分析
    現(xiàn)以低通濾波器為例，說明用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR線性濾波器的一般步驟及設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的問題。要求截止頻率ωc=0．2π rad／s，采樣點(diǎn)數(shù)為N=20。設(shè)計(jì)步驟如下：
    第一步：確定希望逼近的理想濾波器的頻率響應(yīng)
   
    第二步：在頻域內(nèi)對進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，利用頻率采樣設(shè)計(jì)公式求頻率采樣值Hd(k)，采樣間隔△ω=2π／N=O．1 π，這樣在通帶內(nèi)共有3個(gè)采樣點(diǎn)，分別是k=0，1，2。利用頻率采樣設(shè)計(jì)式(10)和式(11)，可以得到：
   
    第三步：用離散傅里葉逆變換求得要設(shè)計(jì)的實(shí)際濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)：
   
    第四步：根據(jù)傅里葉變換的定義求得實(shí)際濾波器的頻率響應(yīng)，驗(yàn)證是否滿足濾波器技術(shù)指標(biāo)的要求，主要驗(yàn)證濾波器的阻帶衰減是否能夠滿足阻帶的要求。借助于Matlab軟件，按照以上4個(gè)步驟設(shè)計(jì)出低通濾波器的仿真結(jié)果如圖2所示。

    由仿真結(jié)果圖2(d)可以看出其衰減比較小，約為-17 dB。在通常情況下，這個(gè)阻帶衰減不能滿足阻帶技術(shù)指標(biāo)的要求，可以通過在通帶和阻帶之間的邊界頻率處增加過渡采樣點(diǎn)來增大阻帶衰減。
    為改進(jìn)阻帶衰減，在邊界頻率處增加一個(gè)過渡點(diǎn)；為保證過渡帶寬不變，將采樣點(diǎn)數(shù)增加一倍，變?yōu)镹=40，并將過渡點(diǎn)的采樣值進(jìn)行優(yōu)化，取H1=O．390 4，其仿真結(jié)果如圖3所示。由圖3(d)可見，這時(shí)阻帶衰減達(dá)到了-43 dB。

    為進(jìn)一步增加阻帶衰減，可再增加一個(gè)過渡采樣點(diǎn)，并將采樣點(diǎn)數(shù)增加到60。兩個(gè)過渡樣點(diǎn)值經(jīng)優(yōu)化分別為H1=O．592 5和H2=O.1099，其仿真結(jié)果如圖4所示。由圖4(d)可見，這時(shí)阻帶衰減達(dá)到-73 dB。還可以通過進(jìn)一步增加過渡樣點(diǎn)來增加阻帶衰減，一般情況下，最多增加3個(gè)過渡采樣點(diǎn)即能滿足阻帶衰減的要求。顯然，在保證過渡帶寬不變的情況下，相應(yīng)的采樣點(diǎn)數(shù)也成倍增加，這樣將使濾波器的復(fù)雜度大大增加，在實(shí)現(xiàn)濾波時(shí)計(jì)算量也隨之增加。

4 結(jié)語
    Matlab仿真結(jié)果驗(yàn)證了用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR線性相位數(shù)字濾波器這一數(shù)字信號(hào)處理中的基本理論，有助于學(xué)生深入理解并掌握這一重要的FIR濾波器設(shè)計(jì)方法。需要強(qiáng)調(diào)的是，頻率采樣法是從頻域出發(fā)直接設(shè)計(jì)濾波器的，而窗函數(shù)法是從時(shí)域出發(fā)設(shè)計(jì)濾波器的，兩種設(shè)計(jì)方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器是傅里葉變換的典型運(yùn)用，而頻率采樣法設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是頻域采樣定理及內(nèi)插公式，其阻帶衰減的改善是通過增加過渡采樣點(diǎn)實(shí)現(xiàn)的，同時(shí)為保證過渡帶寬的不變，濾波器的采樣點(diǎn)數(shù)也要相應(yīng)增加，計(jì)算復(fù)雜度也隨之成倍增加，這就要求在用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，要綜合考慮阻帶衰減和濾波器長度的要求，從而達(dá)到設(shè)計(jì)的最優(yōu)化。