在濾波器魔法師之12(使用“Million Monkeys”提供的方法設(shè)計濾波器)中，我給自己安排了一項額外的工作，即在我匆匆完成那篇行文迅速、引人入勝的文章時，我曾允諾對各種濾波器設(shè)計和網(wǎng)絡(luò)理論問題進(jìn)行深入探討。本文就是這些“深潛”系列(不好意思，我們公司的行話)的開篇之作：我為何把源電阻和負(fù)載電阻設(shè)置為相同的值?
本文使用的濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為雙端接LC梯式濾波器。由電感器和電容器構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)有兩個“端口”，供信號進(jìn)入和離開網(wǎng)絡(luò)。在我們的濾波器中，輸入端口從具有特定電阻值的信源處獲得信號(一般無法變更)，輸出端口則連接到由另一個電阻構(gòu)成的“負(fù)載”(通?？梢约右钥刂?。
圖1顯示的是示例濾波器。它與前文所述的網(wǎng)絡(luò)一致，輸出端采用與信源電阻值一樣的電阻端接。圖2顯示的是非常良好且平坦的通帶響應(yīng)。圖3顯示的是去掉端接電阻后的較差響應(yīng)。
圖1: 雙端接低通濾波器示例
圖2：圖1器件在具有負(fù)載電阻值情況下的電壓增益
圖3：圖1器件在無負(fù)載電阻值情況下的電壓增益
我們可以看到，對于本文所用的特定元器件值，低漣波平坦響應(yīng)只有在我們加入負(fù)載電阻的情況下才會出現(xiàn)。但這并非是具有兩個電阻的結(jié)果。圖4是在無負(fù)載電阻情況下產(chǎn)生同等振幅響應(yīng)(圖5)的網(wǎng)絡(luò)值集合。其電壓增益為0dB，而非6dB。你是否真的愿意在大多數(shù)實際情況中使用該濾波器?答案不言而喻，因為響應(yīng)相同，而增益更大，且可以節(jié)省一個元件，誰不喜歡呢?
圖4：無負(fù)載電阻情況下的各元器件值組合
圖5：沒有負(fù)載電阻，響應(yīng)依舊非常出色且平坦
圖6和圖7說明了我們抗拒采用“單端接”誘惑的原因。兩圖是元件值在±5%允許范圍內(nèi)變化時，100個響應(yīng)曲線疊加在一起的狀況。我們可以清晰直觀地看出雙端接濾波器更能夠適應(yīng)所使用組件值的小幅度變化。我們在下文中還可以看到當(dāng)我們使用某些擴(kuò)展技巧，在不使用這些電感器的情況下以這些網(wǎng)絡(luò)為“原型”構(gòu)建有源濾波器時，這種特性仍然得以保留。
圖6：對圖1值的蒙特卡羅分析
圖7：對圖4值的蒙特卡羅分析
雙端接濾波器有什么特別之處呢?要回答這個問題，我們需要考慮在信號從源電阻到負(fù)載電阻通過LC網(wǎng)絡(luò)時，發(fā)生了什么?
稍微岔開一下話題。想象一下你正在面試一個模擬設(shè)計崗位，并要求回答下面的問題：
“你有一個50歐姆輸出阻抗的正弦波發(fā)生器，輸出開路的情況下可以輸出1Vrms的電壓。客戶給你一個黑盒子，輸入阻抗為3.3K歐姆，且如果該黑盒子要正常工作，需要至少3Vrms的50KHz輸入信號。你需要讓系統(tǒng)工作，但沒有電源。你在實驗室唯一能夠使用的電子組件是無源兩引線組件。請說明如何解決上述問題及其工作原理。”(案例1)
那么這就意味著沒有電池或太陽能電池，也沒有晶體管或集成電路，而且肯定也沒有變壓器。在繼續(xù)讀下去之前(特別是你準(zhǔn)備參加面試的情況下)好好想想。也許我們可以從圖2找到一些靈感。完成了嗎?這里有個適用的解決方案：
圖8：適合案例1的解決方案
圖9：圖8解決方案的頻率響應(yīng)
我們只使用無源兩線組件構(gòu)建一個高Q值低通濾波器。圖9顯示的是信號發(fā)生器設(shè)置為開路輸出1Vrms到黑盒子電壓的全頻段狀況。我們明確無誤地實現(xiàn)了讓系統(tǒng)在規(guī)定頻率上工作的電壓增益。那么，什么地方有免費的午餐呢?
當(dāng)然什么地方都不會有。我們可以問個額外的問題：“我們能夠從這類解決方案得到的最大電壓增益值是多少?”要得到結(jié)果，首先要認(rèn)識到，雖然從這樣的元器件組合中得到電壓增益是常見的，但不可能得到功率增益。這就是理解這些無源濾波器網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵所在：功率進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)，然后離開網(wǎng)絡(luò)。如果信源能在特定輸出電阻上提供特定的輸出電壓，對于連接的負(fù)載而言，能夠耗散的功率有嚴(yán)格的上限。你可能在學(xué)校中學(xué)習(xí)過最大功率定理，但沒有投入太多注意。但對無源濾波器而言，這個定理非常重要，所以今后應(yīng)該予以關(guān)注。
可能你已經(jīng)記起來了，實現(xiàn)最大功率傳輸?shù)臈l件是負(fù)載電阻和信源電阻相等。你可以使用大學(xué)里學(xué)到的枯燥無味的微積分來證明。先用一個表達(dá)式表達(dá)負(fù)載電阻上耗散的功率，根據(jù)負(fù)載電阻RL計算該功率的導(dǎo)數(shù)。將導(dǎo)數(shù)設(shè)為0，然后求解RL。繼續(xù)，就是這么計算的。
是不是一下子豁然開朗了?你首先想到的是用變壓器。這是讓負(fù)載電阻與信源電阻匹配的傳統(tǒng)方法。在理想的情況下，變壓器可以把功率從信源無損地傳輸?shù)截?fù)載，不過它一般用于電壓、電流不同的情況下。使用適當(dāng)?shù)脑驯?，不論?fù)載電阻值是多少，都可以在理想的情況下在負(fù)載電阻上獲得相同的耗散功率。
這就是我們對圖8的LC濾波器網(wǎng)絡(luò)采用的措施：我們引入了一個變壓器。所有進(jìn)入LC網(wǎng)絡(luò)的功率又出去了。在采用適當(dāng)?shù)慕M件值的情況下，我們可以讓所有功率在特定的頻率上全部到達(dá)負(fù)載上，而不用管負(fù)載的值是多少。
如果我們可以使用變壓器或者變壓器的等效LC線路，我們可以計算出50歐姆信源和3.3K歐姆負(fù)載之間能夠獲得的最大電壓增益。需要的電壓變換等于阻抗比的平方根，在本例中為8.12倍。將該比例與我們在等電阻端接例子中的電壓增益0.5相乘。所以在任意LC值下可以得到的最大增益為4.06倍，或者大約12.2dB。圖10顯示的是用我們自制的變壓器任意選擇1,000種不同的L和C值得到的結(jié)果。響應(yīng)曲線的峰值從未超過預(yù)計值。至于為什么不是每個頻率下所有功率都耗散在負(fù)載上，是因為部分功率被反射回了信源。
圖10：響應(yīng)曲線的峰值從未超過預(yù)計值
所有射頻工程師都開始不耐煩地打哈欠了，因為這是你們的常識。設(shè)計LC網(wǎng)絡(luò)，確保讓所有信源的功率傳輸?shù)截?fù)載，是一項稱之為阻抗匹配的核心射頻技術(shù)。這確實像兩個不等電阻之間的濾波器設(shè)計(每種設(shè)計方案都有其伴隨的虛部需要加以考慮)。一般是用L和C來完成的，而非體積龐大、成本高昂的變壓器。除微波頻段外，其中的變壓器體積不大、價格也不高，不過當(dāng)導(dǎo)體靠得太近的時候，會造成諧振波峰。
現(xiàn)在回到我們最初討論的問題。為什么一個(設(shè)計合理的)雙端接濾波器有如此出色的“靈敏度”屬性?這是因為對濾波器通帶內(nèi)的一個或者有時多個頻率，它工作在功率傳輸?shù)淖畲罂赡茳c上。請再次觀察圖6和圖7。在雙端接濾波器情況下，組件值的任何變化只會讓功率傳輸(隨之為電壓增益)下降而非上升。在被稱之為反射零點的特定關(guān)鍵頻率上，濾波器響應(yīng)的“靈敏度”與網(wǎng)絡(luò)中每個無功部分呈拋物線函數(shù)的下行段關(guān)系。這樣就很難讓網(wǎng)絡(luò)的響應(yīng)比沒有應(yīng)用功率傳輸約束的時候更差。后者狀況指的是單端接的時候，或者任何濾波器的設(shè)計響應(yīng)未能滿足最大功率增益值的時候。要得到最大功率增益值，可以拋開濾波器，使用變壓比較為合適的理想變壓器。
還有一個問題。我們在開始的時候曾經(jīng)比較過兩種濾波器，其中一種濾波器的負(fù)載電阻與信源電阻相等，另一個則沒有負(fù)載電阻。我們能否在盡可能大的給定信源電阻和負(fù)載電阻比率下成功設(shè)計出低靈敏度、等頻率響應(yīng)的濾波器?有時候是可以的，但具體到我們的低通濾波器則不能。對于具體的響應(yīng)，我們要求平坦的響應(yīng)，讓DC增益與那些“觸點”最大值相等。這就意味著在該極低靈敏度濾波器中，信源電阻和負(fù)載電阻必須等值。對于更加普遍的情況，如果不需要對通過的0頻率或者無窮頻率施加特定的衰減，通常可以設(shè)計出任意兩個阻抗間的最低靈敏度(即理想匹配)濾波器。至于如何實現(xiàn)，足夠?qū)懮蠋妆緯?，不過初學(xué)者就不用看了。
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