基于數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)的PWM裝置數(shù)學(xué)模型分析

摘要：通過分析SKJ-II型數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)中PWM裝置的工作原理，建立了模型公式并推算出理論傳遞函數(shù)關(guān)系。根據(jù)模型公式得到了PWM裝置系統(tǒng)化的理論傳遞函數(shù)，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論傳遞函數(shù)的正確性，并指出模型中電源電壓需要考慮開關(guān)的管壓降問題。對(duì)于應(yīng)用PWM技術(shù)進(jìn)行功率變換的控制系統(tǒng)的建模有理論指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)；控制器；數(shù)學(xué)模型

1 引言

目前，直流PWM調(diào)速系統(tǒng)憑借開關(guān)頻率高，低速運(yùn)行穩(wěn)定，動(dòng)態(tài)性能優(yōu)良等優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用日益廣泛，特別是在中、小容量的高動(dòng)態(tài)性能系統(tǒng)中。

PWM控制與變換器(簡(jiǎn)稱PWM裝置)是直流脈寬調(diào)速系統(tǒng)中的重要組成環(huán)節(jié)，而對(duì)于PWM裝置的數(shù)學(xué)模型，文獻(xiàn)中僅給出最后近似的傳遞函數(shù)，并未解釋其中框圖變換的過程和參數(shù)分析。SKJ-II型數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)部含有調(diào)速環(huán)，其中就包含PWM裝置，這里基于該系統(tǒng)中使用的PWM裝置模型進(jìn)行拓展分析，以便獲得其模型的推導(dǎo)及變換過程，為PWM裝置模型提供必要的理論依據(jù)。

2 模型建立與框圖分析

SKJ-II型數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。功率放大器環(huán)節(jié)起到PWM控制器和PWM變換器的作用。

為了方便研究，將功率放大器環(huán)節(jié)內(nèi)容分為兩步，分別簡(jiǎn)稱為PWM控制器和H橋，UX11(s)信號(hào)作為PWM裝置的輸入，Ud(s)為PWM裝置的輸出，ρ(s)為中間量。

2．1 靜態(tài)分析

實(shí)現(xiàn)PWM控制器的電路如圖2所示。預(yù)建立PWM裝置的模型，先確定其輸入信號(hào)，輸入信號(hào)為UX11(X11端輸入信號(hào))，該信號(hào)由系統(tǒng)前端的電流調(diào)節(jié)器的輸出決定。圖中，XJ7端為三角波發(fā)生電路的輸出端，三角波發(fā)生電路中運(yùn)算放大器A1：A構(gòu)成加法器，運(yùn)算放大器A1：B構(gòu)成反向積分器，電位器P2主要用來控制產(chǎn)生的三角波的頻率，2DW232是雙向穩(wěn)壓二極管，起了限幅的作用。運(yùn)算放大器A3：A以及外圍電阻構(gòu)成了一個(gè)反相加法放大電路，由于放大倍數(shù)較大，故小信號(hào)時(shí)才線性放大，大信號(hào)時(shí)會(huì)工作在非線性飽和狀態(tài)。

當(dāng)X11端輸入信號(hào)接地，即UX11=0 V時(shí)，利用GDS1102A數(shù)字示波器測(cè)量XJ7端和X12端的波形，分別記為uXJ7和uX12，兩者波形如圖3所示。

當(dāng)uXJ7較小時(shí)，反相放大倍數(shù)為50；當(dāng)uXJ7較大時(shí)，運(yùn)算放大器A3：A會(huì)飽和，輸出波形是正負(fù)對(duì)稱的梯形波，但圖中輸出波形很接近矩形波，稱該梯形波為近似矩形波，其占空比是50．81％。

PWM控制是對(duì)脈沖的寬度進(jìn)行調(diào)制的技術(shù)，在此通過調(diào)制近似矩形波的占空比來實(shí)現(xiàn)PWM控制。當(dāng)X11端輸入電壓信號(hào)，則近似矩形波占空比會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)改變。當(dāng)運(yùn)算放大器A3：A工作在線性狀態(tài)，忽略調(diào)零通路作用，則流過R18電流為零，規(guī)定電流經(jīng)R21，R20，R17一端流向R21，R20，R17的公共端為電流的正方向，并假設(shè)運(yùn)放為理想運(yùn)算放大器，根據(jù)KCL定理可得：

iR21+IR17+iR20=0 (1)

根據(jù)理想運(yùn)算放大器的性質(zhì)可知UA3_2=0 V，由歐姆定律可得：

分析X11端輸入U(xiǎn)X11為零時(shí)情況，記X12端飽和輸出電壓為+U0。當(dāng)uX12=-U0(即負(fù)飽和)時(shí)，代入式(3)可得：uXJ7=U0R21／R20；當(dāng)uX12= U0(即正飽和)時(shí)，代入式(3)可得：uXJ7=-U0R21／R20。記XJ7端輸出三角波的幅值范圍為[-U1，U1]，周期為T，則有X12端輸出梯形波單個(gè)周期的線性放大時(shí)間t1、輸出正飽和時(shí)間t2、輸出負(fù)飽和時(shí)間t3為：

t1=(R21U0)T／(R20U1)，t2=t3=0．5(T-t1) (4)

按照矩形波占空比的定義，則有PWM控制器輸出矩形波的占空比為：

當(dāng)然，實(shí)際輸出波形并非理想的矩形波，而是梯形波，具體梯形波如何描述占空比暫且不討論，假設(shè)各周期內(nèi)線性區(qū)工作時(shí)間t1相對(duì)于這個(gè)周期的總時(shí)間T非常小，則可忽略其線性區(qū)時(shí)間t1，則X12端輸出矩形波的占空比ρ=t2／(t2+t3)=0．5。

由上述推算可以得到結(jié)論：當(dāng)輸入U(xiǎn)X11=0 V時(shí)，若uXJ7為正負(fù)對(duì)稱的理想三角波，則運(yùn)放器A3：A的反相端輸入信號(hào)(R20／R21)uXJ7依然為正負(fù)對(duì)稱的三角波。X12端占空比為50％，即輸出負(fù)飽和時(shí)間與輸出正飽和時(shí)間相等，實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果如圖3所示，示波器中顯示占空比為50．81％，有1．62％的誤差，除了示波器的測(cè)量誤差還應(yīng)注意此處計(jì)算占空比忽略了線性區(qū)時(shí)間t1。

2．2 動(dòng)態(tài)分析

實(shí)際PWM控制器輸入端是uX11，即電流控制器的輸出，PWM控制器輸出端是ρ，靜態(tài)分析時(shí)uX11=0 V，輸出ρ=0．5，動(dòng)態(tài)工作時(shí)，ρ會(huì)隨uX11變化而變化，取拉普拉斯變換，則輸入記為UX11(s)，輸出記為ρ(s)，中間信號(hào)記為UX12(s)和UXJ7(s)，則式(3)可以改寫為：

動(dòng)態(tài)分析時(shí)，UXJ7仍然輸入正負(fù)對(duì)稱的三角波，但X11端輸入U(xiǎn)X11(s)不為零。

當(dāng)UX11(s)>0時(shí)，由線性疊加定理可知，式(6)中R20UXJ7(s)／R21+R20UX11(s)／R17波形會(huì)上抬，成為正三角時(shí)間長(zhǎng)而負(fù)三角時(shí)間短的正負(fù)不對(duì)稱三角波，反相限幅后輸出負(fù)飽和的時(shí)間比輸出正飽和的時(shí)間長(zhǎng)，即PWM控制器輸出負(fù)飽和的時(shí)間比輸出正飽和的時(shí)間長(zhǎng)。當(dāng)UX11(s)增大到正臨界值UX11max時(shí)，剛好不出現(xiàn)線性區(qū)，更無正飽和，僅有負(fù)飽和，則滿足：

綜合式(9)和式(12)可得：若滿足輸入U(xiǎn)X11(s)在[UX11max，UX11max范圍內(nèi)，則運(yùn)放器A3：A以及外圍電路構(gòu)成的PWM控制器輸出的占空比ρ(s)隨著UX11(s)變化，超出該范圍則ρ(s)飽和(即ρ要么為0，要么為1)。當(dāng)UX12(s)=-U0(即負(fù)飽和)時(shí)，代入式(6)可推算此時(shí)XJ7端三角波信號(hào)滿足：

若XJ7端三角波為理想的三角波，當(dāng)UX11(s)>UX11max或UX11(s)<UX11min時(shí)，運(yùn)放器A3：A完全工作在飽和區(qū)，此時(shí)XJ7端三角波信號(hào)UXJ7(s)在[-U1，U1]全范圍內(nèi)，X12端輸出矩形波占空比ρ(s)要么為0，要么為1；當(dāng)UX11min<UX11(s)<UX11max時(shí)，X12端輸出UX12(s)的占空比ρ(s)與X11端輸入信號(hào)UX11(s)之間為線性關(guān)系，即為式(17)。

SKJ-II型數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)中使用了橋式可逆PWM變換器，其供電電源為Us，則輸出電壓Ud(s)與ρ(s)之間的關(guān)系為：

Ud(s)=Us[2ρ(s)-1]             (18)

SKJ-II型數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)元件參數(shù)：R17=22 kΩ，R20=20 kΩ，R21=1 MΩ，經(jīng)示波器測(cè)量圖4所示X12端飽和輸出電壓±11．6 V，三角波幅值范圍為[-5．15 V，5．15 V]，代入式(17)可得：

ρ(s)=0．5-0．092 4UX11(s)     (19)

通過等效變換，PWM裝置的傳遞函數(shù)Ud(s)=-0．184 8UX11(s)，相當(dāng)于一個(gè)反向比例放大環(huán)節(jié)。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及公式修正

基于SKJ-II型數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)，就PWM控制器電路和H橋電路的模型分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)中為降低難度不直接用力矩電機(jī)做實(shí)驗(yàn)，采用100 Ω滑線變阻器作為負(fù)載。輸入信號(hào)UX11(s)由系統(tǒng)前端電流調(diào)節(jié)器的輸出決定，H橋電路的輸出Ud(s)為X16端與X17端之差，輸出Ud(s)的占空比記為ρ(s)。測(cè)量X11端輸入信號(hào)UX11(s)分別為1 V，2 V，3 V，-1 V，-2 V，-3 V時(shí)，輸出X16端與X17端的波形數(shù)據(jù)，如表1所示。

ρ(s)修正參數(shù)定義為：△ρ=[1-ρ(s)測(cè)1-ρ(s)測(cè)2]／2，則修正后的占空比ρ(s)=ρ(s)測(cè)1+△ρ。一方面，假設(shè)GPWM(s)是PWM控制器傳遞函數(shù)，則：

ρ(s)=0．5+GPWM(s)UX11(s)       (20)

將上式變換可得：GPWM(s)=[ρ(s)-0．5]／UX11(s)。根據(jù)表1可得：當(dāng)UX11(s)=1 V時(shí)，GPWM=-0．091 2；當(dāng)UX11(s)=2 V時(shí)，GPWM=-0．092 5；當(dāng)UX11(s)=3 V時(shí)，GPWM=-0．091 8；當(dāng)UX11(s)=-1 V時(shí)，GPWM=-0．095 1；當(dāng)UX11(s)=-2 V時(shí)，GPWM=-0．093 3；當(dāng)UX11(s)=

-3 V時(shí)，GPWM=-0．092 2。

另一方面，電源電壓為Us時(shí)，Ud(s)=2Usρ(s)-Us。但實(shí)際上H橋還要考慮開關(guān)管的管壓降，記△U為管壓降。當(dāng)電源電壓為Us’時(shí)，則：Us=Us’-△U。那么，Ud(s)=2Usρ(s)-Us可以表示為：

Ud(s)=[2ρ(s)-1](Us’-△U)      (21)

由上式可得：

△U=Us’-Ud(s)／[2ρ(s)-1]      (22)

萬用表測(cè)得Us’=22．9 V，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)和式(22)可得：當(dāng)Ux11(s)=1 V時(shí)，△U=0．147 8 V；當(dāng)UX11(s)=2 V時(shí)，△U=0．419 6 V；當(dāng)UX11(s)=3 V時(shí)，△U=0．312 3 V；當(dāng)UX11(s)=-1 V時(shí)，△U=0．348 1 V；當(dāng)UX11(s)=-2 V時(shí)，△U=0．451 7V；當(dāng)UX11(s)=-3V時(shí)，△U=0．4 226V。

根據(jù)GPWM平均值得ρ(s)實(shí)驗(yàn)式為：

ρ(s)測(cè)=0．5-0．092 7UX11(s)    (23)

式(23)與式(19)比較，誤差為0．325％。

根據(jù)△U的平均值可得Ud(s)實(shí)驗(yàn)公式為：

Ud(s)測(cè)=[2ρ(s)-1](Us’-0．365 35)     (24)

將式(24)與式(18)比較可得，實(shí)際的電源電壓Us是考慮了開關(guān)管的管壓降后的電源電壓。將式(23)代入式(24)，可得：

Ud(s)測(cè)=-0．185 4UsUX11(s)            (25)

其中，Us=Us’-0．365 35=22．534 6，將式(25)與Ud(s)=-0．184 8UX11(s)比較，誤差為0．325％，與ρ(s)的誤差一致。但是PWM裝置的響應(yīng)會(huì)有延遲，假設(shè)延遲時(shí)間為ts(t<T)，則PWM裝置的傳遞函數(shù)式為：。

4 結(jié)論

首先基于SKJ-II型數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)，針對(duì)系統(tǒng)中的功率放大器環(huán)節(jié)，建立其數(shù)學(xué)模型，根據(jù)具體電路中的器件參數(shù)定量計(jì)算模型參數(shù)，確定具體的理論公式，并最終得到輸入輸出之間的傳遞函數(shù)關(guān)系式。清晰地分析證明了在一般的電力拖動(dòng)自動(dòng)控制系統(tǒng)中PWM裝置可近似看成是一個(gè)帶有純滯后的比例環(huán)節(jié)。最后通過實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的準(zhǔn)確性。