基于FPGA實(shí)現(xiàn)的FFT插值正弦波頻率估計(jì)

   摘要：在分析雙線幅度法(Rife)、修正雙線幅度法(MRife)、傅里葉系數(shù)插值迭代3種算法的基礎(chǔ)上，結(jié)合FPGA的并行處理優(yōu)勢，將迭代變?yōu)椴⑿羞\(yùn)算，由此得出了一種快速頻率估計(jì)算法。并將新算法進(jìn)行FPGA設(shè)計(jì)，給出了算法流程圖。仿真結(jié)果表明，當(dāng)Rsn>-14 dB時(shí)，新算法的頻率估計(jì)均方誤差接近卡拉美-羅限(CRB)。
關(guān)鍵詞：頻率估計(jì)；迭代；卡拉美-羅限；FPGA器件

    對被噪聲污染的正弦波信號進(jìn)行頻率估計(jì)是信號參數(shù)估計(jì)中的經(jīng)典問題，目前國內(nèi)外已提出不少方法。文獻(xiàn)給出了在高斯白噪聲中對正弦波信號頻率進(jìn)行最大似然估計(jì)算法，該算法能夠達(dá)到卡拉美-羅限(CRB)，但計(jì)算量大，實(shí)現(xiàn)困難。FFT頻率估計(jì)方法具有速度快、便于實(shí)時(shí)處理的特性而得到了廣泛應(yīng)用。但FFT頻率估計(jì)方法得到的是離散頻率值，當(dāng)信號頻率與FFT離散頻率不重合時(shí)，由于FFT的“柵欄”效應(yīng)，信號的實(shí)際頻率應(yīng)位于兩條譜線之間。顯然僅僅利用FFT幅度最大值估計(jì)信號頻率難以滿足精度要求，因此各種插值算法應(yīng)運(yùn)而生。文獻(xiàn)給出了Rife算法，在對輸入信號進(jìn)行一次FFT運(yùn)算后，利用最大譜線及其相鄰的一根次大譜線進(jìn)行插值來確定真實(shí)頻率位置。當(dāng)信號的真實(shí)頻率處于兩相鄰量化頻率之間的中心區(qū)域時(shí)，Rife算法精度很高，但是在FFT量化頻率附近的誤差卻較大。文獻(xiàn)提出了一種修正Rife算法，通過對信號進(jìn)行頻移，使新信號的頻率位于兩個(gè)相鄰量化頻率點(diǎn)的中心區(qū)域，然后再利用Rife算法進(jìn)行頻率估計(jì)。文獻(xiàn)提出了基于傅里葉系數(shù)插值迭代的頻率估計(jì)方法，該方法能夠有效提高精度，但需要多次串行迭代，不利于發(fā)揮FPGA并行處理的優(yōu)勢。本文分析了以上3種算法的特點(diǎn)，并以之為基礎(chǔ)結(jié)合FPGA的并行處理優(yōu)勢，提出了一種利用信號FFT插值系數(shù)的幅度和相位信息來構(gòu)造頻率修正項(xiàng)的新算法。

1 基于FFT插值的正弦波頻率估計(jì)法
1．1 算法原理
    單一頻率正弦信號表示為：

式中：A，f0，θ分別為正弦信號的幅度、頻率和初相；fs為采樣頻率。目前基于FFT的正弦信號頻率估計(jì)分為2個(gè)過程來實(shí)現(xiàn)：粗測頻和精測頻。粗測頻通過直接觀察FFT幅譜最大值點(diǎn)m來完成，受觀測時(shí)長T的限制，誤差范圍為±l／(2T)。假設(shè)為信號頻率的真實(shí)值，δ為信號頻率與其FFT幅度最大處對應(yīng)頻率的相對偏差，m，與δ的關(guān)系如式(2)所示：

    考慮到FPGA并行計(jì)算的特點(diǎn)，利用流水線結(jié)構(gòu)同時(shí)計(jì)算多個(gè)Xm+p，Xm+p-1值，將串行迭代變?yōu)椴⑿械?，其運(yùn)算步驟歸納如下：
   
    本文提出的算法分為粗測頻(步驟1)和精測頻(步驟2，3)，頻率估計(jì)值為粗測結(jié)果與精測結(jié)果之和。
1．2 算法分析
    本文算法與文獻(xiàn)提到的算法主要區(qū)別在于步驟3。算法將正弦波信號所在頻段[m-1，m+1]細(xì)化為5個(gè)子頻段，如圖1所示，并根據(jù)δ1值的大小判斷信號譜線位置，使信號的頻率位于某子頻段的中心區(qū)域再進(jìn)行頻率估計(jì)。

    該算法也可認(rèn)為是對Rife算法的一種修正，通過適當(dāng)增加運(yùn)算量提高了估計(jì)精度。當(dāng)p=O及p=1時(shí)，該算法退化為Rife算法。
    與MRife算法相比：MRife算法是通過對原始信號進(jìn)行平移，然后對平移后的信號做FFT，重新用Rife算法計(jì)算δ。從式(3)可以發(fā)現(xiàn)“信號平移+FFT”與Xm+p時(shí)域運(yùn)算是一致的，所不同的是，由于計(jì)算單個(gè)Xm+p只需N次復(fù)數(shù)乘法和N次復(fù)數(shù)加法，運(yùn)算量比“信號平移+FFT”小，因此本文算法可同時(shí)計(jì)算多個(gè)Xm+p，Xm+p-1，以提高估計(jì)精度。

2 算法硬件實(shí)現(xiàn)
    本文算法充分利用了FPGA并行計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)，在FPGA實(shí)現(xiàn)時(shí)采用流水線模式，經(jīng)過固有時(shí)間后，每個(gè)時(shí)鐘周期可以輸出一個(gè)指定操作的結(jié)果，提高了算法的運(yùn)算速度。
    從前面的分析可知，整個(gè)測頻算法主要包括粗測頻和精測頻2個(gè)部分：首先對信號作FFT運(yùn)算并進(jìn)行譜峰搜索得到峰值位置；再通過插值FFT運(yùn)算得到頻率偏差δ1，δ2；粗測頻部分可以直接調(diào)用相關(guān)FPGA的FFT庫函數(shù)完成。從式(3)可知精測頻部分需要大量計(jì)算三角函數(shù)，本文采用查表法來實(shí)現(xiàn)。整個(gè)算法流程如圖2所示。

3 仿真分析
    信噪比定義為：，σ為噪聲均方誤差。對正弦波信號，在相位、幅度和頻率3個(gè)參數(shù)均是未知的情況下，頻率估計(jì)的方差下限為：

式中N為樣本數(shù)。在仿真中設(shè)fs=167 MHz，N=512，因此兩條譜線間的頻率差為△f=fs／N?，F(xiàn)取fi=45．5△f+(i-1)△f／20(i=l，2，…，21)的正弦波，即對應(yīng)FFT后峰值位置與信號真實(shí)峰值偏差δ為[-0．5，0．5]。對每個(gè)頻率fi的取值分別作l 000次Monte Carlo試驗(yàn)，計(jì)算δl，δ2的均方根誤差(RMSE)，定義比率R=RMSE／CRB，仿真結(jié)果如圖3、圖4所示。RSN取-20 dB～0 dB，步長為0．5 dB，分別做1 000次Monte Carlo試驗(yàn)，計(jì)算新算法的歸一化頻率估計(jì)均方誤差，仿真結(jié)果如圖5所示。

    仿真結(jié)果表明δ2不隨被估計(jì)信號的頻率分布而產(chǎn)生波動(dòng)；當(dāng)RSN>-14 dB時(shí)，新算法頻率估計(jì)值的方差在整個(gè)頻段都接近卡拉美-羅限，具有穩(wěn)定的性能。

4 結(jié)論
    本文在分析Rife，MRife和傅里葉系數(shù)插值迭代3種算法的基礎(chǔ)上，將串行迭代變?yōu)椴⑿械纱说贸隽艘环N快速頻率估計(jì)算法，并分析了新算法與前3種算法的異同。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果證實(shí)新算法能夠快速、高精度估計(jì)單頻信號的頻率，便于工程實(shí)現(xiàn)，適合應(yīng)用在雷達(dá)、電子對抗等對處理實(shí)時(shí)性要求非常高的領(lǐng)域。