一種改進(jìn)的小波閾值信號(hào)去噪方法

摘要 為改進(jìn)濾波效果，提高去噪質(zhì)量。通過(guò)分析軟硬閾值去噪的原理和方法，為小波闞值信號(hào)處理提出了一種改進(jìn)的去噪方法。該方法綜合了軟硬閾值的特點(diǎn)，對(duì)其參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)值以更好地獲得閾值估計(jì)。針對(duì)改進(jìn)后的去噪算法，通過(guò)Matlab仿真比較了傳統(tǒng)的小波軟硬閾值算法與該算法的消噪效果，結(jié)果表明，提出的方法有更好的消噪效果和穩(wěn)定性。
關(guān)鍵詞 小波閾值去噪；閾值函數(shù)；信噪比；均方誤差

    小波變換與傅里葉變換、窗口傅里葉變換相比，它是一個(gè)時(shí)間和頻率的局部變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息，通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析，解決了傅里葉變換不能解決的許多問(wèn)題。
    小波變換被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。小波理論被認(rèn)為是對(duì)傅里葉分析的重大突破，是近年來(lái)信號(hào)處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，許多學(xué)者將小波在理論上的研究成果應(yīng)用到諸如圖像壓縮、特征提取、信號(hào)濾波和數(shù)據(jù)融合等方面。小波之所以在信號(hào)處理領(lǐng)域具有很大的優(yōu)勢(shì)，在于小波變換可以獲得信號(hào)的多分辨率描述，同時(shí)，小波變換具有豐富的小波基可適應(yīng)不同特征的信號(hào)。隨著小波理論的發(fā)展，Mallat提出了模極大值重構(gòu)濾波，Xu提出了空域相關(guān)濾波和Donoho提出了小波域閾值濾波來(lái)消除噪聲。一般地，不同性質(zhì)的噪聲需要采用不同的消噪方法處理。
    上述算法都存在參數(shù)的選取問(wèn)題，不同的參數(shù)選取對(duì)濾波的效果會(huì)有一些差異。Donoho的傳統(tǒng)小波閾值去噪方法的實(shí)現(xiàn)最簡(jiǎn)單、計(jì)算量最小。但其在理論上找到的最優(yōu)通用閾值，實(shí)際應(yīng)用中效果并不理想。因此，文中在Donoho的傳統(tǒng)小波閾值去噪方法的基礎(chǔ)上，改變了小波閾值函數(shù)的部分參數(shù)得到了一種新的小波閾值函數(shù)，既避免了硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性，又可以自適應(yīng)去噪，從而有效地保存了信號(hào)的邊緣信息。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后方法有更好的去噪性能。

1 小波閾值的去噪原理
    小波變換具有一種“集中”的能力。信號(hào)經(jīng)小波變換后，可以認(rèn)為由信號(hào)產(chǎn)生的小波系數(shù)包括有信號(hào)的重要信息，其幅值較大，但數(shù)目較小，而噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)幅值小。通過(guò)在不同尺度上選取一合適的閾值，并將小于該閾值的小波系數(shù)置零，而保留大于閾值的小波系數(shù)，從而使信號(hào)中的噪聲得到有效的抑制，最后進(jìn)行小波逆變換，得到濾波后的重構(gòu)信號(hào)。
    小波去噪的基本思路如圖1所示。信號(hào)先經(jīng)過(guò)預(yù)處理，然后利用小波變換講信號(hào)分解到多尺度上，再對(duì)每一層小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，最后對(duì)處理后的小波系數(shù)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。

    設(shè)一個(gè)含噪聲的一維信號(hào)模型可以表示為f(i)=s(i)+n(i)，其中s(i)為原始信號(hào)，n(i)為方差σ2的高斯白噪聲，服從N(0，σ2)。
1．1 小波硬閾值去噪的步驟
    (1)對(duì)信號(hào)求小波變換。
    (2)除了最粗尺度信號(hào)外，將各細(xì)節(jié)信號(hào)作閾值處理，閾值t取為，當(dāng)某位置小波變換值大于閾值時(shí)，保留原值，否則置零，用公式表示為
   
    (3)利用小波變換重構(gòu)，求出信號(hào)的濾波值。
1．2 小波軟閾值去噪的步驟
    (1)對(duì)信號(hào)求小波變換。
    (2)除了最粗尺度信號(hào)外，將各細(xì)節(jié)信號(hào)作閾值處理，閾值t取為，當(dāng)某位置小波變換大于閾值時(shí)，向著減小系數(shù)幅值的方向作一個(gè)收縮t，否則置零，用公式表示為
   
    其中，sgn(x)為符號(hào)函數(shù)。
    (3)進(jìn)行小波變換重構(gòu)，求出信號(hào)的濾波值。小波系數(shù)估計(jì)的軟、硬閾值處理方法。如圖2和圖3所示。

2 小波閾值函數(shù)的改進(jìn)
    硬閾值函數(shù)構(gòu)造雖然簡(jiǎn)單，但其在整個(gè)小波域內(nèi)是不連續(xù)的，因此重構(gòu)產(chǎn)生的信號(hào)會(huì)產(chǎn)生振蕩，當(dāng)噪聲水平較高時(shí)，這種現(xiàn)象尤為明顯，容易出現(xiàn)Pseudo-Gibbs現(xiàn)象。這與實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常要對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算存在矛盾，具有一定的局限性；并在信號(hào)的邊緣會(huì)產(chǎn)生許多人為的噪聲點(diǎn)。在實(shí)際情況下，大于閾值的小波系數(shù)中也存在噪聲信號(hào)的干擾，但硬閾值函數(shù)只對(duì)小于閾值的小波系數(shù)進(jìn)行處理，對(duì)大于閾值的小波系數(shù)不加處理，這與事實(shí)不相符。
    軟閾值函數(shù)雖然在小波域內(nèi)整體連續(xù)性好，但是由于當(dāng)小波系數(shù)較大時(shí)，處理過(guò)的系數(shù)與原系數(shù)之間總存在恒定的偏差，這將直接影響重構(gòu)信號(hào)與真實(shí)信悟的逼近程度，造成一定的高頻信息損失，使信號(hào)的邊緣變得模糊，給重構(gòu)信號(hào)帶來(lái)不可避免的誤差。
    在實(shí)際應(yīng)用中，利用軟閾值消噪信號(hào)比較光滑，但有著較大的信號(hào)失真。而利用硬閾值消噪對(duì)時(shí)變信號(hào)消噪效果是有限的。為克服軟、硬閾值的缺點(diǎn)，文中將軟閾值和硬閾值結(jié)合起來(lái)，在之前研究的基礎(chǔ)上增加并優(yōu)化了小波閾值函數(shù)的參數(shù)，構(gòu)造了一類新的閾值函數(shù)為
   
    其中α和β為調(diào)節(jié)因子，α，β在0和1之間選擇不同的值可以改變?yōu)V波的效果。當(dāng)a=0，β=0時(shí)式(3)等效于硬閾值函數(shù)，當(dāng)α=1，β=1時(shí)上式等效于軟閾值函數(shù)。當(dāng)α，β取0～1之間的數(shù)時(shí)，隨著|ω(i)|的增大，不斷變化，從而不斷變化，和ω(i)的偏差絕對(duì)值逐漸減小為αt，這樣可以有效避免軟閾值方法中絕對(duì)值大的小波系數(shù)總存在恒定衰減的不足，用來(lái)衡量對(duì)其的衰減程度，動(dòng)態(tài)減小了小波系數(shù)的衰減，從而避免了高頻信息的損失，提高了信號(hào)去噪后的信噪比，增加了重構(gòu)精度，改善了去噪的效果。
    經(jīng)驗(yàn)證α=0．4時(shí)，濾波的效果比較好?，F(xiàn)在，關(guān)鍵在于β取何值合適。通過(guò)大量的仿真實(shí)驗(yàn)，當(dāng)β=0．618時(shí)能獲得更好的去噪效果，且處理起來(lái)比較方便。

3 仿真結(jié)果與評(píng)價(jià)
    (1)為檢驗(yàn)新閾值函數(shù)的去噪效果，利用matlab軟件對(duì)一段信噪比為4，并含有高斯白噪聲的信號(hào)，分別用軟、硬閾值方法和文中提出的改進(jìn)方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。方法中的α，β分別取最優(yōu)值α=0.4，β=0．618。選用的小波函數(shù)為db3，分解層數(shù)為3，并在每分解層數(shù)上按照Sqtwo log規(guī)則進(jìn)行閾值的估計(jì)。去噪結(jié)果如圖4和圖5所示。

    (2)信號(hào)去噪效果可以用信噪比(SNR)和均方誤差(MSE)來(lái)描述。定義同一語(yǔ)音信號(hào)消噪處理后，均方誤差(MSE)越小，信噪比(SNR)越大，則消噪效果越好，定義形式為
   
    其中，s(i)是原始信號(hào)；是由小波閾值處理后的信號(hào)。
    根據(jù)以上仿真和分析，3種方法對(duì)含噪聲信號(hào)去噪后，信號(hào)的信噪比SNR和均方誤差MSE如表1所示。

    從表中的數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出，文中提出的方法比軟、硬閾值方法在信噪比SNR和均方誤差MSE這兩個(gè)性能指標(biāo)上均有明顯提高。

4 結(jié)束語(yǔ)
    小波濾波已經(jīng)應(yīng)用于許多理論和應(yīng)用領(lǐng)域，尤其在信號(hào)處理中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，小渡去噪技術(shù)已成為信號(hào)處理研究的熱點(diǎn)。文中介紹了小波閾值變換的原理以及軟、硬閾值變換的原理和步驟，分析了軟硬閾值變換的缺點(diǎn)，并且基于軟、硬閾值方法對(duì)去噪能力的不同特點(diǎn)，提出了一種新的閾值函數(shù)，用該方法可以獲得比軟、硬閾值消噪更好的去噪效果和更高的信噪比，新的閾值函數(shù)可以避免高頻信息的損失和軟閾值方法中對(duì)絕對(duì)值大的小波系數(shù)總存在恒定衰減的不足，并且新的閾值可以提高消噪后信號(hào)的信噪比，減少信號(hào)的失真和震蕩。