示波器基本原理之二：采樣率

數(shù)字測(cè)量應(yīng)用所需的采用率為多少？一些工程師對(duì)于 Nyquist 理論深信不疑，并且認(rèn)為只要采樣率是示波器帶寬的 2 倍便足矣。而其他工程師則不相信建立于 Nyquist 標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字濾波技術(shù)，更愿意使用采樣率為帶寬技術(shù)指標(biāo) 10 至 20 倍的示波器。實(shí)際情況介于二者之間。若要理解其中的原因，則必須了解 Nyquist 的理論及其與示波器頻率響應(yīng)之間的關(guān)系。 Harry Nyquist 博士（圖 1）假設(shè)：

Nyquist 采樣定理 對(duì)于具有最大頻率 fMAX的有限帶寬信號(hào)，等間隔采樣頻率 fS必須大于兩倍的最大頻率 fMAX，才能唯一地重建信號(hào)而不會(huì)有混疊現(xiàn)象。

Nyquist 采樣定理可以歸納為兩個(gè)簡(jiǎn)單規(guī)則，然而，對(duì)于 DSO 技術(shù)而言卻不是那么簡(jiǎn)單。

1. 采集的最高頻率分量必須小于采樣率的一半。

2. 第二個(gè)規(guī)則是必須等間隔采樣，而這一點(diǎn)經(jīng)常會(huì)被遺忘。

Nyquist 所稱(chēng)的 fMAX就是我們通常所指的 Nyquist 頻率（fN），它不同于示波器帶寬（fBW）。如果示波器帶寬恰好指定為 Nyquist（fN），則意味著示波器具有理想的磚墻式（brickwall）響應(yīng)，該響應(yīng)在此相同頻率下會(huì)完全衰減（如圖 2 所示）。低于 Nyquist 頻率的頻率分量會(huì)完全通過(guò)（增益 =1），高于 Nyquist 頻率的頻率分量則會(huì)完全予以排除。然而，這種頻率響應(yīng)濾波器無(wú)法在硬件中實(shí)施。

圖2 - 理想的磚墻式頻率響應(yīng)

帶寬技術(shù)指標(biāo)為 1 GHz 及以下的大部分示波器具有稱(chēng)為高斯頻率響應(yīng)的響應(yīng)類(lèi)型。當(dāng)信號(hào)輸入頻率接近示波器的指定帶寬時(shí)，測(cè)得的幅度會(huì)慢慢下降。信號(hào)在帶寬頻率下將會(huì)衰減 3 dB（~30%）。如果示波器的帶寬正好指定為 Nyquist（fN）（如圖 3 所示），輸入信號(hào)超過(guò)這個(gè)頻率的分量盡管衰減超過(guò) 3 dB，但也被采樣（紅色陰影部分），尤其當(dāng)輸入信號(hào)中包含快速邊沿時(shí)，情況更是如此（測(cè)量數(shù)字信號(hào)時(shí)）。這種現(xiàn)象違背了 Nyquist 采樣定理的第一條規(guī)則。

圖3 - 帶寬（fBW）指定為 Nyquist 頻率（fN）時(shí)，典型的示波器高斯頻率響應(yīng)

大多數(shù)示波器廠(chǎng)商不會(huì)將示波器的帶寬指定在 Nyquist 頻率（fN），不過(guò)也有部分廠(chǎng)商會(huì)這樣做。但是，波形記錄儀 / 數(shù)字轉(zhuǎn)換器的廠(chǎng)商往往會(huì)將其儀器的帶寬指定在 Nyquist 頻率?，F(xiàn)在我們看一下，如果示波器的帶寬與 Nyquist 頻率（fN）相同時(shí)會(huì)是什么狀況。

圖 4 顯示：在三或四通道模式下工作時(shí)， 500-MHz 帶寬的示波器正好以 1 GSa/s 的速度進(jìn)行采樣。盡管輸入信號(hào)的基本頻率（時(shí)鐘頻率）處于 Nyquist 的范圍內(nèi)，但是信號(hào)邊沿所包含的重要頻率分量遠(yuǎn)落在 Nyquist 頻率（fN）之外。仔細(xì)查看會(huì)發(fā)現(xiàn)，該信號(hào)的邊沿具有不同程度的預(yù)沖、過(guò)沖和各種邊沿速度，呈現(xiàn)出“不穩(wěn)定” 的趨勢(shì)。這就是混疊的跡象，它清晰地表明僅僅使用帶寬為采樣率 2 倍的示波器還不足以獲得可靠的數(shù)字信號(hào)測(cè)量結(jié)果。

圖4 - 使用 1 GSa/s 采樣率和 500-MHz 帶寬的示波器進(jìn)行采樣所產(chǎn)生的混疊邊沿

那么，示波器的帶寬（fBW）的定義應(yīng)該 怎 么 關(guān) 聯(lián) 到 波 器 的 采 樣 率（fS） 和 Nyquist 頻率（fN）呢？為了盡量避免對(duì)超出 Nyquist 頻率（fN）的頻率分量進(jìn)行采集，大多數(shù)示波器廠(chǎng)商將其具有典型高斯頻率響應(yīng)的示波器帶寬指定為實(shí)時(shí)采樣率的 1/4 至 1/5 或更低（如圖 5 所示）。盡管以比示波器帶寬大更多倍的速率采樣可以進(jìn)一步降低采集 Nyquist 頻率（fN）之外頻率分量的可能性，但是 4:1 的采樣率與帶寬比足以獲得可靠的數(shù)字測(cè)量結(jié)果。

圖5 - 將示波器帶寬（fBW）限制為采樣率的 1/4（fS/4），可以降低 Nyquist 頻率（fN）之上的頻率分量

帶寬技術(shù)指標(biāo)在 2-GHz 和更高范圍的示波器通常具有更陡峭的頻率衰減響應(yīng) / 特征。我們將這種類(lèi)型的頻率響應(yīng)稱(chēng)為“最大平坦度”響應(yīng)。由于具有最大平坦度響應(yīng)的示波器接近于磚墻式濾波器的理想特征，在這種情況下，超出 Nyquist 的頻率分量衰減程度更高，因此無(wú)需進(jìn)行多次采樣即可很好地顯示使用數(shù)字濾波的輸入信號(hào)。理論上廠(chǎng)商可以將具有此類(lèi)響應(yīng)的示波器帶寬（假設(shè)前端模擬硬件具備相應(yīng)能力）指定為 fS/2.5。

圖 6 顯示了 500-MHz 帶寬的示波器捕獲邊沿速度在 1 ns（10% - 90%）范圍的 100-MHz 的時(shí)鐘信號(hào)。500 MHz 的帶寬技術(shù)指標(biāo)是精確捕獲此數(shù)字信號(hào)的最小推薦帶寬。這一特定的示波器能夠在雙通道工作模式下以 4 GSa/s 進(jìn)行采樣，或者在三或四通道工作模式下以 2 GSa/s 進(jìn)行采樣。圖 6 顯示的是 2 GSa/s 采樣的示波器，其采樣頻率是 Nyquist 頻率（fN）的兩倍，帶寬頻率（fBW）的四倍。該圖表明，采樣率與帶寬之比為 4:1 的示波器可以非常穩(wěn)定而準(zhǔn)確地表示輸入信號(hào)。并且，借助 Sin(x)/x 波形重建 / 插值數(shù)字濾波技術(shù)，此示波器的波形和測(cè)量分辨率可達(dá)幾十皮秒的量級(jí)。與我們之前圖 4 所顯示的例子（采用相同帶寬的示波器，但僅為帶寬（fN）兩倍的速度進(jìn)行采樣）相比，波形穩(wěn)定性和精確度的差別顯而易見(jiàn)。

圖6 - 采用是德科技 500-MHz 帶寬示波器以 2 GSa/s 的速率進(jìn)行采樣，可以精確測(cè)量這個(gè)邊沿速度為 1 ns 的 100-MHz 時(shí)鐘信號(hào)

那么，如果我們將采樣率增大一倍，使其達(dá)到 4 GSa/s，再以相同的 500-MHz 帶寬示波器（fBW x 8）采樣，結(jié)果又會(huì)怎樣呢？您可能會(huì)直觀(guān)地認(rèn)為該示波器將會(huì)獲得更佳的波形和測(cè)量結(jié)果。但正如圖 7 所示，您只能取得很小的改進(jìn)。如果仔細(xì)觀(guān)察這兩個(gè)波形圖（圖 6 和圖 7），您將會(huì)發(fā)現(xiàn)，以 4 GSa/s（fBW x 8）采樣時(shí)，顯示的波形中僅有輕微的預(yù)沖和過(guò)沖。但是，上升時(shí)間測(cè)量顯示相同的結(jié)果（1.02 ns）。波形保真度略有提高的關(guān)鍵在于：當(dāng)此示波器的采樣率與帶寬之比由 4:1（2 GSa/s）升至 8:1（4 GSa/s）時(shí)，沒(méi)有引入其他的誤差源。這就引出了我們的一個(gè)主題：如果違背 Nyquist 規(guī)則二會(huì)怎么樣呢？ Nyquist 強(qiáng)調(diào)必須等間隔進(jìn)行采樣。用戶(hù)在評(píng)測(cè)數(shù)字存儲(chǔ)示波器時(shí)，往往會(huì)忽視這一重要規(guī)則。

圖7 - 采用是德科技 500-MHz 帶寬示波器以 4 GSa/s 采樣，與 2 GSa/s 采樣相比，對(duì)測(cè)量效果的提高微乎其微

當(dāng) ADC 技術(shù)已經(jīng)在最大采樣率方面達(dá)到限制時(shí)，示波器廠(chǎng)商如何制造出具有更高采樣率的示波器？追求更高采樣率或許只是想滿(mǎn)足示波器用戶(hù)對(duì)于“越高越好”的認(rèn)知，或者用戶(hù)認(rèn)為若要獲得更高的帶寬實(shí)時(shí)示波器測(cè)量效果，實(shí)際上可能需要更高的采樣率。但是，若使示波器具有更高的采樣率，并非像選擇具有更高采樣率的現(xiàn)成模數(shù)轉(zhuǎn)換器那樣簡(jiǎn)單。

所有主要示波器廠(chǎng)商均采用一種常見(jiàn)的技術(shù)，即交叉多個(gè)實(shí)時(shí) ADC。但是，請(qǐng)不要將此交叉采樣的技術(shù)與重復(fù)采集技術(shù)相混淆，我們將后者稱(chēng)之為“等效時(shí)間”采樣。

圖 8 顯示由兩個(gè) ADC 利用相位延遲采樣技術(shù)構(gòu)成的實(shí)時(shí)交叉 ADC 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。在本例中，ADC 2 一律對(duì) ADC 1 采樣之后的 ? 時(shí)鐘周期進(jìn)行采樣。在每個(gè)實(shí)時(shí)采集周期完成后，示波器的 CPU 或波形處理 ASIC 會(huì)對(duì)存儲(chǔ)在每個(gè) ADC 采集存儲(chǔ)器中的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢索，然后交叉樣本以獲得實(shí)時(shí)的數(shù)字化波形，且樣本密度也會(huì)翻倍（是采樣率的兩倍）。

具有實(shí)時(shí)交叉采樣特征的示波器必須遵守兩個(gè)要求。一是，若要實(shí)現(xiàn)無(wú)失真的準(zhǔn)確交叉，每個(gè) ADC 的垂直增益、偏移和頻率響應(yīng)必須嚴(yán)格匹配。其二，必須對(duì)相位延遲時(shí)鐘進(jìn)行高精度的校準(zhǔn)，以滿(mǎn)足 Nyquist 規(guī)則二的要求，即等間隔采樣。換句話(huà)說(shuō)，ADC 2 的取樣時(shí)鐘必須在樣品 ADC 1 之后精確地延遲 180 度。這兩個(gè)條件對(duì)于準(zhǔn)確交叉都非常重要。但是，為了對(duì)因交叉不良而導(dǎo)致的錯(cuò)誤有更直觀(guān)的理解，后文將重點(diǎn)分析僅因相位延遲定時(shí)不佳而導(dǎo)致的錯(cuò)誤。

圖8 - 由兩個(gè)交叉 ADC 構(gòu)成的實(shí)時(shí)采樣系統(tǒng)

圖 9 中所示的定時(shí)圖說(shuō)明，如果兩個(gè)交錯(cuò)的 ADC 相位延遲時(shí)鐘系統(tǒng)彼此之間沒(méi)有呈現(xiàn)精確的 ? 采樣周期延遲，則交錯(cuò)采樣會(huì)出現(xiàn)定時(shí)誤差。此圖顯示了實(shí)時(shí)數(shù)字化的點(diǎn)（紅點(diǎn)）相對(duì)于輸入信號(hào)進(jìn)行實(shí)際轉(zhuǎn)換的位置。但是，由于對(duì)相位延遲定時(shí)校準(zhǔn)不理想（紫色波形），這些數(shù)字化的點(diǎn)沒(méi)有進(jìn)行等間隔采樣，因此也就違背了 Nyquist 的第二條規(guī)則。

圖9 - 非等間隔采樣的定時(shí)圖

當(dāng)示波器的波形處理引擎對(duì)每個(gè) ADC 采集存儲(chǔ)器所存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢索時(shí)，首先會(huì)假設(shè)每個(gè)存儲(chǔ)設(shè)備中的采樣數(shù)據(jù)為等間隔采樣。當(dāng)您嘗試著對(duì)初始輸入信號(hào)的形狀進(jìn)行重建時(shí)，示波器 Sin（x）/x 重建濾波器所表示的信號(hào)將出現(xiàn)嚴(yán)重失真（如圖 10 所示）。

由于輸入信號(hào)與示波器取樣時(shí)鐘之間的相位關(guān)系是隨機(jī)的，當(dāng)您查看重復(fù)采集時(shí)，實(shí)時(shí)采集失真（有時(shí)稱(chēng)為“采樣噪聲”）可能會(huì)被誤釋為隨機(jī)噪聲。但該相位關(guān)系也不完全是隨機(jī)的，也具有一定的確定性，且與示波器的取樣時(shí)鐘直接相關(guān)。

圖10 - 該定時(shí)圖顯示了因相位延遲定時(shí)不佳而造成失真的波形，使用 Sin(x)/x 濾波器對(duì)其進(jìn)行重建

示波器廠(chǎng)商不會(huì)在其 DSO 數(shù)據(jù)表中為客戶(hù)提供可以直接量化示波器數(shù)字處理過(guò)程的技術(shù)指標(biāo)。但是，我們?nèi)匀豢梢暂p松執(zhí)行各種測(cè)試，不僅可以測(cè)量采樣失真的影響，還可以確定并量化采樣失真。下面的一個(gè)測(cè)試列表可