示波器基本原理之二：采樣率

數(shù)字測量應(yīng)用所需的采用率為多少？一些工程師對于 Nyquist 理論深信不疑，并且認為只要采樣率是示波器帶寬的 2 倍便足矣。而其他工程師則不相信建立于 Nyquist 標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字濾波技術(shù)，更愿意使用采樣率為帶寬技術(shù)指標(biāo) 10 至 20 倍的示波器。實際情況介于二者之間。若要理解其中的原因，則必須了解 Nyquist 的理論及其與示波器頻率響應(yīng)之間的關(guān)系。 Harry Nyquist 博士（圖 1）假設(shè)：

Nyquist 采樣定理 對于具有最大頻率 fMAX的有限帶寬信號，等間隔采樣頻率 fS必須大于兩倍的最大頻率 fMAX，才能唯一地重建信號而不會有混疊現(xiàn)象。

Nyquist 采樣定理可以歸納為兩個簡單規(guī)則，然而，對于 DSO 技術(shù)而言卻不是那么簡單。

1. 采集的最高頻率分量必須小于采樣率的一半。

2. 第二個規(guī)則是必須等間隔采樣，而這一點經(jīng)常會被遺忘。

Nyquist 所稱的 fMAX就是我們通常所指的 Nyquist 頻率（fN），它不同于示波器帶寬（fBW）。如果示波器帶寬恰好指定為 Nyquist（fN），則意味著示波器具有理想的磚墻式（brickwall）響應(yīng)，該響應(yīng)在此相同頻率下會完全衰減（如圖 2 所示）。低于 Nyquist 頻率的頻率分量會完全通過（增益 =1），高于 Nyquist 頻率的頻率分量則會完全予以排除。然而，這種頻率響應(yīng)濾波器無法在硬件中實施。

圖2 - 理想的磚墻式頻率響應(yīng)

帶寬技術(shù)指標(biāo)為 1 GHz 及以下的大部分示波器具有稱為高斯頻率響應(yīng)的響應(yīng)類型。當(dāng)信號輸入頻率接近示波器的指定帶寬時，測得的幅度會慢慢下降。信號在帶寬頻率下將會衰減 3 dB（~30%）。如果示波器的帶寬正好指定為 Nyquist（fN）（如圖 3 所示），輸入信號超過這個頻率的分量盡管衰減超過 3 dB，但也被采樣（紅色陰影部分），尤其當(dāng)輸入信號中包含快速邊沿時，情況更是如此（測量數(shù)字信號時）。這種現(xiàn)象違背了 Nyquist 采樣定理的第一條規(guī)則。

圖3 - 帶寬（fBW）指定為 Nyquist 頻率（fN）時，典型的示波器高斯頻率響應(yīng)

大多數(shù)示波器廠商不會將示波器的帶寬指定在 Nyquist 頻率（fN），不過也有部分廠商會這樣做。但是，波形記錄儀 / 數(shù)字轉(zhuǎn)換器的廠商往往會將其儀器的帶寬指定在 Nyquist 頻率?，F(xiàn)在我們看一下，如果示波器的帶寬與 Nyquist 頻率（fN）相同時會是什么狀況。

圖 4 顯示：在三或四通道模式下工作時， 500-MHz 帶寬的示波器正好以 1 GSa/s 的速度進行采樣。盡管輸入信號的基本頻率（時鐘頻率）處于 Nyquist 的范圍內(nèi)，但是信號邊沿所包含的重要頻率分量遠落在 Nyquist 頻率（fN）之外。仔細查看會發(fā)現(xiàn)，該信號的邊沿具有不同程度的預(yù)沖、過沖和各種邊沿速度，呈現(xiàn)出“不穩(wěn)定” 的趨勢。這就是混疊的跡象，它清晰地表明僅僅使用帶寬為采樣率 2 倍的示波器還不足以獲得可靠的數(shù)字信號測量結(jié)果。

圖4 - 使用 1 GSa/s 采樣率和 500-MHz 帶寬的示波器進行采樣所產(chǎn)生的混疊邊沿

那么，示波器的帶寬（fBW）的定義應(yīng)該 怎 么 關(guān) 聯(lián) 到 波 器 的 采 樣 率（fS） 和 Nyquist 頻率（fN）呢？為了盡量避免對超出 Nyquist 頻率（fN）的頻率分量進行采集，大多數(shù)示波器廠商將其具有典型高斯頻率響應(yīng)的示波器帶寬指定為實時采樣率的 1/4 至 1/5 或更低（如圖 5 所示）。盡管以比示波器帶寬大更多倍的速率采樣可以進一步降低采集 Nyquist 頻率（fN）之外頻率分量的可能性，但是 4:1 的采樣率與帶寬比足以獲得可靠的數(shù)字測量結(jié)果。

圖5 - 將示波器帶寬（fBW）限制為采樣率的 1/4（fS/4），可以降低 Nyquist 頻率（fN）之上的頻率分量

帶寬技術(shù)指標(biāo)在 2-GHz 和更高范圍的示波器通常具有更陡峭的頻率衰減響應(yīng) / 特征。我們將這種類型的頻率響應(yīng)稱為“最大平坦度”響應(yīng)。由于具有最大平坦度響應(yīng)的示波器接近于磚墻式濾波器的理想特征，在這種情況下，超出 Nyquist 的頻率分量衰減程度更高，因此無需進行多次采樣即可很好地顯示使用數(shù)字濾波的輸入信號。理論上廠商可以將具有此類響應(yīng)的示波器帶寬（假設(shè)前端模擬硬件具備相應(yīng)能力）指定為 fS/2.5。

圖 6 顯示了 500-MHz 帶寬的示波器捕獲邊沿速度在 1 ns（10% - 90%）范圍的 100-MHz 的時鐘信號。500 MHz 的帶寬技術(shù)指標(biāo)是精確捕獲此數(shù)字信號的最小推薦帶寬。這一特定的示波器能夠在雙通道工作模式下以 4 GSa/s 進行采樣，或者在三或四通道工作模式下以 2 GSa/s 進行采樣。圖 6 顯示的是 2 GSa/s 采樣的示波器，其采樣頻率是 Nyquist 頻率（fN）的兩倍，帶寬頻率（fBW）的四倍。該圖表明，采樣率與帶寬之比為 4:1 的示波器可以非常穩(wěn)定而準(zhǔn)確地表示輸入信號。并且，借助 Sin(x)/x 波形重建 / 插值數(shù)字濾波技術(shù)，此示波器的波形和測量分辨率可達幾十皮秒的量級。與我們之前圖 4 所顯示的例子（采用相同帶寬的示波器，但僅為帶寬（fN）兩倍的速度進行采樣）相比，波形穩(wěn)定性和精確度的差別顯而易見。

圖6 - 采用是德科技 500-MHz 帶寬示波器以 2 GSa/s 的速率進行采樣，可以精確測量這個邊沿速度為 1 ns 的 100-MHz 時鐘信號

那么，如果我們將采樣率增大一倍，使其達到 4 GSa/s，再以相同的 500-MHz 帶寬示波器（fBW x 8）采樣，結(jié)果又會怎樣呢？您可能會直觀地認為該示波器將會獲得更佳的波形和測量結(jié)果。但正如圖 7 所示，您只能取得很小的改進。如果仔細觀察這兩個波形圖（圖 6 和圖 7），您將會發(fā)現(xiàn)，以 4 GSa/s（fBW x 8）采樣時，顯示的波形中僅有輕微的預(yù)沖和過沖。但是，上升時間測量顯示相同的結(jié)果（1.02 ns）。波形保真度略有提高的關(guān)鍵在于：當(dāng)此示波器的采樣率與帶寬之比由 4:1（2 GSa/s）升至 8:1（4 GSa/s）時，沒有引入其他的誤差源。這就引出了我們的一個主題：如果違背 Nyquist 規(guī)則二會怎么樣呢？ Nyquist 強調(diào)必須等間隔進行采樣。用戶在評測數(shù)字存儲示波器時，往往會忽視這一重要規(guī)則。

圖7 - 采用是德科技 500-MHz 帶寬示波器以 4 GSa/s 采樣，與 2 GSa/s 采樣相比，對測量效果的提高微乎其微

當(dāng) ADC 技術(shù)已經(jīng)在最大采樣率方面達到限制時，示波器廠商如何制造出具有更高采樣率的示波器？追求更高采樣率或許只是想滿足示波器用戶對于“越高越好”的認知，或者用戶認為若要獲得更高的帶寬實時示波器測量效果，實際上可能需要更高的采樣率。但是，若使示波器具有更高的采樣率，并非像選擇具有更高采樣率的現(xiàn)成模數(shù)轉(zhuǎn)換器那樣簡單。

所有主要示波器廠商均采用一種常見的技術(shù)，即交叉多個實時 ADC。但是，請不要將此交叉采樣的技術(shù)與重復(fù)采集技術(shù)相混淆，我們將后者稱之為“等效時間”采樣。

圖 8 顯示由兩個 ADC 利用相位延遲采樣技術(shù)構(gòu)成的實時交叉 ADC 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。在本例中，ADC 2 一律對 ADC 1 采樣之后的 ? 時鐘周期進行采樣。在每個實時采集周期完成后，示波器的 CPU 或波形處理 ASIC 會對存儲在每個 ADC 采集存儲器中的數(shù)據(jù)進行檢索，然后交叉樣本以獲得實時的數(shù)字化波形，且樣本密度也會翻倍（是采樣率的兩倍）。

具有實時交叉采樣特征的示波器必須遵守兩個要求。一是，若要實現(xiàn)無失真的準(zhǔn)確交叉，每個 ADC 的垂直增益、偏移和頻率響應(yīng)必須嚴(yán)格匹配。其二，必須對相位延遲時鐘進行高精度的校準(zhǔn)，以滿足 Nyquist 規(guī)則二的要求，即等間隔采樣。換句話說，ADC 2 的取樣時鐘必須在樣品 ADC 1 之后精確地延遲 180 度。這兩個條件對于準(zhǔn)確交叉都非常重要。但是，為了對因交叉不良而導(dǎo)致的錯誤有更直觀的理解，后文將重點分析僅因相位延遲定時不佳而導(dǎo)致的錯誤。

圖8 - 由兩個交叉 ADC 構(gòu)成的實時采樣系統(tǒng)

圖 9 中所示的定時圖說明，如果兩個交錯的 ADC 相位延遲時鐘系統(tǒng)彼此之間沒有呈現(xiàn)精確的 ? 采樣周期延遲，則交錯采樣會出現(xiàn)定時誤差。此圖顯示了實時數(shù)字化的點（紅點）相對于輸入信號進行實際轉(zhuǎn)換的位置。但是，由于對相位延遲定時校準(zhǔn)不理想（紫色波形），這些數(shù)字化的點沒有進行等間隔采樣，因此也就違背了 Nyquist 的第二條規(guī)則。

圖9 - 非等間隔采樣的定時圖

當(dāng)示波器的波形處理引擎對每個 ADC 采集存儲器所存儲的數(shù)據(jù)進行檢索時，首先會假設(shè)每個存儲設(shè)備中的采樣數(shù)據(jù)為等間隔采樣。當(dāng)您嘗試著對初始輸入信號的形狀進行重建時，示波器 Sin（x）/x 重建濾波器所表示的信號將出現(xiàn)嚴(yán)重失真（如圖 10 所示）。

由于輸入信號與示波器取樣時鐘之間的相位關(guān)系是隨機的，當(dāng)您查看重復(fù)采集時，實時采集失真（有時稱為“采樣噪聲”）可能會被誤釋為隨機噪聲。但該相位關(guān)系也不完全是隨機的，也具有一定的確定性，且與示波器的取樣時鐘直接相關(guān)。

圖10 - 該定時圖顯示了因相位延遲定時不佳而造成失真的波形，使用 Sin(x)/x 濾波器對其進行重建

示波器廠商不會在其 DSO 數(shù)據(jù)表中為客戶提供可以直接量化示波器數(shù)字處理過程的技術(shù)指標(biāo)。但是，我們?nèi)匀豢梢暂p松執(zhí)行各種測試，不僅可以測量采樣失真的影響，還可以確定并量化采樣失真。下面的一個測試列表可