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[導(dǎo)讀]   本文作者maxfiner,畢業(yè)于西安電子科技大學(xué),擁有信號(hào)與信息處理專業(yè)碩士學(xué)位。maxfiner曾供職于華為通信技術(shù)公司無線通信部門,擁有多年的工程項(xiàng)目研發(fā)經(jīng)驗(yàn),同時(shí)兼?zhèn)渌惴ɡ碚撗芯?,仿?

  本文作者maxfiner,畢業(yè)于西安電子科技大學(xué),擁有信號(hào)與信息處理專業(yè)碩士學(xué)位。maxfiner曾供職于華為通信技術(shù)公司無線通信部門,擁有多年的工程項(xiàng)目研發(fā)經(jīng)驗(yàn),同時(shí)兼?zhèn)渌惴ɡ碚撗芯?,仿真?yàn)證,以及對(duì)應(yīng)的硬件設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)能力;具備通信物理層開發(fā)設(shè)計(jì)各個(gè)方面的實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)...

  相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用很廣,比如噪聲中信號(hào)的檢測(cè),信號(hào)中隱含周期性的檢測(cè),信號(hào)時(shí)延長(zhǎng)度的測(cè)量等等。這一節(jié)專門討論利用自相關(guān)函數(shù)檢測(cè)淹沒在噪聲下的周期性信號(hào)。

  一個(gè)信號(hào),由于噪聲的影響,從波形上看,已經(jīng)面目全非,雜亂不堪。如下圖所示:

  

  基于信號(hào)的自相關(guān)累積可以檢測(cè)是否有周期信號(hào)的存在,這是基于幾個(gè)前提:

  第一,通常把噪聲都看作加性的白噪聲對(duì)待,因?yàn)檫@種噪聲從理論上便于分析和處理。而白噪聲的自相關(guān)函數(shù)有著非常獨(dú)特的個(gè)性,就是自相關(guān)函數(shù)只在時(shí)有一定的數(shù)值,在則為零值。這是白噪聲本身的完全隨機(jī)性決定的。也正是基于這個(gè)性質(zhì),我們才有可能從強(qiáng)噪聲背景中提取出我們感興趣的信號(hào)。

  第二,周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù),仍是周期函數(shù),并且周期和原函數(shù)周期相同。這從自相關(guān)函數(shù)的定義可以很容易推導(dǎo)出來。

  第三,白噪聲和周期信號(hào)完全不相關(guān),白噪聲的完全隨機(jī)性導(dǎo)致它和任何函數(shù)都不相關(guān)戀。它們之間的互相關(guān)函數(shù)可認(rèn)為是零。這是很多理論推導(dǎo)的一個(gè)前提。

  基于自相關(guān)函數(shù)的定義,我們可以從公式上做一下簡(jiǎn)單的推導(dǎo),看看添加了噪聲后的信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)到底是什么樣子。假定我們的信號(hào)為,白噪聲信號(hào)為,則添加了白噪聲的信號(hào)為。

  那么,基于上面的三個(gè)前提,我們可以把的自相關(guān)函數(shù)表示成如下的形式。公式推導(dǎo)看上去很麻煩,其實(shí)一步一步都有嚴(yán)格的規(guī)律和理由,認(rèn)真觀察和分析,可以增進(jìn)對(duì)自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)的理解,也可以加強(qiáng)公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)能力。

也就是說,

  理論公式非常嚴(yán)密但不直觀。還是找個(gè)實(shí)際例子驗(yàn)證下吧。構(gòu)造一個(gè)正弦波周期信號(hào)和白噪聲信號(hào),看看它們疊加后的信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)到底是個(gè)什么樣子。

  自相關(guān)函數(shù)在0位置是一個(gè)相對(duì)較大的數(shù)值,這是白噪聲自身相關(guān)累積導(dǎo)致的。在非零位置,則完全由周期信號(hào)來決定了。

  相應(yīng)的matlab仿真驗(yàn)證代碼如下,

  fs = 5e3;

  n = 0:1/fs:1;

  len = length(n);

  freq = 100;

  s = sin(2*pi*freq*n);

  n = randn(1,len);

  x = s + n;

  rr = xcorr(x,‘unbiased’);

  figure,subplot(121),plot(x);TItle(‘ÐźÅʱÓòµÄ²¨ÐÎ’);

  subplot(122),plot(rr);TItle(‘ÐźŵÄ&TImes;ÔÏà¹Øº¯ÊýµÄ²¨ÐÎ’);

  值得說明的是,相關(guān)函數(shù)采用matlab工具箱提供的函數(shù)xcorr,它有兩種計(jì)算方式,一種叫“biased”,即有偏的。一種叫“unbiased”,即無偏的。這是由于實(shí)際計(jì)算相關(guān)函數(shù)時(shí),實(shí)際數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度總是有限的,那么隨著相關(guān)函數(shù)中m的增大,相關(guān)累積求和的樣點(diǎn)數(shù)是逐漸減小的,當(dāng)采用上面提到的自相關(guān)函數(shù)計(jì)算公式時(shí),統(tǒng)一都除以N,導(dǎo)致相關(guān)函數(shù)隨著m的增大會(huì)線性減,這就是有偏的計(jì)算方式,意思是計(jì)算值的統(tǒng)計(jì)上的均值和實(shí)際值之間并不一致,存在一定的偏差。這種計(jì)算方式導(dǎo)致當(dāng)m的絕對(duì)值接近實(shí)際采集信號(hào)長(zhǎng)度N時(shí),誤差會(huì)變得越來越大。若是把m的增大導(dǎo)致累積樣點(diǎn)減少這個(gè)因素考慮進(jìn)去,不再統(tǒng)一除以N,而是除以N-m,則相關(guān)函數(shù)不再會(huì)產(chǎn)生線性減小的問題,這就對(duì)應(yīng)代碼中的無偏的計(jì)算方式。

 

下期開講——精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小TIps(9):估算信號(hào)在模擬通道的延時(shí),敬請(qǐng)關(guān)注!

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往期回顧

精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小Tips(1):信號(hào)和信息
精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小Tips(2):數(shù)學(xué)的作用
精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小Tips(3):必須掌握的三大基石
精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小Tips(4):最頻繁使用的幾個(gè)信號(hào)
精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小Tips(5):三個(gè)應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)概念
精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小Tips(6):卷積是怎么得到的?
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