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[導(dǎo)讀]   本文作者maxfiner,畢業(yè)于西安電子科技大學(xué),擁有信號(hào)與信息處理專業(yè)碩士學(xué)位。maxfiner曾供職于華為通信技 術(shù)公司無線通信部門,擁有多年的工程項(xiàng)目研發(fā)經(jīng)驗(yàn),同時(shí)兼?zhèn)渌惴ɡ碚撗?


  本文作者maxfiner,畢業(yè)于西安電子科技大學(xué),擁有信號(hào)與信息處理專業(yè)碩士學(xué)位。maxfiner曾供職于華為通信技 術(shù)公司無線通信部門,擁有多年的工程項(xiàng)目研發(fā)經(jīng)驗(yàn),同時(shí)兼?zhèn)渌惴ɡ碚撗芯?,仿真?yàn)證,以及對(duì)應(yīng)的硬件設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)能力;具備通信物理層開發(fā)設(shè)計(jì)各個(gè)方面的實(shí)戰(zhàn) 經(jīng)驗(yàn)...

  從事信號(hào)處理相關(guān)工作,不可避免的用到一些數(shù)學(xué)知識(shí)。通常來說,用到啥,就回頭去看啥,或者說,缺啥補(bǔ)啥。有一些數(shù)學(xué)知識(shí),是頻繁和反復(fù)用到的,因此有必要把它們匯總下。數(shù)學(xué)方面的東西,只看數(shù)學(xué)書籍的話,一般情況下,是相當(dāng)乏味和枯燥的,但是和實(shí)際應(yīng)用結(jié)合起來,就發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力、力量和威力還是很強(qiáng)大的。和實(shí)際問題結(jié)合起來,數(shù)學(xué)也就變得有趣起來。在這里,暫時(shí)舉出三例,后續(xù)繼續(xù)豐富和完善。

  一 復(fù)數(shù)的概念

  復(fù)數(shù)可以說是我們從小到大一路走來,最后學(xué)到的一種數(shù)了。從歷史的角度看,它也是最后引入的幾個(gè)數(shù)之一,直到最近幾百年才開始引入并推廣應(yīng)用。它是為了解方程的方便而引入的,而且一開始還一直不被人們接受,這些人中包括很多大數(shù)學(xué)家??梢娨粋€(gè)新的事物,一個(gè)新的概念,一種新的思想,要想被人接受是很困難的,很漫長(zhǎng)的一件事情。但是,隨著時(shí)間的發(fā)展,由于它的獨(dú)特價(jià)值,最終被人接受并廣泛應(yīng)用。復(fù)數(shù)除了解方程之外,在工程領(lǐng)域,最能體現(xiàn)復(fù)數(shù)應(yīng)用價(jià)值的是兩個(gè)方向,一個(gè)是量子力學(xué),一個(gè)就是電磁學(xué)。

  復(fù)數(shù)的概念在電子工程,電磁場(chǎng)與電磁波等領(lǐng)域應(yīng)用極為廣泛,在信號(hào)處理方向更是如此。不論是信號(hào)處理的基礎(chǔ)理論——傅里葉變換,還是信號(hào)的基帶表示和帶通表示,解析表示,不論是頻譜的分析,還是討論信號(hào)的時(shí)移和相位,都離不開復(fù)數(shù)這個(gè)有力的工具的支撐。

  相關(guān)概念:

  

  應(yīng)用舉例簡(jiǎn)述如下,在相關(guān)章節(jié)會(huì)分別進(jìn)行更詳細(xì)的介紹。

  BPSK,QPSK,16QAM等調(diào)制方式,信號(hào)星座可看做信號(hào)正交分量和同相分量的復(fù)數(shù)域的表示。

  發(fā)射機(jī)的EVM測(cè)試,即根據(jù)星座點(diǎn)在復(fù)平面上的位置進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算的目標(biāo)就是實(shí)際測(cè)得的星座點(diǎn)和參考星座點(diǎn)之間的距離,或者說就是復(fù)平面上兩個(gè)點(diǎn)的距離。

  接收機(jī)存在某個(gè)頻率偏移時(shí),星座圖上的星座點(diǎn)會(huì)以恒定速率旋轉(zhuǎn),圍繞原點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)角速度和頻率偏移大小成正比。

  電路的阻抗分析、諧振分析均以復(fù)數(shù)運(yùn)算為基礎(chǔ)。

  實(shí)信號(hào)的頻譜是共軛對(duì)稱的。頻譜的鏡像可用共軛成分來表示。

  安捷倫和羅德施瓦茨都有矢量信號(hào)發(fā)生器,矢量信號(hào)分析儀,這些信號(hào)都是復(fù)數(shù)形式的信號(hào)。

  信道估計(jì)算法,本質(zhì)上可以看做是復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算。

  發(fā)射機(jī)的正交上變頻,接收機(jī)的正交下變頻,本質(zhì)上可以看做復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算。

  接收機(jī)頻偏的補(bǔ)償,本質(zhì)上可以看做復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算。

  發(fā)射機(jī)鏈路和接收機(jī)鏈路上各個(gè)節(jié)點(diǎn)的功率的計(jì)算,為復(fù)數(shù)的模平方的計(jì)算,在信號(hào)功率監(jiān)測(cè),模擬自動(dòng)增益控制(AAGC),數(shù)字自動(dòng)增益控制(DAGC)等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。

  二 信號(hào)的伸縮和平移

  信號(hào)的伸縮和平移,尤其是平移,在信號(hào)處理的理論和實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用。信號(hào)時(shí)域的平移和頻域的相移之間的關(guān)系,是非常奇妙而又應(yīng)用廣泛的一對(duì)關(guān)系。信號(hào)的伸縮和平移,從數(shù)學(xué)上來說,就是函數(shù)的伸縮和平移的應(yīng)用,這是高中初等數(shù)學(xué)的范疇,應(yīng)該是非常一般的,即使很久不用數(shù)學(xué)也不會(huì)忘記的一個(gè)概念和方法。但是因?yàn)樗绱说闹匾虼擞斜匾獑为?dú)拿出來進(jìn)行一個(gè)小小的總結(jié),從而更好的利用這一有效工具去解決各種信號(hào)處理相關(guān)的問題。這一章節(jié)專門討論和總結(jié)平移。伸縮的討論等到真正用到它時(shí)(比如信號(hào)的插值和抽?。┰龠M(jìn)行相應(yīng)描述。

  信號(hào)的平移,最簡(jiǎn)單的是記住四個(gè)字——“加左減右”。即移動(dòng)量是正值,則整個(gè)信號(hào)波形向左移動(dòng),即向x坐標(biāo)軸的負(fù)軸方向移動(dòng)。移動(dòng)量是負(fù)值,則整個(gè)信號(hào)波形向右移動(dòng),即向x坐標(biāo)軸的正軸方向移動(dòng)。雖然想象左右比想象上下的心理反應(yīng)時(shí)間要慢些,但多多體會(huì)就會(huì)熟記于心的。

  舉個(gè)例子,比如單位采樣信號(hào)為不妨想一下,和單位沖擊信號(hào)有何區(qū)別呢?),如下圖所示:

  

  若是信號(hào)形式為則整個(gè)波形向左移動(dòng)5個(gè)采樣點(diǎn),如下圖所示:

  

  對(duì)于一般的一個(gè)信號(hào)可以根據(jù)單位采樣信號(hào)的平移性質(zhì),表示成如下形式:

  

  也就是說,任何一個(gè)離散信號(hào),都可以表示成單位采樣信號(hào)的線性疊加形式。從信號(hào)與系統(tǒng)的角度來說,這是系統(tǒng)線性疊加的體現(xiàn)。這里的系統(tǒng),當(dāng)然是線性時(shí)不變系統(tǒng),滿足齊次性,疊加性和時(shí)不變性,這是我們所有關(guān)于信號(hào)與系統(tǒng)的分析的前提。

  三 和差化積公式

  積化和差公式最普遍、最頻繁的應(yīng)用就是信號(hào)的上下變頻處理。后續(xù)我們結(jié)合信號(hào)的基帶表示和帶通表示的時(shí)候會(huì)進(jìn)行更細(xì)致的描述。

  

  若是一下子記不住這四個(gè)公式,可以先理解第三個(gè),然后依次類推。雖然說數(shù)學(xué)需要理解,但是實(shí)踐證明,為了更好和更高效的應(yīng)用,一些極其常用的概念和公式還是記牢的好。

  比如諸如積化和差之類的三角公式,比如香農(nóng)公式,比如2的N次方(2<N<16)。
 

下期開講——精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小TIps(6):卷積是怎么得到的?敬請(qǐng)關(guān)注!

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往期回顧

精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小TIps(1):信號(hào)和信息
精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小TIps(2):數(shù)學(xué)的作用
精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小TIps(3):必須掌握的三大基石
精通信號(hào)處理設(shè)計(jì)小Tips(4):最頻繁使用的幾個(gè)信號(hào)
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