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[導(dǎo)讀]隨機(jī)振動沒有周期性,無規(guī)律可言,其波形在時間軸上無法數(shù)式化表示,不像正弦振動那樣可以預(yù)測到下一步的運動狀態(tài)。一般,振幅的概率密度函數(shù)近似符合正態(tài)分布。假定隨機(jī)振動試驗是平穩(wěn)的各態(tài)歷經(jīng)的正態(tài)分布。通過上述假定,我們可以通過數(shù)學(xué)統(tǒng)計和概率論的方法來加以描述隨機(jī)振動,離開這個假定,隨機(jī)振動試驗無從談起。一般隨機(jī)振動可通過下面4個域進(jìn)行描述。

本文來源于振動試驗學(xué)習(xí)筆記

***時差域(自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù))

給出頻率成份和時間歷程之間的信息。

(1)自相關(guān)函數(shù)Rxx(τ)(auto-correlation function):反應(yīng)同一隨機(jī)信號x(t)在時刻t和(t+τ)時的相互依賴關(guān)系,定義為兩時刻隨機(jī)變量的乘積的平均值。


當(dāng)平均時間趨近于無窮大時,便得到自相關(guān)函數(shù),其數(shù)學(xué)式和曲線如下所示,是時差τ的函數(shù)。

隨機(jī)振動自相關(guān)函數(shù)曲線

上圖中可以看出,Rxx(τ)越大,同一隨機(jī)振動信號兩時刻的信號相似性越好;Rxx(τ)越小,相似性越差。對于平穩(wěn)隨機(jī)振動,當(dāng)τ趨近于無窮大時,兩個信號越來越不相關(guān),且其值趨近于μ2。μ= 0時,其也趨近于零。

隨機(jī)振動試驗中,很重要的一個函數(shù),主要作用如下,

1 用于描述隨機(jī)振動過程的總能量以及靜態(tài)分量和動態(tài)分量。

當(dāng)τ= 0的時候,即

2 用于檢測隨機(jī)振動過程中的確定性周期振動。

它可以把隨機(jī)信號中的周期成份檢測出來。因為任何周期信號在所有的時移上都有一定的自相關(guān)函數(shù)圖形,當(dāng)在自相關(guān)函數(shù)圖上發(fā)現(xiàn)時差τ趨于無窮大,Rxx(∞)≠0,而有某種周期性,即說明隨機(jī)振動信號中混有周期信號成份。

3 用于構(gòu)建自功率譜密度函數(shù),通過對自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換即可得到,隨機(jī)振動試驗中很重要的一個分析方法,和PSD關(guān)系很大。

(2)互相關(guān)函數(shù)Rxy (τ)(cross-correlationfunction):反應(yīng)兩個隨機(jī)信號x(t)、y(t)在時刻t和t+τ的相互依賴關(guān)系。

其數(shù)學(xué)式和曲線如下所示,是時差τ的函數(shù)。

隨機(jī)振動互相關(guān)函數(shù)曲線

同樣也是一個重要的函數(shù),可以用于檢測振動系統(tǒng)響應(yīng)信號與激勵信號的滯后時間,因為信號在系統(tǒng)中的時間滯后值,可以通過輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)中的峰值位置來確定,互相關(guān)函數(shù)最大值偏離坐標(biāo)中心位置的時間坐標(biāo)移動值,就是信號通過系統(tǒng)所需時間(圖中τ0)。用于確定信號傳遞通道,如果一線性系統(tǒng)的輸入通過幾個通道輸出,利用互相關(guān)函數(shù)的時移,可以確定那個通道為主要的。用于辨別隨機(jī)信號中的成份,用于構(gòu)建互功率譜密度函數(shù)(傅里葉變換)。


***頻域(自功率譜密度函數(shù)、互功率譜密度函數(shù))

(1)自功率譜密度函數(shù)Sxx(ω)將平穩(wěn)隨機(jī)振動過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)Rxx(τ)的傅里葉變換定義為隨機(jī)振動過程的自功率譜密度函數(shù)Sxx(ω)。其數(shù)學(xué)式如下所示,

其傅里葉逆變換即

下表列舉了各類振動信號的概率密度、自相關(guān)、自功率譜等的曲線,供參考。


自功率譜密度函數(shù)是一個很有用的函數(shù),描述隨機(jī)振動的頻率構(gòu)成。x2(t)可以看成振動系統(tǒng)的“功和能”的度量,Rxx(τ)中含有x2(t)的成份,求出Sxx(ω)后可以得到振動能量在頻率域的分布度量,因為時域和頻域功率守恒(帕斯瓦定理)。

了解以上概念后,這里可以提出PSD(功率譜密度譜)的概念,在指定頻率上,隨機(jī)振動信號的功率譜密度為,

式中,可以看到在指定頻率上的功率譜密度就是信號在Δf中的均方值的平均值。由于理想情況(平均時間無限長,濾波器的帶寬無限窄)不可能實現(xiàn),因此通常是用有限平均時間和有限帶寬,即


將所有的Δf和對應(yīng)的PSD值連續(xù)起來,便得到了頻率范圍內(nèi)PSD的變化形式(曲線、直線、折線等圖形),這圖形稱為功率譜密度的頻譜,也就是隨機(jī)振動試驗最基本的試驗內(nèi)容。功率譜密度的單位是g2/Hz,即單位頻率上的加速度值的平方,所以在隨機(jī)振動試驗中也稱為加速度譜密度(ASD)。功率譜密度的頻譜也稱為加速度譜密度的頻譜。單位有g(shù)2/Hz和m2/s4二種方式,兩者的關(guān)系約為100倍,即1g2/Hz = 100m2/s4

至于PSD是怎么得到的,只要記住傅里葉變換得到的即可。具體來說,隨機(jī)信號→幅值正態(tài)分布→均方值(平均功率)→帕斯瓦定理(功率守恒)→自相關(guān)函數(shù)(去除相位信息)→維納-辛欽定理(一個信號的功率密度譜就是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換)

2)互功率譜密度函數(shù)Sxy(ω)它是互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換,其數(shù)學(xué)式如下,

其傅里葉逆變換即

它可以用來描述兩隨機(jī)振動過程之間的頻率信息,不僅能提供按頻率分布的能量大小,還能提供兩信號之間的相互關(guān)系。從互功率譜密度中,可以得到系統(tǒng)的頻響函數(shù),也可以確定振動響應(yīng)與對其激勵的時間關(guān)系。


總結(jié):

以上說明了隨機(jī)振動的4個域(時域、幅值域、時差域、頻域)描述中需要的幾個主要概念,對初學(xué)者來說理解起來比較困難。簡單來說,對于現(xiàn)場隨機(jī)振動,通過上面這些概念對其定義和計算,進(jìn)行傅里葉變換,得到隨機(jī)振動試驗需要的PSD和量級。然后通過振動控制儀模擬現(xiàn)場隨機(jī)振動試驗,重現(xiàn)其有效頻率成份(頻率范圍)、功率譜密度(加速度譜密度)、總均方根加速度(有效值),振動臺面的運動是隨機(jī)振動的時間歷程,該時間歷程含有現(xiàn)場隨機(jī)振動的同樣成份(頻率、能量),是其典型代表,但波形基本上不是同樣的。

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