淺談隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)：隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)4個(gè)域描述（二）

本文來源于振動(dòng)試驗(yàn)學(xué)習(xí)筆記

＊＊＊時(shí)差域（自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)）

給出頻率成份和時(shí)間歷程之間的信息。

（1）自相關(guān)函數(shù)R_xx(τ)（auto-correlation function）：反應(yīng)同一隨機(jī)信號(hào)x（t）在時(shí)刻t和（t+τ）時(shí)的相互依賴關(guān)系，定義為兩時(shí)刻隨機(jī)變量的乘積的平均值。

當(dāng)平均時(shí)間趨近于無窮大時(shí)，便得到自相關(guān)函數(shù)，其數(shù)學(xué)式和曲線如下所示，是時(shí)差τ的函數(shù)。

隨機(jī)振動(dòng)自相關(guān)函數(shù)曲線

上圖中可以看出，R_xx（τ）越大，同一隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)兩時(shí)刻的信號(hào)相似性越好；R_xx（τ）越小，相似性越差。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)，當(dāng)τ趨近于無窮大時(shí)，兩個(gè)信號(hào)越來越不相關(guān)，且其值趨近于μ²。μ= 0時(shí)，其也趨近于零。

隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中，很重要的一個(gè)函數(shù)，主要作用如下，

1 用于描述隨機(jī)振動(dòng)過程的總能量以及靜態(tài)分量和動(dòng)態(tài)分量。

當(dāng)τ= 0的時(shí)候，即

2 用于檢測(cè)隨機(jī)振動(dòng)過程中的確定性周期振動(dòng)。

它可以把隨機(jī)信號(hào)中的周期成份檢測(cè)出來。因?yàn)槿魏沃芷谛盘?hào)在所有的時(shí)移上都有一定的自相關(guān)函數(shù)圖形，當(dāng)在自相關(guān)函數(shù)圖上發(fā)現(xiàn)時(shí)差τ趨于無窮大，R_xx（∞）≠0，而有某種周期性，即說明隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)中混有周期信號(hào)成份。

3 用于構(gòu)建自功率譜密度函數(shù)，通過對(duì)自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換即可得到，隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中很重要的一個(gè)分析方法，和PSD關(guān)系很大。

（2）互相關(guān)函數(shù)R_xy (τ)（cross-correlationfunction）：反應(yīng)兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)x（t）、y（t）在時(shí)刻t和t+τ的相互依賴關(guān)系。

其數(shù)學(xué)式和曲線如下所示，是時(shí)差τ的函數(shù)。

隨機(jī)振動(dòng)互相關(guān)函數(shù)曲線

同樣也是一個(gè)重要的函數(shù)，可以用于檢測(cè)振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)與激勵(lì)信號(hào)的滯后時(shí)間，因?yàn)樾盘?hào)在系統(tǒng)中的時(shí)間滯后值，可以通過輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)中的峰值位置來確定，互相關(guān)函數(shù)最大值偏離坐標(biāo)中心位置的時(shí)間坐標(biāo)移動(dòng)值，就是信號(hào)通過系統(tǒng)所需時(shí)間（圖中τ₀）。用于確定信號(hào)傳遞通道，如果一線性系統(tǒng)的輸入通過幾個(gè)通道輸出，利用互相關(guān)函數(shù)的時(shí)移，可以確定那個(gè)通道為主要的。用于辨別隨機(jī)信號(hào)中的成份，用于構(gòu)建互功率譜密度函數(shù)（傅里葉變換）。

＊＊＊頻域(自功率譜密度函數(shù)、互功率譜密度函數(shù))

（1）自功率譜密度函數(shù)S_xx(ω)：將平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)R_xx（τ）的傅里葉變換定義為隨機(jī)振動(dòng)過程的自功率譜密度函數(shù)S_xx(ω)。其數(shù)學(xué)式如下所示，

其傅里葉逆變換即

下表列舉了各類振動(dòng)信號(hào)的概率密度、自相關(guān)、自功率譜等的曲線，供參考。

自功率譜密度函數(shù)是一個(gè)很有用的函數(shù)，描述隨機(jī)振動(dòng)的頻率構(gòu)成。x²(t)可以看成振動(dòng)系統(tǒng)的“功和能”的度量，R_xx（τ）中含有x²(t)的成份，求出S_xx(ω)后可以得到振動(dòng)能量在頻率域的分布度量，因?yàn)闀r(shí)域和頻域功率守恒（帕斯瓦定理）。

了解以上概念后，這里可以提出PSD（功率譜密度譜）的概念，在指定頻率上，隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)的功率譜密度為，

式中，可以看到在指定頻率上的功率譜密度就是信號(hào)在Δf中的均方值的平均值。由于理想情況（平均時(shí)間無限長，濾波器的帶寬無限窄）不可能實(shí)現(xiàn)，因此通常是用有限平均時(shí)間和有限帶寬，即

將所有的Δf和對(duì)應(yīng)的PSD值連續(xù)起來，便得到了頻率范圍內(nèi)PSD的變化形式（曲線、直線、折線等圖形），這圖形稱為功率譜密度的頻譜，也就是隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)最基本的試驗(yàn)內(nèi)容。功率譜密度的單位是g²/Hz，即單位頻率上的加速度值的平方，所以在隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中也稱為加速度譜密度（ASD）。功率譜密度的頻譜也稱為加速度譜密度的頻譜。單位有g(shù)²/Hz和m²/s⁴二種方式，兩者的關(guān)系約為100倍，即1g²/Hz = 100m²/s⁴。

至于PSD是怎么得到的，只要記住傅里葉變換得到的即可。具體來說，隨機(jī)信號(hào)→幅值正態(tài)分布→均方值（平均功率）→帕斯瓦定理（功率守恒）→自相關(guān)函數(shù)（去除相位信息）→維納-辛欽定理（一個(gè)信號(hào)的功率密度譜就是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換）。

（2）互功率譜密度函數(shù)S_xy(ω)：它是互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，其數(shù)學(xué)式如下，

其傅里葉逆變換即

它可以用來描述兩隨機(jī)振動(dòng)過程之間的頻率信息，不僅能提供按頻率分布的能量大小，還能提供兩信號(hào)之間的相互關(guān)系。從互功率譜密度中，可以得到系統(tǒng)的頻響函數(shù)，也可以確定振動(dòng)響應(yīng)與對(duì)其激勵(lì)的時(shí)間關(guān)系。

總結(jié)：

以上說明了隨機(jī)振動(dòng)的4個(gè)域（時(shí)域、幅值域、時(shí)差域、頻域）描述中需要的幾個(gè)主要概念，對(duì)初學(xué)者來說理解起來比較困難。簡單來說，對(duì)于現(xiàn)場隨機(jī)振動(dòng)，通過上面這些概念對(duì)其定義和計(jì)算，進(jìn)行傅里葉變換，得到隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)需要的PSD和量級(jí)。然后通過振動(dòng)控制儀模擬現(xiàn)場隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，重現(xiàn)其有效頻率成份（頻率范圍）、功率譜密度（加速度譜密度）、總均方根加速度（有效值），振動(dòng)臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)振動(dòng)的時(shí)間歷程，該時(shí)間歷程含有現(xiàn)場隨機(jī)振動(dòng)的同樣成份（頻率、能量），是其典型代表，但波形基本上不是同樣的。