面試前必知必會(huì)的二分查找及其變種

今天給大家?guī)?lái)的是二分查找及其變種的總結(jié)，大家一定要看到最后呀，非常非常用心的一篇文章，廢話不多說(shuō)，讓導(dǎo)演幫我們把鏡頭切到袁記菜館吧！

袁記菜館內(nèi)。。。。

店小二：掌柜的，您進(jìn)貨回來(lái)了呀，喲！今天您買這魚(yú)挺大呀！

袁廚：那是，這是我今天從咱們江邊買的，之前一直去菜市場(chǎng)買，那里的老貴了，你猜猜我今天買的多少錢一條。

店小二：之前的魚(yú)，30個(gè)銅板一條，今天的我猜26個(gè)銅板。

袁廚：貴了。

店小二：還貴呀！那我猜20個(gè)銅板！

袁廚：還是貴了。

店小二：15個(gè)銅板。

袁廚：便宜了

店小二：18個(gè)銅板

袁廚：恭喜你猜對(duì)了

上面的例子就用到了我們的二分查找思想，如果你玩過(guò)類似的游戲，那二分查找理解起來(lái)肯定很輕松啦，下面我們一起征服二分查找吧！

二分查找

二分查找也稱折半查找（Binary Search），是一種在有序數(shù)組中查找某一特定元素的搜索算法。我們可以從定義可知，運(yùn)用二分搜索的前提是數(shù)組必須是有序的，這里需要注意的是，我們的輸入不一定是數(shù)組，也可以是數(shù)組中某一區(qū)間的起始位置和終止位置

通過(guò)上面二分查找的定義，我們知道了二分查找算法的作用及要求，那么該算法的具體執(zhí)行過(guò)程是怎樣的呢？

下面我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)幫助我們理解。我們需要在 nums ?數(shù)組中，查詢?cè)?8 的索引

（1）我們需要定義兩個(gè)指針?lè)謩e指向數(shù)組的頭部及尾部，這是我們?cè)谡麄€(gè)數(shù)組中查詢的情況，當(dāng)我們?cè)跀?shù)組某一區(qū)間進(jìn)行查詢時(shí)，可以輸入數(shù)組，起始位置，終止位置進(jìn)行查詢。

（2）找出mid，該索引為mid =（left + right）/ 2，但是這樣寫(xiě)有可能溢出，所以我們需要改進(jìn)一下寫(xiě)成mid = left +（right - left）/ 2 或者 ?left + ((right - left ) >> 1) ?兩者作用是一樣的，都是為了找到兩指針的中間索引，使用位運(yùn)算的速度更快。那么此時(shí)的 mid = 0 + (8-0) / 2 = 4

（3）此時(shí)我們的 mid = 4，nums[mid] = 6 < target,那么我們需要移動(dòng)我們的 left 指針，讓left = mid + 1，下次則可以在新的 left 和 right 區(qū)間內(nèi)搜索目標(biāo)值，下圖為移動(dòng)前和移動(dòng)后

（4）我們需要在 left 和 right 之間計(jì)算 mid 值，mid = 5 + （8 - 5）/ 2 ?= 6 然后將 nums[mid] 與 target 繼續(xù)比較，進(jìn)而決定下次移動(dòng)left 指針還是 right 指針，見(jiàn)下圖

（5）我們發(fā)現(xiàn) nums[mid] > target，則需要移動(dòng)我們的 right 指針， 則 right = mid - 1；則移動(dòng)過(guò)后我們的 left 和 right 會(huì)重合，這里是我們的一個(gè)重點(diǎn)大家需要注意一下，后面會(huì)對(duì)此做詳細(xì)敘述。

（6）我們需要在 left 和 right 之間繼續(xù)計(jì)算 mid 值，則 mid = 5 +（5 - 5）/ 2 = 5 ，見(jiàn)下圖，此時(shí)我們將 nums[mid] 和 target 比較，則發(fā)現(xiàn)兩值相等，返回 mid 即可 ，如果不相等則跳出循環(huán)，返回 -1。

二分查找的執(zhí)行過(guò)程如下

1.從已經(jīng)排好序的數(shù)組或區(qū)間中，取出中間位置的元素，將其與我們的目標(biāo)值進(jìn)行比較，判斷是否相等，如果相等則返回。

2.如果 nums[mid] ?和 target 不相等，則對(duì) nums[mid] 和 target 值進(jìn)行比較大小，通過(guò)比較結(jié)果決定是從 mid的左半部分還是右半部分繼續(xù)搜索。

如果 target > nums[mid] 則右半?yún)^(qū)間繼續(xù)進(jìn)行搜索，即 left = mid + 1;?若target < ?nums[mid] 則在左半?yún)^(qū)間繼續(xù)進(jìn)行搜索，即 right = mid -1；

動(dòng)圖解析

下面我們來(lái)看一下二分查找的代碼，可以認(rèn)真思考一下 if 語(yǔ)句的條件，每個(gè)都沒(méi)有簡(jiǎn)寫(xiě)。

二分查找的思路及代碼已經(jīng)理解了，那么我們來(lái)看一下實(shí)現(xiàn)時(shí)容易出錯(cuò)的地方

1.計(jì)算 mid 時(shí) ，不能使用 （left + right ）/ 2,否則有可能會(huì)導(dǎo)致溢出

2.while ?(left < = right) ?注意括號(hào)內(nèi)為 left <= right ,而不是 left < right ，我們繼續(xù)回顧剛才的例子，如果我們?cè)O(shè)置條件為 left ?< ?right 則當(dāng)我們執(zhí)行到最后一步時(shí)，則我們的 left 和 right 重疊時(shí)，則會(huì)跳出循環(huán)，返回 -1，區(qū)間內(nèi)不存在該元素，但是不是這樣的，我們的 left 和 right 此時(shí)指向的就是我們的目標(biāo)元素 ，但是此時(shí) left = right 跳出循環(huán)

3.left = mid + 1,right = mid - 1 而不是 left = mid 和 right = mid。我們思考一下這種情況,見(jiàn)下圖，當(dāng)我們的target 元素為 16 時(shí)，然后我們此時(shí) left = 7 ，right = 8，mid = left + (right - left) = 7 + (8-7) = 7，那如果設(shè)置 left = mid 的話，則會(huì)進(jìn)入死循環(huán)，mid ?值一直為7 。

下面我們來(lái)看一下二分查找的遞歸寫(xiě)法

例題：

題目描述

題目來(lái)源：leetcode35搜索插入位置

給定一個(gè)排序數(shù)組和一個(gè)目標(biāo)值，在數(shù)組中找到目標(biāo)值，并返回其索引。如果目標(biāo)值不存在于數(shù)組中，返回它將會(huì)被按順序插入的位置。

你可以假設(shè)數(shù)組中無(wú)重復(fù)元素。

示例 1:

輸入: [1,3,5,6], 5 輸出: 2

示例 2:

輸入: [1,3,5,6], 2 輸出: 1

示例 3:

輸入: [1,3,5,6], 7 輸出: 4

示例 4:

輸入: [1,3,5,6], 0 輸出: 0

題目解析

這個(gè)題目完全就和咱們的二分查找一樣，只不過(guò)有了一點(diǎn)改寫(xiě)，那就是將咱們的返回值改成了 left，具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程見(jiàn)下圖

二分查找變種一

上面我們說(shuō)了如何使用二分查找在數(shù)組或區(qū)間里查出特定值的索引位置。但是我們剛才數(shù)組里面都沒(méi)有重復(fù)值，查到返回即可，那么我們思考一下下面這種情況

此時(shí)我們數(shù)組里含有多個(gè) 5 ，我們查詢是否含有 5 可以很容易查到，但是我們想獲取第一個(gè) 5 和 最后一個(gè) 5 的位置應(yīng)該怎么實(shí)現(xiàn)呢？哦！我們可以使用遍歷，當(dāng)查詢到第一個(gè) 5 時(shí)，我們?cè)O(shè)立一個(gè)指針進(jìn)行定位，然后到達(dá)最后一個(gè) 5 時(shí)返回，這樣我們就能求的第一個(gè)和最后一個(gè)五了？因?yàn)槲覀冞@個(gè)文章的主題就是二分查找，我們可不可以用二分查找來(lái)實(shí)現(xiàn)呢？當(dāng)然是可以的。

題目描述

題目來(lái)源：leetcode 34在排序數(shù)組中查找元素的第一個(gè)和最后一個(gè)位置

給定一個(gè)按照升序排列的整數(shù)數(shù)組 nums，和一個(gè)目標(biāo)值 target。找出給定目標(biāo)值在數(shù)組中的開(kāi)始位置和結(jié)束位置。

如果數(shù)組中不存在目標(biāo)值 target，返回 [-1, -1]。

示例 1：

輸入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8 輸出：[3,4]

示例 2：

輸入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6 輸出：[-1,-1]

示例 3：

輸入：nums = [], target = 0 輸出：[-1,-1]

題目解析

這個(gè)題目很容易理解，我們?cè)谏厦嬲f(shuō)了如何使用遍歷解決該題，但是這個(gè)題目的目的就是讓我們使用二分查找，我們來(lái)逐個(gè)分析，先找出目標(biāo)元素的下邊界，那么我們?nèi)绾握业侥繕?biāo)元素的下邊界呢？

我們來(lái)重點(diǎn)分析一下剛才二分查找中的這段代碼

我們只需在這段代碼中修改即可，我們?cè)賮?lái)剖析一下這塊代碼，nums[mid] == target 時(shí)則返回，nums[mid] < target 時(shí)則移動(dòng)左指針，在右區(qū)間進(jìn)行查找， nums[mid] ?> ?target時(shí)則移動(dòng)右指針，在左區(qū)間內(nèi)進(jìn)行查找。

那么我們思考一下，如果此時(shí)我們的 nums[mid] = target ,但是我們不能確定 mid 是否為該目標(biāo)數(shù)的左邊界，所以此時(shí)我們不可以返回下標(biāo)。例如下面這種情況。

此時(shí) mid = 4 ，nums[mid] = 5,但是此時(shí)的 mid 指向的并不是第一個(gè) 5，所以我們需要繼續(xù)查找 ，因?yàn)槲覀円?span style="letter-spacing: 0px;">的是數(shù)的下邊界，所以我們需要在 mid 的值的左區(qū)間繼續(xù)尋找 5 ，那我們應(yīng)該怎么做呢？

我們只需在target <= nums[mid] 時(shí)，讓 right = mid - 1即可，這樣我們就可以繼續(xù)在 mid 的左區(qū)間繼續(xù)找 5 。是不是聽(tīng)著有點(diǎn)繞，我們通過(guò)下面這組圖進(jìn)行描述。

其實(shí)原理很簡(jiǎn)單，就是我們將小于和等于合并在一起處理，當(dāng) target <= nums[mid] 時(shí)，我們都移動(dòng)右指針，也就是 right ?= mid -1，還有一個(gè)需要注意的就是，我們計(jì)算下邊界時(shí)最后的返回值為 left ，當(dāng)上圖結(jié)束循環(huán)時(shí)，left = 3，right = 2，返回 left 剛好時(shí)我們的下邊界。我們來(lái)看一下求下邊界的具體執(zhí)行過(guò)程。

動(dòng)圖解析

計(jì)算下邊界代碼

計(jì)算上邊界時(shí)算是和計(jì)算上邊界時(shí)條件相反，

計(jì)算下邊界時(shí)，當(dāng) ?target <= nums[mid] ?時(shí)，right = mid -1；target > nums[mid] 時(shí)，left = mid + 1；

計(jì)算上邊界時(shí)，當(dāng) ?target < nums[mid] 時(shí)，right = mid -1; target >= nums[mid] 時(shí) left = mid + 1;剛好和計(jì)算下邊界時(shí)條件相反，返回right。

計(jì)算上邊界代碼

題目完整代碼

二分查找變種二

我們?cè)谏厦娴淖兎N中，描述了如何找出目標(biāo)元素在數(shù)組中的上下邊界，然后我們下面來(lái)看一個(gè)新的變種，如何從數(shù)組或區(qū)間中找出第一個(gè)大于或最后一個(gè)小于目標(biāo)元素的數(shù)的索引，例 nums = {1,3,5,5,6,6,8,9,11} ?我們希望找出第一個(gè)大于 5的元素的索引，那我們需要返回 4 ，因?yàn)?5 的后面為 6，第一個(gè) 6 的索引為 4，如果希望找出最后一個(gè)小于 6 的元素，那我們則會(huì)返回 3 ，因?yàn)?6 的前面為 5 最后一個(gè) 5 的索引為 3。好啦題目我們已經(jīng)了解，下面我們先來(lái)看一下如何在數(shù)組或區(qū)間中找出第一個(gè)大于目標(biāo)元素的數(shù)吧。

找出第一個(gè)大于目標(biāo)元素的數(shù)，大概有以下幾種情況

1.數(shù)組包含目標(biāo)元素，找出在他后面的第一個(gè)元素

2.目標(biāo)元素不在數(shù)組中，且數(shù)組中的所有元素都大于它，那么我們此時(shí)返回?cái)?shù)組的第一個(gè)元素即可

3.目標(biāo)元素不在數(shù)組中，數(shù)組內(nèi)的部分元素大于它，此時(shí)我們需要返回第一個(gè)大于他的元素

4.目標(biāo)元素不在數(shù)組中，且數(shù)組中的所有元素都小于它，那么我們此時(shí)沒(méi)有查詢到，返回 -1 即可。

既然我們已經(jīng)分析完所有情況，那么這個(gè)題目對(duì)咱們就沒(méi)有難度了，下面我們描述一下案例的執(zhí)行過(guò)程

nums = {1,3,5,5,6,6,8,9,11} ? ? ?target = 7

上面的例子中，我們需要找出第一個(gè)大于 7 的數(shù)，那么我們的程序是如何執(zhí)行的呢？

上面的例子我們已經(jīng)弄懂了，那么我們看一下，當(dāng) target = 0時(shí)，程序應(yīng)該怎么執(zhí)行呢？

OK!我們到這一步就能把這個(gè)變種給整的明明白白的了，下面我們看一哈程序代碼吧，也是非常簡(jiǎn)單的。

通過(guò)上面的例子我們應(yīng)該可以完全理解了那個(gè)變種，下面我們繼續(xù)來(lái)看以下這種情況，那就是如何找到最后一個(gè)小于目標(biāo)數(shù)的元素。還是上面那個(gè)例子

nums = {1,3,5,5,6,6,8,9,11} ? ? ?target = 7

查找最后一個(gè)小于目標(biāo)數(shù)的元素，比如我們的目標(biāo)數(shù)為 7 ，此時(shí)他前面的數(shù)為 6，最后一個(gè) 6 的索引為 5，此時(shí)我們返回 5 即可，如果目標(biāo)數(shù)元素為 12，那么我們最后一個(gè)元素為 11，仍小于目標(biāo)數(shù)，那么我們此時(shí)返回 8，即可。這個(gè)變種其實(shí)算是上面變種的相反情況，上面的會(huì)了，這個(gè)也完全可以搞定了，下面我們看一下代碼吧。

哎嘛寫(xiě)著寫(xiě)著咋就那么多了，太長(zhǎng)了大家就不愛(ài)看啦，然后我們一起思考一下如果數(shù)組不完全有序我們可以用二分查找嗎？這個(gè)就放在下篇說(shuō)吧，咱們下篇見(jiàn)呀！