基于壓縮感知的信號欠采樣和重建研究

引言

傳統(tǒng)的數(shù)字信號處理以奈奎斯特采樣定理作為基礎(chǔ)，在模擬/數(shù)字信號的轉(zhuǎn)換過程中，采樣頻率大于信號最高頻率的2倍，才能從采樣得到的數(shù)字信號中無失真地恢復(fù)原始信號。在實際應(yīng)用中，為保證信號處理效果一般采樣頻率為信號最高頻率的3倍以上，采集到的冗余數(shù)據(jù)在后續(xù)處理階段再濾除。然而,隨著當前日益增加的信息需求量，信號頻率越來越高，帶寬越來越寬，在信息獲取中對采樣速率、處理速度和信息存儲空間等提出越來越高的要求。這將造成對ADC和處理器的性能要求更高以及數(shù)據(jù)存儲和傳輸?shù)膲毫?。但是，在許多情況下，信號是稀疏和冗余的，在某些變換域是可壓縮的，在處理過程中冗余信息將被丟棄，多余的數(shù)據(jù)就造成了資源的浪費。針對這個問題，在過去的幾年，一種新的理論壓縮感知被提出來，它的核心思想是通過很少的非適應(yīng)性，凸優(yōu)化的線性測量來恢復(fù)稀疏信號。壓縮感知的理論基礎(chǔ)是建立在以下領(lǐng)域并發(fā)展而來,例如應(yīng)用諧波分析、框架理論、拓撲幾何、優(yōu)化理論和矩陣分析等。在該理論下，信號的采樣速率不再取決于信號的帶寬,而是取決于信息在信號中的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容，因此在滿足信號的可壓縮性以及表示系統(tǒng)與觀測系統(tǒng)的不相關(guān)性兩大條件下，從低分辨觀測中恢復(fù)高分辨信號就成為可能。

壓縮感知理論主要涉及三個核心問題：一是信號的稀疏表示；二是非相干測量矩陣設(shè)計；三是信號重建算法優(yōu)化設(shè)計。在應(yīng)用研究方面，其影響已經(jīng)涉及很多應(yīng)用科學(xué)，如無線電通信的認知無線電方向和信道編碼、陣列信號處理、雷達成像、圖形圖像處理、生物傳感、模擬信息轉(zhuǎn)換等。利用壓縮感知理論,模擬信息轉(zhuǎn)換器被設(shè)計用來在較低速率下獲取樣本，然后在后端DSP成功恢復(fù)感興趣的壓縮信號。模擬信息轉(zhuǎn)換器可以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的ADC,以較低的速率對高速模擬信號進行實時采樣，獲取所關(guān)心的信息，有效解決了傳統(tǒng)采樣理論遇到的瓶頸。

壓縮感知理論最初是針對離散信號提出來的，把它應(yīng)用到模擬信號的研究目前處于起步階段，存在很多困難。模擬信息轉(zhuǎn)換需要能夠?qū)崟r采樣連續(xù)信號，而不能直接使用離散信號的測量矩陣，同時要求數(shù)字處理器有較強的運算能力，能夠及時對高速信號進行感知，硬件實現(xiàn)困難。因此，該算法的復(fù)雜度優(yōu)化和硬件可實現(xiàn)性成為壓縮感知應(yīng)用的關(guān)鍵點之一。

本文首先對壓縮感知的基本理論進行了研究，對比分析了三種模擬信息轉(zhuǎn)換器，介紹了常用重建算法，并通過仿真驗證了模擬信息轉(zhuǎn)換-信號重建結(jié)構(gòu)的可行性，分析了實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的性能。最后，進行了總結(jié)并對壓縮感知的研究趨勢進行了展望。

1壓縮感知原理

圖1所示是信號壓縮感知的結(jié)構(gòu)圖。假設(shè)信號X為我們感興趣的原始信號長度為N且具有K稀疏性，即指它們有很少的非零系數(shù)，或用一組基底展開后xw，大多數(shù)系數(shù)為0,或者絕對值較小。可將對信號X的觀測抽象為用一MXN的矩陣垂MN)與信號X進行乘積，即可以表示為y=^x或者y=。壓縮感知問題就是在已知測量值y和測量矩陣蟲的基礎(chǔ)上，求解欠定方程組y=®x得到原信號x的過程，該過程需要求解以下最優(yōu)化問題：

x=argmins.t.Ux=y

求解過程就是得到重建信號x的過程。

壓縮感知理論的提出者Candes,Romberg,Tao[3]和Donoho[4]證明了信號是K稀疏的或者在一個基電展開后是可壓縮的就能從少量非自適應(yīng)性線性不相關(guān)測量值中得到恢復(fù)。

由于上式的求解是個NP-HARD問題，而該最優(yōu)化問題和信號的稀疏分解非常相似，所以，從信號稀疏分解的相關(guān)理論中尋找更有效的求解途徑就成為一些學(xué)者的研究內(nèi)容之一。有文獻表明電，在最小范數(shù)下，在一定條件下和L的最小范數(shù)具有等價性，它們可得到相同的解。那么上式轉(zhuǎn)化為11最小范數(shù)下的最優(yōu)化問題為：

min|s.t.y=

這個最優(yōu)化問題又稱為基追蹤(BasisPursuit，BP)。為了克服采用基追蹤算法進行信號重建中出現(xiàn)的計算速度慢的問題，同時也為了提高計算精確度，正交匹配追蹤(OMP)等貪婪算法常被用來重建信號。

壓縮感知最初只是針對離散信號處理應(yīng)用的，但是，很多時候我們都需要接收處理連續(xù)模擬信號，因此，有必要把壓縮感知理論擴展到模擬信號領(lǐng)域。于是，基于壓縮感知理論的模擬信息轉(zhuǎn)換器就可以設(shè)計出來。

2模擬信息轉(zhuǎn)換器

利用基于壓縮采樣原理設(shè)計的模擬信息轉(zhuǎn)換器能夠降低當前超高采樣率對超速高分辨率ADC器件和數(shù)字處理器帶來的壓力，減少存儲空間。模擬信號x(t)通過AIC模擬信息轉(zhuǎn)換器完成模擬信號到信息數(shù)據(jù)的采集，能大大降低數(shù)據(jù)采集量，然后通過數(shù)字信號處理器完成信號重建和相關(guān)處理后輸出。典型的模擬信息轉(zhuǎn)換器(AIC)的結(jié)構(gòu)如圖2所示。

文獻[6]提出了一種基于偽隨機解調(diào)和低速率采樣的實用AIC結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)的AIC實現(xiàn)結(jié)構(gòu)簡單，能夠有效采集大部分可壓縮信號，圖3所示就是偽隨機解調(diào)結(jié)構(gòu)圖。

模擬輸入信號x(t)經(jīng)過偽隨機序列pc(t)解調(diào)后，可用模擬低通濾波器濾波，這樣就可以用低速ADC進行采樣而直接得到低速率信息。模擬信號x(t)僅有有限的信息率，那么,在連續(xù)函數(shù)組成的字典中,x(t)可以表示為：

在a中只有少量的非零值，因此，信號x是稀疏的。盡管每個字典原子我也許有比較高的帶寬，但信號本身只有很少的自由度。因此，在信號稀疏度水平的若干倍上采樣，而不是用奈奎斯特采樣率。

輸出信號y[m]可表示為：

模擬低通濾波器的設(shè)計將直接影響信號的重建效果，并且由于各采樣點之間具有較大的相關(guān)性，性能有待提高，因此可以設(shè)計直接型AIC[7]和分段型AIC[8]。直接型AIC性能最優(yōu)，但是往往需要數(shù)量龐大的相關(guān)積分支路，當信號稀疏度較大時,硬件復(fù)雜，難以實現(xiàn)；分段型AIC以犧牲隨機序列的不相關(guān)性為代價，通過對等效測量矩陣的后期擴展，可減少相關(guān)積分支路,并能夠以高概率重構(gòu)原始信號，性能居中。但是，偽隨機解調(diào)結(jié)構(gòu)AIC結(jié)構(gòu)簡單，可節(jié)省硬件資源，因而具有較高的實用價值。下面我們通過仿真來分析驗證該結(jié)構(gòu)的可行性和信號恢復(fù)性能。

3仿真分析

下面選用正弦脈沖信號為輸入信號，并加入高斯白噪聲,以｝是FFT來設(shè)計偽隨機序列發(fā)生器pc(t)，重建算法選取OMP貪婪算法，采用Matlab仿真在不同信噪比下的信息提取和信號恢復(fù)性能。

3.1信噪比為10dB時

信噪比為10dB時的仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4(a)是加入了高斯白噪聲的原始輸入信號，重建恢復(fù)后的波形如圖4(b)所示，圖4(c)是恢復(fù)波形和原始波形的對比,可見重建誤差較大，圖4(d)是獲得的線性測量信息。

3.2信噪比為20dB時

圖5(a)是加入了高斯白噪聲的原始輸入信號，重建恢復(fù)后的波形如圖5(b)所示，圖5(c)是恢復(fù)波形和原始波形的對比,可見重建誤差較小，圖5(d)是獲得的線性測量信息。

通過以上仿真結(jié)果可以看出：第一，基于壓縮感知理論的信號欠采樣和重建是可行的；第二，在一定的信噪比條件下,重建誤差在較小范圍內(nèi)；第三，隨著信噪比的下降，系統(tǒng)性能顯著下降。

4結(jié)論

由于現(xiàn)實環(huán)境中的大部分信號具有稀疏性或可壓縮性,壓縮感知理論利用信號稀疏性突破了奈奎斯特采樣定理。事實上，把從對數(shù)據(jù)的采集直接轉(zhuǎn)化為對信息的采集，就能以隨機采樣的方式，并用更少的數(shù)據(jù)采樣點來完美地恢復(fù)原始信號。

本文介紹了壓縮感知的基本理論，分析了壓縮感知在模擬信息轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用，并通過仿真驗證了壓縮感知理論的實際應(yīng)用可行性。在射頻和寬帶無線通信信號的采樣和信號檢測分析中，基于壓縮感知理論的欠采樣系統(tǒng)的設(shè)計，能降低對高速ADC器件的依賴，可在有效減少數(shù)據(jù)量的同時，保證近乎完美地重建信號，降低系統(tǒng)資源消耗，提高系統(tǒng)性能。壓縮感知理論在無線通信的頻譜感知、信道編碼、陣列信號處理等方面都得到了廣泛的研究，從而推動了無線通信技術(shù)的進一步發(fā)展?？梢?，壓縮感知具有十分重要的應(yīng)用價值。

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